Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme Eine Einführung in Theorie und Anwendungen Von Prof. Dr. rer. nato Dr. rer. pol. Ulrich Krause und Dipl.-Math. Tim Nesemann Universität Bremen m B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig 1999 Prof. Dr. rer. nato Dr. rer. pol. Ulrich Krause Geboren 1940 in Berlin. Studium der Mathematik, Physik, Philosophie und Ökonomie in Göttingen, Hamburg, Erlangen und Heidelberg. Staats examen 1965 in Hamburg, Promotion in Mathematik 1967 in Erlangen, Promotion in Ökonomie 1979 in Hannover. Seit 1973 Professor für Mathe matik an der Universität Bremen. Mehrere Gastaufenthalte an Universi täten in Italien, den USA und in Japan. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, dynamische Systeme und mathematische Ökonomie. Dipl.-Math. Tim Nesemann Geboren 1970 in Bremen. Von 1991 bis 1995 Studium der Mathematik und Betriebswirtschaftslehre an der Universität Bremen und an der Fern universität GH in Hagen. 1995 Abschluß als Diplom-Mathematiker. Seit 1996 Doktorand in Mathematik an der Universität Bremen. 1998 Gastauf enthalt in Rhode Island (USA). Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Krause Ulrich: Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme: eine Einführung in Theorie und Anwendungen I von Ulrich Krause und Tim Nesemann. - Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1999 ISBN 978-3-519-02639-6 ISBN 978-3-322-92759-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-92759-0 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwer tung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Über setzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektroni schen Systemen. © 1999 B.G.Teubner Stuttgart· Leipzig Vorwort Dieses Buch befaßt sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich fließend, sondern in diskreten Zeit schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird häufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgänge zunächst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschließend wird dann gewöhnlich durch einen Grenzübergang, bei dem die Länge eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis senschaften, hat den großen Vorteil, daß sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste me anzapfen läßt. Ein Nachteil liegt jedoch darin, daß für eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Überprüfung, das kontinuierliche Modell wie der in ein diskretes Modell zurückverwandelt werden muß. Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusätzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati schen Übersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgänge im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und der Ökonomie seit jeher gebräuchlicher als z. B. in der Physik. Dieses direkte Vorgehen zahlt sich aber nur aus, wenn das Instru mentarium im Bereich der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme hinreichend gut entwickelt ist. Obwohl die Theorie der Differenzengleichungen auf eine lange Tradition zurück blicken kann, ist sie doch erst in neuerer Zeit aus einer Art Dornröschenschlaf erwacht und zu einer aufgeweckten mathematischen Disziplin geworden. Inzwischen gibt es eine Reihe guter Monographien und Textbücher über Differenzengleichungen, vor allem im Englisch-sprachigen Raum, und vor vier Jahren erschien der erste Band einer Zeitschrift, die sich ganz der Theorie und den Anwendungen von Differenzengleichungen widmet. Die Theorie diskreter dynamischer Systeme ist noch relativ jung; die Literatur in diesem Be reich ist aber in den letzten Jahren explosionsartig angewachsen, nicht zuletzt aufg rund eines starken Interesses an Phänomenen der sogenannten chaotischen Dynamik. Das vorliegende Buch ist aus einsemestrigen Vorlesungen und regelmäßigen Semi- 4 naren hervorgegangen, die einer von uns (U.K.) seit 1993 an der Universität Bremen abgehalten hat. Das Buch wendet sich an alle diejenigen, die sich, aus welchem Blick winkel auch immer, für grundlegende Aussagen im Bereich der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme interessieren. Ein besonderes Anliegen des vorlie genden Buches ist es, diesen sowohl interessanten als auch nützlichen Bereich in einer möglichst knappen Form nicht nur Studentinnen und Studenten der Mathematik, son dern auch solchen der Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften zugänglich zu machen. Das Buch setzt einige Kenntnisse in Analysis und linearer Algebra voraus, wo bei gewisse Hilfsmittel, wie etwa die Jordansche Normalform für Matrizen, an geeigneter Stelle in Form von Exkursen in Erinnerung gerufen werden. Vorkenntnisse in Differenzen gleichungen, diskreten dynamischen Systemen oder Differentialgleichungen sind nicht er forderlich. Bei der mathematischen Darstellung haben wir Wert auf präzise Definitionen und exakte Begründungen gelegt, da unklare Formulierungen und Argumente bekann termaßen gerade den Anfänger verunsichern können. Viele Beispiele, graphische Darstel lungen, Anwendungen und Aufgaben sollen dazu dienen, die Theorie zu illustrieren, zu motivieren und zu üben. Da der Computer ein sehr sinnvolles Hilfsmittel im Bereich von Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systemen darstellt, enthält das Buch auch Aufgaben, für die kleinere Programme zu schreiben sind. Außerdem hat einer von uns (T.N.) fünf kurze Computerprogramme in der Programmiersprache Turbo-Pascal geschrieben, mit denen der Leser selbst auf seinem PC Graphiken erzeugen kann, wie sie für dieses Buch erstellt wurden. Dies ist als ein zusätzliches Angebot zur Selbstübung gedacht; das Buch ist jedoch nicht so angelegt, daß ein PC und die Arbeit daran für ein Verständnis erforderlich wären. Damit das Buch nicht zu umfangreich wird, haben wir bei der Auswahl der Themen auf einige Bereiche verzichten müssen, die ebenfalls interessant und wichtig sind, wie z. B. Oszillationstheorie, Numerik, Variationskalkül und partielle Differenzengleichungen. Behandelt werden in diesem Buch die folgenden Themen. Kapitel 1 führt anhand von einfachen Beispielen aus ganz verschiedenen Disziplinen an die Begriffe einer Differenzengleichung und eines diskreten dynamischen Systems heran und thematisiert deren gegenseitiges Verhältnis. Kapitel 2 enthält einen sehr knappen Abriß des Kalküls in diskreter Zeit - der analog zur gewöhnlichen kontinuierlichen Analysis, aber dennoch von ihr verschieden ist - und die für das praktische Lösen wichtige Methode der erzeugenden Funktion. Kapitel 3 ist das erste Kapitel, in dem systematisch eine Theorie entfaltet wird, und zwar die der linearen diskreten dynamischen Systeme und Differenzengleichungen. Hier sind es insbesondere die linearen Systeme mit konstanten Koeffizienten, für die eine abgerundete Theorie existiert. Diese Theorie ist sehr nützlich für Anwendungen und mag von denjenigen Lesern, die die Jordansche Normalform aus der linearen Algebra kennen, selbst als eine willkommene Anwendung der Normalform angesehen werden. Kapitel 4 befaßt sich mit den verschiedenen Stabilitätseigenschaften linearer Dif ferenzengleichungen, wofür ebenfalls eine abgerundete Theorie zur Verfügung steht, die in Kapitel 4 aber im wesentlichen nur für den wichtigen Fall konstanter Koeffizienten behandelt wird. 5 Mit Kapitel 5 beginnt das weite und entwicklungsträchtige Feld der nichtlinea ren Systeme. Anschließend an die Diskussion einer Reihe von Beispielen werden zwei wichtige Methoden zur Untersuchung der Stabilität behandelt: Die Prüfung auf lokale Stabilität, indem das nichtlineare System durch ein lineares System angenähert wird und die Methode der Liapunov-Funktionen, die auch eine Prüfung auf globale Stabilität erlaubt. Das Kapitel gibt weiterhin einen kleinen Überblick über chaotische Phänomene und ihre fraktalen Attraktoren. Angesichts der umfangreichen diesbezüglichen Literatur, haben wir hier auf eine detaillierte Beweisführung verzichtet und stattdessen die, im Ver gleich zu den linearen Systemen, neuartigen Phänomene und ihre Simulation auf dem Computer in den Vordergrund gestellt. Insbesondere kommen hier die bereits erwähn ten Computerprogramme zum Einsatz. Auch den Lesern ohne Programmierkenntnisse wird das Nachvollziehen der dargestellten Algorithmen beim Verständnis der Graphiken helfen. In Kapitel 6 werden nicht lineare Systeme aus einem anderen, gewissermaßen anti chaotischen Blickwinkel betrachtet. Einige nichtlineare Systeme erweisen sich nämlich unter Hinzunahme von Positivitätseigenschaften als sehr stabil. Als ein Grenzfall erge ben sich nebenbei zentrale Aussagen der sogenannten Perron-Frobenius Theorie positi ver Matrizen. Die erhaltenen Resultate über konkave Systeme werden sodann angewandt zum Nachweis der (relativen) Stabilität zweier nichtlinearer und mehrdimensionaler Mo delle, wobei das erste Modell der biologischen Populationsdynamik und das zweite Mo dell der ökonomischen Preisdynamik entstammt. Die Themen dieses Kapitels werden hier zum erstenmal in Buchform behandelt. Schließlich nehmen wir die Gelegenheit wahr, um uns an dieser Stelle für die vielen regen und nützlichen Diskussionen zu bedanken, die wir im Laufe der Jahre mit Teilneh merinnen und Teilnehmern der Vorlesungen und Seminare über Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme geführt haben. Bremen, im Februar 1999 Inhaltsverzeichnis Vorwort 3 1 Einführung: Beispiele und Grundbegriffe 11 1.1 Diskrete dynamische Systeme . . . . . . . 11 1.2 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . 19 1.3 Zum Verhältnis von diskreten dynamischen Systemen und Differenzen gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 2 Differenzenkalkül 28 2.1 Differenzenoperator und Summenoperator ...... . 28 2.2 Diskreter Satz von Rolle und Diskreter Mittelwertsatz . 36 2.3 Erzeugende Funktion und Z-Transformation ..... . 42 3 Lineare diskrete dynamische Systeme und Differenzengleichungen 52 3.1 Lineare Unabhängigkeit ................... 53 3.2 Fundamentalmatrizen und Green-Matrix ......... . 57 3.3 Differenzengleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 69 3.3.1 Lösung mittels Jordanscher Normalform 70 3.3.2 Diskreter Putzer-Algorithmus 88 3.3.3 Anwendungen und Beispiele ...... . 95 4 Stabilitätstheorie linearer Systeme und Differenzengleichungen 117 4.1 Stabilitätsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Stabilität linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.2.1 Lineare Systeme mit zeitabhängigen Koeffizienten 127 4.2.2 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten .. 132 5 Nichtlineare diskrete dynamische Systeme und Differenzengleichungen146 5.1 Nichtlineare Differenzengleichungen . . . . . . . 147 5.2 Stabilitätskriterien durch lineare Approximation 162 5.3 Liapunovs direkte Methode 171 5.4 Chaos und Fraktale . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8 Inhaltsverzeichnis 6 Positive diskrete dynamische Systeme 210 6.1 Konkave Systeme . . . . . . . . . . . . 211 6.2 Hilberts projektive Metrik . . . . . . . 215 6.3 Eine konkave Version des Satzes von Perron 217 6.4 Positive Lösungen konkaver Differenzengleichungen 228 6.5 Ein nichtlineares Leslie-Modell der Populationsdynamik . 231 6.6 Ein nichtlineares Modell interdependenter Preissetzung 234 Literaturverzeichnis 239 Stichwortverzeichnis 243 Abbildu ngsverzeichnis 1.1 Zustandsraum M und Zustände Xn E M eines diskreten dynamischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Graphische Iteration von Tx = aaxv x+ b. . 13 1.3 Graphische Iteration von Tx = + b . 14 1.4 Graphische Iteration von Tx = 4x(1 - x) 15 2.1 Knoten einer Abb. x : t 1-+ x(t) . 37 3.1 Preisverlauf im Cobweb-Modell 101 4.1 Eine stabile Lösung. . . . . . . 118 4.2 Eine attraktive Lösung . . . . . 119 4.3 Stabile und instabile Gleichgewichte von x(t + 1) = y'x(t) 120 4.4 Stabile und instabile Gleichgewichte von x(t + 1) = ~X(t)3 121 4.5 Zusammenhang der Stabilitäts begriffe . . . . . . . . . . . . 122 4.6 Eine stabile, aber nicht gleichmäßig stabile Lösung. . . . . 124 4.7 Eine gleichmäßig asymptotisch stabile, aber nicht global attraktive Lösung 125 4.8 Stabiler und instabiler Unterraum eines zweidimensionalen Systems 139 4.9 Stabiler und instabiler Unterraum eines dreidimensionalen Systems 142 5.1 Stabiles Gleichgewicht von u(t + 1) = cosu(t) ........... 148 5.2 Stabile und instabile Nullösung mit 1'(0) = 1. . . . . . . . . . . . 149 5.3 Stabile und instabile Gleichgewichte von u(t + 1) = u(t) + sin u(t) 150 5.4 Beispiele für Populationsmodelle . . . . . . . 154 5.5 Ein global stabiles Populationsmodell . . . . . . . . . . . 156 5.6 Ein nicht global stabiles Populationsmodell . . . . . . . . 157 5.7 Zwei instabile Lösungen von u(t + 1) = 3.5u(t)(1-u(t)) 158 5.8 Zwei instabile Lösungen von u(t + 1) = 4u(t)(1 - u(t)) 159 5.9 Zwei instabile Lösungen von u(t + 1) = 2u(t) mod 1 160 ! 5.10 Die Zelt-Abbildung für a = und a = 2 ...... 161 5.11 Skizze zum Beweis von Lemma 5.9 ......... 172 5.12 Graphische Iteration von u(t + 1) = 4u(t)(1-u(t)) 184 5.13 Die zweite Iterierte der Logistischen Gleichung. . . 185 5.14 Bifurkationsdiagramm der Logistischen Gleichung . 186 5.15 Numerisch berechnete Liapunov-Exponenten der Logistischen Gleichung. 190 10 Abbildungsverzeichnis 5.16 Der Henon-Attraktor ............. . 194 5.17 Vergrößerter Ausschnitt des Henon-Attraktors 195 5.18 Ein Ausschnitt der Julia-Menge J ..... 197 5.19 Ein Ausschnitt der Mandelbrot-Menge MI . 198 5.20 Veranschaulichung der Box-Dimension 199 5.21 Konstruktion der Cantor-Menge K . . 200 5.22 Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks S 201 6.1 Stabilitätsverhalten im Konsensmodell 211 6.2 Eine konkave Abbildung . . . . . . . . 213 1 Einführung: Beispiele und Grundbegriffe 1.1 Diskrete dynamische Systeme Ein diskretes dynamisches System ist ein Paar (M, T), wobei Meine nichtleere Menge ist und T : M ---+ Meine Selbstabbildung von M. Die Menge M, die gewöhnlich noch zusätzliche Strukturen trägt, wird auch als Zustandsraum bezeichnet und die Abb. T, die die Bewegung von einem Zustand zu dem nachfolgenden Zustand beschreibt, als Bewegungsgesetz des zugrundeliegenden dynamischen Vorgangs. Ist Xo EMder An jangszustand, so ist Xl = Txo der Zustand zum Zeitpunkt 1, X2 = TXI der Zustand zum Zeitpunkt 2 usw. Ist Xn der Zustand des Systems zum Zeitpunkt n E N = {O, 1, 2, ... }, so wird die Dynamik des Systems beschrieben durch Xn+l = TXn- Es ist Xn = Tnxo, wo bei Tn = To ... oT (n-mal) die n-te Iterierte der Abbildung T ist. Der Ausdruck 'diskret' bezieht sich darauf, daß die Zeit nur in Form von diskreten Zeitpunkten (mitunter: Peri oden) 0,1,2, ... eine Rolle spielt. (Zusätzliche Komplikationen für die Theorie ergeben sich, falls man, wie etwa bei zellulären Automaten, auch einen diskreten Zustandsraum M erlaubt.) Von zentraler Bedeutung für die Untersuchung von diskreten dynamischen Systemen sind Gleichgewichte (Ruhepunkte) des Systems bzw. Fixpunkte der Abb. T, d. h. Zustände x· E M, für die Tx' = x' gilt. Interessant ist nun die Frage, ob ein solcher Abb. 1.1 Zustandsraum M und Zustände Xn E M eines diskreten dynamischen Systems U. Krause et al., Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme © B.G. Teubner Stuttgart · Leipzig 1999