Serge Zacher Drei-Bode-Plots- Verfahren für Regelungstechnik Ein universelles Stabilitätskriterium für stabile und instabile Regelstrecken Drei-Bode-Plots-Verfahren für Regelungstechnik Serge Zacher Drei-Bode-Plots-Verfahren für Regelungstechnik Ein universelles Stabilitätskriterium für stabile und instabile Regelstrecken Serge Zacher Stuttgart, Deutschland ISBN 978-3-658-29219-5 ISBN 978-3-658-29220-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-29220-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Reinhard Dapper Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Vorwort „Alle Anfänge sind dunkel. […] Jenseits alles Einzelwissens bleibt die Aufgabe, zu begreifen.“ Hermann Weyl (1919) Raum, Zeit, Materie. Vorlesungen über allgemeine Relativitätstheorie. 3. Auflage, Seite 9, Verlag von Julius Springer, Berlin Die Stabilitätsuntersuchung und die Reglereinstellung gehören zu den klassischen Aufgaben der Regelungstechnik. Dabei wird angenommen, dass die mathematische Beschreibung der Regelstrecke als Differentialgleichung oder Übertragungsfunktion gegeben ist. Um ein solches Modell der Regelstrecke zu gewinnen, werden entweder deren physikalischen Eigenschaften theoretisch und rechnerisch ermittelt oder werden Versuche mit Standard-Signalen wie Eingangssprung, Eingangsimpuls, Rampe oder harmonische Sinus-Schwingung durchgeführt. Seltener werden auch die stochastischen Signale als Eingänge angewendet. Als Identifikation folgt die Auswertung von Ver - suchsergebnissen, woraus das Modell der Regelstrecke in Zeit-, Frequenz-, Bildbereich oder auch im Zustandsraum gewonnen wird. Erst danach wird der Reglerentwurf durch- geführt, sei es ein klassischer Standardregler oder ein modellbasierter Regler. Im vorliegenden Buch ist ein Verfahren beschrieben, bei dem kein mathematisches Modell unbedingt nötigt wird. Es reicht nur das Versuchsergebnis im Frequenzbereich aus, nämlich: das Bode-Diagramm. Die Identifikation der Strecke bzw. die Ermittlung des mathematischen Modells. z. B. die Ermittlung der Übertragungsfunktion der Strecke anhand des Bode-Diagramms, entfällt. Die Stabilitätsanalyse und der Regler- entwurf werden vereinfacht, die Regler-Parameter eines Standardreglers, wie z.B. eines PID-Reglers, können direkt aus dem Bode-Diagramm der Strecke ausgelesen werden.  Der wesentliche Vorteil des im Buch beschriebenen Verfahrens besteht also darin, dass man keinen Frequenzgang des gesamten offenen oder geschlossenen Regelkreises bilden soll, sondern nur anhand des einzelnen Bode-Diagramms der Strecke die Stabilität des gesamten geschlossenen Regelkreises prüfen und dessen Verhalten an die gewünschten Gütekriterien anpassen kann. V VI Vorwort Als „Geburtsdatum“ dieses Verfahrens gilt den 27.11.2017. Genau an diesem Tag wurde das Verfahren zum ersten Mal online veröffentlicht und von der Deutschen Bibliothek als Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie unter S. Zacher „Automation-Letter Nr. 10“ mit ISBN 978-3-937638-36-2 bezeichnet. Später, am 30.04.2018 folgte der „Automation-Letter Nr. 38“, ISBN 978-3-937638-37-9, in dem das Verfahren als „ZBV: Zwei-Bode-Plots-Verfahren“ genannt wurde. Bekanntlich entsteht das Neue in der Wissenschaft und Technik nicht aus dem Nichts. Das Drei-Bode-Plots-Verfahren, kurz DBV, entstand aus zwei Konzepten: • Die Symmetrie-Eigenschaften von Standardreglern, • Das Leonhard-Stabilitätskriterium, das in der Literatur als Zweiortskurvenverfahren bekannt ist. Das vorliegende Buch verfolgt das Ziel, beide Konzepte möglichst einfach zu beschreiben, ohne in die Tiefe der Mathematik zu gehen, und somit das neue Verfahren für die praktische Applikationen zugänglich machen. Das Buch kann inhatlich bedingt in drei Teile aufgeteilt werden: • Teil 1 - Grundlagen der Reglereinstellung (Kap. 1). Es werden fertige Lösungen für Standard-Regelkreise gegeben. - Stabilitätsuntersuchung im Frequenzbereich (Kap. 2). Die bekannten Stabilitäts- kriterien nach Nyquist, Mikhailov und Leonhard werden kurz beschrieben. - Zwei-Bode-Plots-Verfahren (Kap. 3). Das neue Stabilitätskriterium im Bode-Diagramm nach Abständen zwischen Phasengängen des negativ inversen Reglers und der Strecke wird erläutert und seine Vorteile werden gezeigt. • Teil 2 - Grundlagen der Symmetrie und Antisymmetrie mit Beispielen in der Regelungs- technik (Kap. 4). - Anwendung der Symmetrieoperationen auf Wirkungspläne und die daraus her- geleiteten Konzepte wie Schattenstrecke, Antisystem-Approach, Bus-Approach. Es wird ein Router präsentiert, der mit Symmetrieoperationen aufgebaut ist und mit dem die Störungen komplett beseitigt werden können (Kap. 5). • Teil 3 - Symmetrieoperationen mit Strecken, Standardreglern und gespiegelten Reglern (Kap. 6 und 7). Es wird gezeigt, wie der Amplituden- und der Phasengang eines gespiegelten Reglers verschoben werden soll, um den Regelkreis nach dem ZBV zu stabilisieren und die gewünschte Phasenreserve zu erreichen. - Anwendung der Symmetrieoperationen fürs Zwei-Bode-Plots-Verfahren und die Herleitung des Drei-Bode-Plots-Verfahrens (Kap. 8). Vorwort VII - Bode-aided Design bzw. Entwurf eines Standardreglers anhand nur eines Punktes des Bode-Diagramms der Strecke (Kap. 9). - Rezepte für Praktiker (Kap. 10). Es wird gezeigt, wie man das Bode-Diagramm einer vorhandenen stabilen physikalischen Strecke ermitteln kann. Abschließend wird eine mit dem MATLAB® entwickelte App beschrieben: „Fingerprint eines Regelkreises“. Damit kann die Stabilitätsanalyse und die Reglereinstellung für gewünschte Phasenreserve einfach mit der MATLAB®-App erfolgen. Die App „Fingerprint“ wurde mit MATLAB Runtime als ausführbare exe-Datei erstellt und ist frei benutzbar: https://www.zacher-international.com/C22_Team_Projekt/Finger- print/MyAppInstaller_web.zip. Das Buch richtet sich an Studierenden der Elektrotechnik und des Maschinenbaus der technischen Universitäten und Hochschulen sowie an Ingenieure der Automatisierungs- technik. Zu diesem Zweck sind alle Kapitel mit Übungsaufgaben begleitet und werden durch die Webseite des Verfassers unterstützt: www.zacher-automation.de. Dort kann man weitere Unterlagen zu den Themen des Buches finden. Bei tief- gehenden Fragen zum Buch kann man sich direkt an den Autor per E-Mail wenden: [email protected].  Alle Abbildungen und Aufgaben des Buches sind mit MATLAB®-Skripten erstellt und implementiert. Die vorliegenden Skripte unterliegen dem Urheberrecht. Alle Rechte sind bei dem Autor und dem Verlag vorbehalten. Die Weiterentwicklung oder Nutzung der Publikation ohne Referenz auf Urheber ist nicht zugelassen. Für die Anwendung der vorliegenden Skripten in der Industrie, im Laborbetrieb und in anderen praktischen Fällen sowie für eventuelle Schäden, die aus unvollständigen oder fehlerhaften Angaben bei der Implementierung ergeben können, übernehmen der Autor und der Verlag keine Haftung. Zum Schluss möchte ich meinen herzlichen Dank für die freundliche Atmosphäre und jederzeit konstruktive Zusammenarbeit dem Team des Verlags Springer Vieweg aus- sprechen, nämlich, dem Cheflektor Elektrotechnik/IT/Informatik, Herrn Reinhard Dapper, der Editorial-Assistentin, Frau Andrea Brossler, und dem Project Coordinator, Herrn Rahul Ravindran. Stuttgart Serge Zacher im März 2020 Inhaltsverzeichnis 1 Standardisierte Entwurfsverfahren ................................ 1 1.1 Lineare zeitinvariante Regelkreise .............................. 2 1.2 Stabilität .................................................. 11 1.3 Standardisierte Entwurfsverfahren .............................. 19 1.4 Frequenzgang .............................................. 26 1.5 Reglereinstellung im Bode-Diagramm .......................... 30 1.6 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 34 Literatur ........................................................ 37 2 Frequenzbereich ................................................ 39 2.1 Stabilitätskriterien .......................................... 40 2.2 Stabilitätskriterium nach dem Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises ............................................... 42 2.3 Stabilitätskriterium nach dem Frequenzgang des offenen Regelkreises ............................................... 53 2.4 Stabilitätskriterium nach dem Zweiortskurvenverfahren ............. 65 2.5 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 71 Literatur ........................................................ 77 3 Zwei-Bode-Plots-Verfahren ....................................... 79 3.1 Vergleich von konventionellen Stabilitätskriterien im Frequenzbereich ......................................... 80 3.2 Das zweite Leben des Zweiortskurvenverfahrens .................. 83 3.3 Stabilitätskriterium nach dem Phasenabstand ..................... 87 3.4 Vergleich mit dem Nyquist-Stabilitätskriterium ................... 95 3.5 ZBV für nichtminimalphasige Systeme .......................... 103 3.6 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 107 3.7 Zusammenfassung und Ausblick ............................... 115 Literatur ........................................................ 117 IX X Inhaltsverzeichnis 4 Symmetrie und Antisymmetrie .................................... 119 4.1 Einführung ................................................ 120 4.2 Dualität ................................................... 129 4.3 Symmetrie ................................................ 132 4.4 Antisymmetrie ............................................. 143 4.5 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 149 4.6 Zusammenfassung .......................................... 154 Literatur ........................................................ 157 5 Symmetrieoperationen mit Wirkungsplänen ......................... 159 5.1 Klassische Verfahren als Symmetrieoperationen ................... 160 5.2 Neue Verfahren mittels Symmetrieoperationen .................... 164 5.3 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 179 Literatur ........................................................ 181 6 Symmetrieoperationen mit Strecken ................................ 183 6.1 Stabile und instabile Regelstrecken ............................. 184 6.2 Bode-Diagramme von instabilen Strecken ....................... 187 6.3 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 191 Literatur ........................................................ 193 7 Symmetrieoperationen mit Standardregler .......................... 195 7.1 Standardregler ............................................. 196 7.2 Symmetrieoperationen mit Standardregler ....................... 200 7.3 Gespiegelte Standardregler ................................... 214 7.4 Verschiebungen von Bode-Plots der gespiegelten Regler ............ 222 7.5 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 224 Literatur ........................................................ 229 8 Drei-Bode-Plots-Verfahren ........................................ 231 8.1 Motivation ................................................ 232 8.2 Stabilitätsprüfung nach dem ZBV mit gespiegelten Reglern .......... 236 8.3 Reglereinstellung nach dem ZBV .............................. 238 8.4 Von ZBV zu DBV .......................................... 247 8.5 Drei-Bode-Plots-Verfahren ................................... 251 8.6 DBV für instabile Strecken ................................... 255 8.7 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 263 Literatur ........................................................ 268 9 BAD: Bode-aided Design ......................................... 269 9.1 Was ist BAD? .............................................. 270 9.2 BAD für stabile Strecken ..................................... 280 9.3 BAD für instabile Strecken ................................... 285 Inhaltsverzeichnis XI 9.4 BAD nach dem einzigen Punkt des Bode-Plots .................... 291 9.5 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 298 Literatur ........................................................ 301 10 Praktische Hinweise ............................................. 303 10.1 Einführung ................................................ 304 10.2 Übersicht von Verfahren ...................................... 304 10.3 Neue Verfahren im Frequenzbereich ............................ 305 10.4 Rezepte für Regeleinstellung .................................. 308 10.5 Experimentelle Ermittlung von Bode-Diagrammen ................ 310 10.6 Fingerprint eines Regelkreises ................................. 317 10.7 Übungsaufgaben mit Lösungen ................................ 326 Literatur ........................................................ 337