Grundlagen und Fortschritte der Ingenieurwissenschaften Richard Schwertassek Oskar Wallrapp Dynamik flexibler Mehrkörpersysteme Methoden der Mechanik zum rechnergestützten Entwurf und zur Analyse mechatronischer Systeme Richard Schwertassek Oskar Wallrapp Dynamik flexibler Mehrkörpersysteme Unseren Familien gewidmet. Grundlagen und Fortschritte der Ingenieurwissenschaften Fundamentalsand Advances in the Engineering Seiences herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. Wilfried B. Krätzig, Ruhr-Universität Bochum Prof. em. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. Theodor Lehmannt, Ruhr-Universität Bochum Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E. h. Oskar Mahrenholtz, TU Harnburg-Rarburg Prof. Dr. Peter Hagedorn, TH Darmstadt Konvektiver Impuls-, Wärme-und Stoffaustausch von Michael Jischa Einführung in Theorie und Praxis derZeitreihen-und Modalanalyse von Hans G. Natke Mechanik der Flächentragwerke von Yavuz Basar und Wilfried B. Krätzig Computational Mechanics of Reinforced Concrete Structures von Günter HofsteUer und Herbert A. Mang Strömungsmechanik von Klaus Gersten und Heinz Herwig Konzepte der Bruchmechanik von Reinhold Kienzier Dünnwandige Stab-und Stabschalentragwerke von Johann Altenbach, Wolfgang Kissing und Holm Altenbach Simulation von Kraftfahrzeugen von Georg Rill Berechnung von Phasengleichgewichten von Ralf Dohm Wärme-und Stoffübertragung in Zweiphasenströmungen von Jürgen Köhler Methoden der Randelemente in Statik und Dynamik von Lothar Gaul und Christian Fiedler Dynamik flexibler Mehrkörpersysteme von Richard Schwertassekund Oskar Wallrapp Richard Schwertassek Oskar Wallrapp Dynamik flexibler Mehrkörpersysteme Methoden der Mechanik zum rechnergestützten Entwurf und zur Analyse mechatronischer Systeme Mit 98 Bildern und 25 Tabellen ~ v1eweg Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1999 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Berte1smann Fachinformation GmbH. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen-des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt ins besondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. http:j/ www.vieweg.de Konzeption und Layout: Ulrike Weige1, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Lengericher Handelsdruckerei, Leugerich Gedruckt auf säurefreiem Papier ISBN 978-3-322-93976-0 ISBN 978-3-322-93975-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-93975-3 V Vorwort Bei der Entwicklung technischer Produkte, wie z. B. Luft- und Raumfahrzeuge, Schienen und Straßenfahrzeuge, Maschinen, Roboter oder Prothesen, zeigt sich ein wachsender Trend zur Einsparung von Material und Energie und, damit verbunden, zu leichter Bauweise. Bei spiele hierzu finden sich in Kapitel 1. Aus der Leichtbauweise resultierende Probleme im Bewegungsverhalten und in der Aufnahme der zu den Bewegungen gehörenden Kräfte las sen sich durch Einsatz von zunehmend kostengünstigen Sensoren, Aktuatoren und Elektro nik, also von Regelungstechnik, beherrschen. In diesem Zusammenhang spricht man auch oft von "intelligenten" Systemen und Mechatronik. Viele Probleme bei der Analyse und beim Entwurf mechatronischer Systeme erfordern deren Modeliierung als Mehrkörper systeme, wobei wegen der leichten Bauweise auch elastische Verformungen der Körper be rücksichtigt werden müssen. Die Entwicklung der Methode der Mehrkörpersysteme gilt für Systeme starrer Körper seit Mitte der achtziger Jahre, mit Verfügbarkeit der sog. O(n) Formalismen, als weitgehend abgeschlossen. Für Mehrkörpersysteme mit verformbaren Körpern trifft dies aber nicht zu, im Gegenteil: in der Literatur zur Mehrkörperdynamik fin det sich bis in die jüngste Zeit eine wachsende Zahl von Publikationen zum Thema des vor liegenden Buchs. Eines der Ziele der Mehrkörperdynamik ist die Angabe effizienter Formalismen zur rechner gestützten Erstellung der Bewegungsgleichungen. Die Entwicklung der auf diesen Glei chungen aufbauenden Simulationsprogramme erfordert neben den Formalismen auch noch die Lösung einer ganzen Palette anderer Aufgaben, z. B. die numerische Lösung der Sy stemgleichungen und den Entwurf eines benutzerfreundlichen und "offenen" Simulations programms, d. h. von Software, die mit der Vielzahl der zum Entwurf mechatronischer Systeme benötigten Rechenprogramme kommunizieren kann. Solche Probleme werden in diesem Buch nicht behandelt. Die Darstellung konzentriert sich auf die Erläuterung der Me thoden der Mechanik zur Entwicklung der Rechenprogramme. Die Beherrschung dieser Methoden wird auch zur kritischen Beurteilung von Simulationsergebnissen benötigt, ein Gesichtspunkt, der wegen zunehmender Verbreitung kommerziell verfügbarer Programme an Bedeutung gewinnt. An den eben genannten Zielen orientiert sich die Auswahl des Stoffs. In Kapitel 2 findet sich eine Darstellung der Grundlagen zur Modeliierung flexibler Körper in Mehrkörpersystemen, der Kontinuumsmechanik und Elastizitätstheorie. Ausgehend von diesen Modellvorstellungen lassen sich Modelle der technischen Mechanik, wie der starre Körper, Kontinua mit inneren Bindungen, Finite-Elemente-Strukturen und Mehrkörper systeme, durch Angabe entsprechender Zwangsgleichungen für die Bewegungen der Punkte eines dreidimensionalen Kontinuums gewinnen. Die Herleitung der Bewegungsgleichungen erfordert dann die Prinzipe der Mechanik, die in Kapitel 3 erläutert sind. Die Prinzipe wer den in den Kapiteln 4 und 5 genutzt zur Angabe der Bewegungsgleichungen zweier Modelle flexibler Körper, von Balken als Beispiel eines Kontinuums mit inneren Bindungen und von Finite-Elemente-Strukturen. Kapitel6 enthält Methoden der Mehrkörperdynamik VI Vorwort Die Verformungen der Körper in Mehrkörpersystemen sind bei vielen Anwendungen klein. Dies kann man zur Linearisierung der Bewegungsgleichungen in den Variablen zur Be schreibung der Verformungen nutzen. Die Angabe der linearisierten Bewegungsgleichungen fiihrt zu einem speziellen Linearisierungsproblem, der Berücksichtigung geometrischer Stei figkeiten. Das Problem läßt sich am Beispiel der Bewegungsgleichungen von Balken - im Vergleich zu Finite-Elemente-Strukturen einfach-erläutern. Eine Linearisierung der Bewe gungsgleichungen für kleine Verformungen erfordert die Abspaltung dieser Bewegungen der Körper von möglicherweise großen Referenzbewegungen mit großen Beschleunigungen. Infolge solcher Bewegungen ergeben sich große Trägheitskräfte. Die Verformungen bleiben nur klein, wenn die Körper gegenüber diesen Belastungen einen hohen Ve rformungswider stand besitzen. Damit wird aber, wie z. B. aus der Elastostabilität bekannt, eine Berücksichti gung geometrischer Steifigkeiten in den linearisierten Gleichungen für die Teilbewegungen mit geringem Verformungswiderstand erforderlich. Die Finite-Elemente-Methode kann man als rechnerorientierte Form des Ritzsehen Verfah rens ansehen, wobei einfache Ansätze für die Bewegungen von Teilen eines Körpers, den fi niten Elementen, zu einem Ansatz zur Darstellung der Verformungen eines komplex ge formten Körpers zusammengesetzt werden. Nach einer Erläuterung des Ritzsehen Verfah rens sind in Kapitel 5 die wichtigsten Ergebnisse der Methode der finiten Elemente zusam mengetragen, die zur Berücksichtigung solcher Modelle in Mehrkörpersystemen benötigt werden. Die Zusammenstellung umfaßt insbesondere auch Angaben zur Berechnung der Trägheitskräfte, die infolge von Referenzbewegungen auf Finite-Elemente-Strukturen wir ken und Angaben zur Ermittlung geometrischer Steifigkeiten für diese Modelle. Zur Berücksichtigung der Verformungen von Körpern in Mehrkörpersystemen gibt es eine ganze Reihe von Vorschlägen. Die vorliegende Darstellung beschränkt sich auf das bei klei nen Verformungen günstigste Verfahren, die Methode des bewegten Bezugssystems. Bei dieser V orgehensweise wird die Bewegung der Körper dargestellt als Überlagerung von Referenzbewegung und Verformung. Das zu den Verformungen gehörende Verschiebungs feld der Punkte eines Körpers wird nach dem Ritzsehen Verfahren approximiert. Ausgehend von den Modellvorstellungen und Methoden der Mechanik aus den Kapiteln 2 bis 5 enthält Kapitel 6 die der Methode des bewegten Bezugssystems angepaßte Beschreibung von Kinematik und Kinetik. Die kinematischen und kinetischen Bewegungsgleichungen eines repräsentativen Körpers des Systems werden zunächst unter Verwendung der Modellvorstel lungen der Kontinuumsmechanik formuliert. Durch Angabe entsprechender Bindungs gleichungen erhält man dann die in Anwendungen benötigten, speziellen Modelle. Die All gemeinheit der Ausgangsgleichungen ermöglicht die Definition einer allgemeinen Daten schnittstelle zur Beschreibung flexibler Körper in Mehrkörpersystemen. Sie erlaubt die Ent wicklung von Preprozessoren zur Ermittlung der Daten aus beliebigen Modellen, insbeson dere auch unter Verwendung beliebiger Finite-Elemente-Programme, und sie vereinfacht den Austausch von Modellen und den Vergleich von Simulationsergebnissen - vgl. Hauptabschnitt 6.4. Der letzte Hauptabschnitt 6.5 des Kapitels ist der Angabe von Forma lismen zur Ermittlung der Deskriptor- und der Zustandsform der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen mit flexiblen Körpern gewidmet. Die Effizienz von Rechenpro grammen zur Simulation solcher Systeme kann durch die sog. modale Beschreibung der Bewegungen der Körper- im Vergleich zur Berücksichtigung kompletter Finite-Elemente Modelle - erheblich gesteigert werden. Dieser Vorteil wird aber mit dem Problem der Anga- Vorwort VII be geeigneter Ansatzfunktionen erkauft. Gesichtspunkte zur Wahl dieser Funktionen sind im Schlußabschnitt zusammengetragen. Die hier vorgestellten Methoden werden an Beispielen erläutert, die bei den Modellen aus Kapitel 5 und 6 vergleichsweise komplex sind. Zu ihrer Behandlung stehen glücklicherweise symbolische und numerische Computer Algebra Systeme wie Mathematica, Maple und Matlab zur Verfügung. Die Benutzung solcher Programme befreit von lästigen Rechnungen, erlaubt aber die Kontrolle eines jeden Rechenschritts. Das Nachrechnen der Beispiele soll mit Möglichkeiten zur kritischen Beurteilung der Tragfähigkeit von Aussagen vertraut machen, die mit komplexen Modellen und Simulationsprogrammen gewonnen wurden: Geeignete, einfache Modelle zum Systemverhalten liefern ja oft Hinweise zur Verbesserung der komplexen Modelle technischer Systeme. Die in den Kapiteln 5 und 6 dokumentierten Beispiele wurden mit Mathematica, Version 2.2, bearbeitet. Die zugehörigen Notebook-Files sind unter der Internet-Adresse http://www. vieweg.de/d ownloads/ zu finden. Abschließend noch ein paar Angaben zur äußeren Form der Darstellung. Die Bezeichnungs weise ist im Anhang erläutert. Gleichungen, Bilder, Tabellen und Beispiele sind in jedem Kapitel, mit 1 beginnend, numeriert, wobei die Kapitelnummer der Gleichungs-, Bild-, Tabellen-und Beispielnummer vorangestellt ist. Verzeichnisse der Seiten, auf denen sich die Bilder, Tabellen und Beispiele befinden, sind im Anschluß an das Inhaltsverzeichnis angege ben, um ihr Auffinden zu erleichtern. Literaturzitate sind am Schluß des Buchs und für jedes Kapitel separat zusammengestellt. Wie eingangs gesagt, kann die Entwicklung der Methode der Mehrkörpersysteme für Syste me mit flexiblen Körpern keineswegs als abgeschlossen angesehen werden. Neben der Methode des bewegten Bezugssystems werden eine Reihe anderer V erfahren entwickelt, die u. a. auch eine Analyse großer Verformungen erlauben. Die V erfahren haben ihre Wurzeln in den derzeit noch konkurrierenden Methoden der Mehrkörpersysteme und der finiten Ele mente. Ihre weitere Entwicklung sollte aber eine Synthese der beiden Modellvorstellungen und die Entwicklung entsprechender Rechenprogramme erlauben. Das Erreichen des Ziels erfordert nicht zuletzt ein vertieftes Verständnis der beiden Modellvorstellungen, zu dem das vorliegende Buch einen Beitrag leisten soll. Einige der hier dokumentierten Ergebnisse wurden in Forschungsvorhaben der Deutschen Forschungsgemeinschaft erarbeitet. Wir bedanken uns flir die Unterstützung. Die Alexander von-Humboldt-Stiftung ermöglichte u. a. einen Forschungsaufenthalt von Herrn Prof. A. A. Shabana, University of Illinois at Chicago am Institut für Robotik und Systemdynamik des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt (DLR) in Oberpfaffenhofen. Seminare wäh rend dieses Aufenthalts und die damit initiierte Zusammenarbeit mit Herrn Shabana trugen zur Klärung der hier verwendeten Modellvorstellungen bei. Beiden, der Alexander-von Humboldt-Stiftung und Herrn Shabana gebührt unser Dank. Außerdem bedanken wir uns bei Herrn Prof. P. Hagedorn, Darmstadt, der den Anstoß zu dieser Dokumentation gab und last not least bei unseren Familien flir die Geduld, mit der sie den zu ihren Lasten gehenden Zeit bedarfzurFertigstellung des Buchs verkraftet haben. Oberpfaffenhofen/Weßling, im März 1999 Richard Schwertassek Oskar Wallrapp IX Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................................................................................................. VI Bilderverzeichnis ................................................................................................................ XV Tabellenverzeichnis ........................................................................................................... XVI Verzeichnis der Beispiele .................................................................................................. XVI 1 Einleitung .......................................................................................................................... 1 1.1 Computermechanik ................................................................................................. 1 1.2 Neuere Entwicklungen in der Mehrkörperdynamik ................................................ 4 1.3 Zielsetzung ............................................................................................................ 10 2 Elastizitätstheorie ........................................................................................................... l7 2.1 Beschreibung der Bewegung ................................................................................ 17 2.2 Verzerrungszustand ............................................................................................... 21 2.2.1 Allgemeine Koordinaten ............•............................................................... 21 2.2.2 Deformationsgradient ................................................................................ 23 2.2.3 Bewegung von Linien-, Flächen-und Volumenelementen ....................... 23 Linienelemente .......................................................................................... 25 Volumina ................................................................................................... 26 Flächenelemente ........................................................................................ 26 2.2.4 Verschiebungsgradient .............................................................................. 27 2.2.5 Verzerrungstensoren .................................................................................. 29 2.2.6 Geometrische Linearisierung ..................................................................... 33 2.3 Spannungszustand ................................................................................................. 40 2.3.1 Volumen-und Oberflächenkräfte ............................................................. .41 2.3.2 Cauchyscher Spannungstensor .................................................................. 44 2.3.3 Piolasche Spannungstensoren .................................................................... 50 2.3.4 Transformationsgleichungen ..................................................................... 56 2.4 Materialgesetz ....................................................................................................... 57 2.4.1 Anforderungen an Materialgleichungen .................................................... 57 2.4.2 Physikalische Linearisierung und Hookesches Gesetz .............................. 61 2.4.3 Verzerrungsenergie elastischer Körper ...................................................... 64 2.5 Bewegungsgleichungen ........................................................................................ 66 2.5.1 Grundbegriffe ............................................................................................ 67 2.5.2 Cauchysche Bewegungsgleichungen ......................................................... 68 2.5.3 Randbedingungen ...................................................................................... 70 2.5.4 Impuls-und Drehimpulssatz ...................................................................... 72 2.6 Zusammenfassung ................................................................................................. 74 2.6.1 Nichtlineare Elastizitätstheorie .................................................................. 75 Verschiebungskoordinaten ......................................................................... 7 5 X Inhaltsverzeichnis Ve rzerrungen und Verzerrungs-Verschiebungs-Beziehungen ................... 7 5 Spannungen und Spannungs-Verzerrungs-Beziehungen ........................... 76 Bewegungsgleichungen ............................................................................. 77 Rand-und Anfangsbedingungen ............................................................... 77 2.6.2 Linearisierte Elastizitätstheorie ................................................................. 78 Physikalische Linearisierung ..................................................................... 78 Geometrische Linearisierung ..................................................................... 79 3 Prinzipe der Mechanik .................................................................................................. 81 3 .I Grundbegriffe ......................................................................................................... 81 3.1.1 Zwangsbedingungen bei Modellen der technischen Dynamik .................. 81 Bindungen und Zwangsgleichungen ............................... ;. ......................... 82 Kontinua mit inneren Bindungen ............................................................... 83 Der starre Körper ....................................................................................... 84 Finite-Elemente-Strukturen ....................................................................... 85 Mehrkörpersysteme ................................................................................... 86 3 .1.2 Klassifikation der Z wangsgleichungen ...................................................... 8 8 Rheonome und skleronome Zwangsgleichungen ...................................... 88 Implizite und explizite Zwangsgleichungen .............................................. 88 Zwangsgleichungen für die Geschwindigkeiten ........................................ 89 3 .1.3 Virtuelle Verschiebungen und virtuelle Geschwindigkeiten ..................... 91 3 .1.4 Variation eines Funktionals ....................................................................... 94 3.2 Die Prinzipe von d'Alembert, Jourdain und Hamilton .......................................... 97 3.2.1 Aussagen der Prinzipe ............................................................................... 98 3.2.2 Virtuelle Arbeit der durch Spannungen repräsentierten Kräfte ................. 99 3.2.3 Das d'A1embertsche Prinzip ..................................................................... 100 3.2.4 Das Jourdainsche Prinzip ......................................................................... 105 3.2.5 Das Hamiltonsche Prinzip ....................................................................... 106 4 Modeliierung von Balken ............................................................................................ 111 4.1 Modellvorstellung und Beschreibung der Bewegung ......................................... 111 4.1.1 Balkenmodelle und Verschiebungsgrößen .............................................. 111 Modellvorstellung .................................................................................... 111 Kinematik schubweicher Balken ............................................................. 112 Verschiebungsgrößen bei Bernoulli-Balken ............................................ 115 4.1.2 Differentialgeometrie von Raumkurven .................................................. 116 4.1.3 Verformungsgrößen bei Bernoulli-Balken .............................................. 122 4.1.4 Energieausdrücke in Verschiebungs-und Verformungsgrößen .............. 126 4.2 Bewegungsgleichungen bei kleinen Belastungen ............................................... 130 4.2.1 In den linearisierten Gleichungen benötigte Näherungen ........................ 130 Explizite Zwangsgleichungen .................................................................. 130 Transformationsgleichungen ................................................................... 133 Verzerrungen und elastisches Potential ................................................... 134 4.2.2 Bewegungsgleichungen und Randbedingungen ...................................... 137 Modellannahmen ..................................................................................... 13 7 Variation der kinetischen Energie ............................................................ l38 Variation der potentiellen Energie ........................................................... 139