Jürgen Wagner Einblicke in die euklidische und nichteuklidische Geometrie Verständlich erklärt vom Abiturniveau aus Einblicke in die euklidische und nichteuklidische Geometrie Jürgen Wagner Einblicke in die euklidische und nichteuklidische Geometrie Verständlich erklärt vom Abiturniveau aus Jürgen Wagner Dresden, Deutschland ISBN 978-3-662-54071-8 ISBN 978-3-662-54072-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-54072-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. 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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort Was ist besonders an diesem Buch über Geometrie? Dieses Buch vermittelt einen Einblick in unterschiedliche Geometrien, um den Blick dafür zu schärfen, was unter „Geometrie“ eigentlich zu verstehen ist. Dabei geht es um das Hervorheben zentraler Inhalte und Ideen, ohne einen vollständi- gen Aufbau anzustreben. Beweise werden auf den Nachweis wichtiger Sätze beschränkt und insbesondere dann geführt, wenn typische Gedankengänge her- vorgehoben werden können. Viele andere Inhalte werden durch grafische Darstel- lungen erläutert. Zum Beispiel werden Eigenschaften geometrischer Abbildungen thematisiert, indem sowohl Skizzen von Abbildungen angegeben werden, bei denen die Eigenschaft erfüllt ist, als auch solche, bei denen die Eigenschaft nicht erfüllt ist. Welche Ziele verfolgt das Buch und an wen wendet es sich? Das Buch soll Studierenden der Mathematik, der Natur- und Technikwissenschaf- ten sowie der Informatik • eine Hilfe sein, die Lehrveranstaltungen besser zu verstehen, • Anregung bieten, einen „Blick über den Tellerrand“ zu wagen und dabei tiefe Einsichten zu gewinnen. Außerdem wendet sich das Buch an alle Menschen, für die das Denken ein ästheti- scher Genuss ist und eine Quelle der Freude und Entspannung darstellt. Wie sollen die Ziele des Buches realisiert werden? Die didaktisch aufbereiteten Beispiele und die vielen Abbildungen sollen insbe- sondere abstrakte algebraische Darstellungen geometrischer Sachverhalte „mit Leben erfüllen“. Dabei werden folgende Schwerpunkte gesetzt: • Betonen wesentlicher Sachverhalte, • Entwickeln des Vorstellungsvermögens, V VI Vorwort • Hervorheben der Ästhetik geometrischer Abbildungen, • Fördern des entdeckenden Lernens, • Nachvollziehen bedeutender geistiger Entwicklungen und Entdeckungen, • Ermöglichen von Verständnis für das geometrische Denken. Besonders der letztgenannte Punkt ist von großer Bedeutung, denn die Art und Weise, Wissenschaft zu betreiben, wurde zumindest in Europa maßgeblich durch die in der Geometrie praktizierte Denkweise und Methodologie beeinflusst. Wie ist das Buch aufgebaut und welche Inhalte werden angesprochen? Das Buch ist so konzipiert, dass es parallel zu einer systematisch aufgebauten Lehrveranstaltung an der Hochschule genutzt werden kann. Es gliedert sich in fünf Kapitel unterschiedlichen Umfangs, die sich jeweils mit ausgewählten zentralen Inhalten einer Geometrie beschäftigen. Übergreifend werden in unterschiedlichen Abschnitten analytische, differenzialgeometrische und topologische Betrachtun- gen durchgeführt, wenn dies erforderlich ist. Eine detaillierte Einführung in den Gegenstandsbereich der jeweiligen mathematischen Teildisziplin erfolgt dabei nicht. Inhalte der darstellenden Geometrie werden anlassbezogen thematisiert. Zur schnellen Orientierung enthalten die Kapitel Zusammenfassungen. Technisch anspruchsvollere Inhalte und Ergänzungen sind in den Anhängen zu finden. Kap. 1 beschäftigt sich mit der euklidischen Geometrie, um an Vorkennt- nisse aus dem Mathematikunterricht der Schule anknüpfen zu können. Die dort erworbenen Kenntnisse werden erheblich erweitert, um die typische Denkweise der euklidischen Geometrie zu erschließen sowie zentrale Begriffe und Sätze zu ergänzen, auf die in den folgenden Kapiteln zurückgegriffen wird. Insbesondere die Definitionen des Teil- und Doppelverhältnisses für orientierte Strecken und orientierte Winkel erlangen eine übergreifende Bedeutung. Beim Beweisen von Sätzen werden unterschiedliche Herangehensweisen gewählt, ohne eine starre Typisierung vorzunehmen. In der Tradition Euklids werden einige Konstruktions- aufgaben gelöst, die über das in der Schule übliche Niveau deutlich hinausgehen. Ein Überblick über Abbildungen rundet das Kapitel ab, dabei erfolgt eine Konzen- tration auf Parallelprojektionen, Axonometrien sowie affine und projektive Abbil- dungen. Die Zentralprojektion wird erst in Kap. 3 thematisiert, da sie aus dem Gegenstandsbereich der euklidischen Geometrie hinausführt. Kap. 2 widmet sich der Taxi-Geometrie. Die gleichberechtigte Positionierung der Taxi-Geometrie neben den „großen“ Geometrien ist als ambitioniert oder kühn zu bezeichnen. Der Autor hat den dafür erforderlichen Mut aufgebracht, da die Taxi-Geometrie die einfachste nichteuklidische Geometrie darstellt, in der mit sehr geringem Aufwand verblüffende Entdeckungen möglich sind. Er ist der Auffas- sung, dass ausgewählte Inhalte der Taxi-Geometrie auch in der Schule behandelt werden sollten, um durch kontrastierende Beispiele zur euklidischen Geometrie die Flexibilität des Denkens und das Begriffsverständnis zu fördern. Beispielsweise Vorwort VII können Betrachtungen zu parallelen Geraden, Mittelsenkrechten und Kreisen im Rahmen der Taxi-Geometrie zum besseren Begreifen der entsprechenden Inhalte in der euklidischen Geometrie führen. Kap. 3 beschäftigt sich mit Inhalten der projektiven Geometrie. Mit Betrach- tungen zur endlichen Geometrie und zur Zentralprojektion werden unterschied- liche Zugänge zur projektiven Geometrie dargestellt, die zu einer Vertiefung des Wissens über Axiomensysteme und Abbildungen beitragen. Die Erarbeitung der Eigenschaften der Zentralprojektion erfolgt ausführlich, da • diese Thematik in vielen modernen Quellen ausgeklammert oder nur sehr abs- trakt behandelt wird, • Bezüge zur bildenden Kunst und Architektur nicht nur interessant, sondern auch allgemeinbildend sind. Es werden mehrere Modelle der projektiven Geometrie thematisiert und Maße für Längen und die Größe von Winkeln ermittelt. Dabei werden komplexe Koor- dinaten eingeführt und geometrische Sachverhalte mithilfe von Determinanten beschrieben. Mit diesen Betrachtungen sollen Inhalte der Hochschulausbildung vorbereitet werden. Kap. 4 zur sphärischen Geometrie thematisiert Inhalte, die teilweise seit einigen Jahrhunderten bekannt waren, aber nicht als nichteuklidisch interpretiert wurden. Wichtige Formeln der sphärischen Trigonometrie werden auf unterschiedlichen Wegen hergeleitet. Es wird erarbeitet, dass die Berechnung eines kleinen sphä- rischen Dreiecks näherungsweise durch die eines ebenen Dreiecks möglich ist. Diese lokale Approximation einer nichteuklidischen Geometrie durch die eukli- dische Geometrie wird in unterschiedlichen Kontexten der Hochschulmathematik aufgegriffen. Die Anwendungen der Formeln der sphärischen Trigonometrie füh- ren zu ausgewählten Inhalten der Astronomie, Nautik und Kartografie. Dabei erge- ben sich Anforderungen zur Transformation von Koordinaten auf natürliche Weise. Kap. 5 behandelt mit der hyperbolischen Geometrie diejenige Geometrie, die als erste nichteuklidische Geometrie erkannt wurde. Es werden die interessante Entstehungsgeschichte der hyperbolischen Geometrie und mehrere ihrer Modelle vorgestellt. Das Halbebenenmodell von Poincaré wird ausführlicher betrachtet, da es das Modell ist, welches bei Konstruktionen und Berechnungen ohne Hilfsmittel mit vertretbarem technischem Aufwand angewendet werden kann. Im Anhang zu diesem Kapitel werden Hyperbeln und Hyperbelfunktionen in Analogie zu Krei- sen bzw. trigonometrischen Funktionen thematisiert. Mit dieser Ergänzung soll der Einstieg in die Hochschulmathematik erleichtert werden. Welche Besonderheit ist zu beachten? Zur Kennzeichnung der betrachteten Mengen von Punkten und Geraden, für die gewisse Axiome gelten, wird der Begriff Raum verwendet. Da dieser Terminus in verschiedenen Teildisziplinen der Mathematik unterschiedlich definiert wird, skiz- zieren wir die im vorliegenden Buch genutzte Bedeutung telegrammstilartig: VIII Vorwort • affiner Raum: Menge von Punkten und Geraden, Existenz einer Inzidenzrela- tion zwischen einem Punkt und einer Geraden im Sinne von „der Punkt liegt auf der Geraden“ oder „die Gerade enthält den Punkt“, Existenz einer Parallelitäts- relation zwischen zwei Geraden, Existenz eines Verbindungsvektors zwischen zwei Punkten, Punkte und Geraden erfüllen spezielle Axiome, nicht gefordert ist die Definition einer Metrik (deshalb werden der Abstand zweier Punkte und die Größe eines Winkels nicht betrachtet), • euklidischer Raum: analog zum affinen Raum mit der Änderung, dass eine Metrik definiert ist (meist mithilfe des Skalarproduktes von Verbindungsvekto- ren) und deshalb Längen und Winkelgrößen bestimmt werden können, der drei- dimensionale euklidische Raum wird auch als Anschauungsraum bezeichnet, • projektiver Raum: analog zum affinen Raum mit der Änderung, dass keine echte Parallelität existiert, da sich zwei unterschiedliche Geraden stets in einem Punkt schneiden (bei diesem Schnittpunkt kann es sich um einen eigentlichen Punkt oder um einen uneigentlichen Fernpunkt handeln), in projektiven Räu- men kann eine Metrik definiert werden. Dresden, Deutschland Jürgen Wagner Oktober 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Euklidische Geometrie ....................................... 1 1.1 Ursprung der euklidischen Geometrie ........................ 1 1.2 Streckenverhältnisse ...................................... 7 1.3 Beispiele für Sätze ....................................... 16 1.3.1 Basiswinkelsatz ................................... 17 1.3.2 Satz von Menelaos ................................. 18 1.3.3 Satz von Ceva ..................................... 20 1.3.4 Sätze über die Seitenhalbierenden im Dreieck ........... 22 1.4 Beispiele für Konstruktionsaufgaben ......................... 27 1.4.1 Dreieckskonstruktion ............................... 27 1.4.2 Inversion am Kreis ................................. 28 1.4.3 Ortskurve des Höhenschnittpunktes im Dreieck .......... 34 1.5 Geometrische Abbildungen ................................ 39 1.5.1 Forderungen an geometrische Abbildungen ............. 39 1.5.2 Eigenschaften geometrischer Abbildungen .............. 40 1.5.3 Projektionen und Axonometrien ...................... 45 1.5.4 Affine Abbildungen und Affinitäten .................... 51 1.5.5 Projektive Abbildungen und Projektivitäten ............. 61 1.5.6 Komposition ausgewählter geometrischer Abbildungen .... 64 Anhang 1.1 Goldener Schnitt ................................... 68 Anhang 1.2 Hauptachsentransformation .......................... 78 Anhang 1.3 Erzeugung einer ebenen Perspektivität aus einer perspektiven Kollineation ........................... 90 2 Taxi-Geometrie ............................................. 97 3 Projektive Geometrie ........................................ 107 3.1 Wege zur projektiven Geometrie ............................ 108 3.1.1 Von einer endlichen affinen zu einer endlichen projektiven Inzidenzgeometrie ................................. 108 3.1.2 Von der Zentralprojektion zur projektiven Geometrie ...... 116 IX X Inhaltsverzeichnis 3.2 Modelle der projektiven Geometrie .......................... 125 3.2.1 Inhomogenes Modell der reellen projektiven Ebene ....... 125 3.2.2 Homogenes Modell der reellen projektiven Ebene ........ 127 3.2.3 Reelle projektive Sphäre ............................ 138 3.2.4 Reelle projektive Gerade ............................ 141 3.2.5 Komplexe projektive Gerade ......................... 144 3.3 Maße in der projektiven Geometrie .......................... 146 3.3.1 Ideensammlung zur Einführung von Maßen in die projektive Geometrie ............................... 146 3.3.2 Maße für Winkel in der projektiven Geometrie ........... 148 3.3.3 Maße für Längen in der projektiven Geometrie ........... 153 3.4 Zentrale Sätze der projektiven Geometrie ..................... 156 3.4.1 Satz von Pappos ................................... 156 3.4.2 Satz von Desargues ................................ 159 Anhang 3.1 Perspektivisches Zeichnen ........................... 164 Anhang 3.2 Verwendung des Begriffs „homogen“ in der Mathematik ... 170 Anhang 3.3 Typisierung der Sätze von Pappos und Desargues ......... 172 4 Sphärische Geometrie ........................................ 179 4.1 Grundlegende Begriffe der sphärischen Geometrie .............. 180 4.1.1 Sphärische Strecken und Abstände .................... 180 4.1.2 Sphärische Zweiecke ............................... 184 4.1.3 Polare und Pol .................................... 185 4.1.4 Sphärische Dreiecke ................................ 186 4.1.5 Sphärisches Dreieck und Polardreieck .................. 188 4.2 Ausgewählte Beziehungen der sphärischen Trigonometrie ........ 190 4.2.1 Sinussatz der sphärischen Trigonometrie ................ 192 4.2.2 Kosinussätze der sphärischen Trigonometrie ............. 193 4.2.3 Kotangenssätze der sphärischen Trigonometrie ........... 197 4.2.4 Beziehungen zwischen sphärischer und euklidischer Trigonometrie ..................................... 198 4.3 Sphärische Geometrie an der scheinbaren Himmelskugel ......... 200 4.3.1 Darstellung von Bewegungen der Erde an der scheinbaren Himmelskugel .................................... 200 4.3.2 Bürgerliche Zeit und Sternzeit ........................ 205 4.3.3 Horizontsystem ................................... 212 4.3.4 Äquatorsysteme ................................... 216 4.3.5 Geozentrisches Ekliptiksystem ....................... 219 4.3.6 Koordinatentransformationen ........................ 221 Anhang 4.1 Loxodrome – die Kurve gleichen Kurses ................ 227 Anhang 4.2 Zeitbestimmung auf astronomischer und physikalischer Grundlage ........................................ 232