Di(cid:11)erential and Physical Geometry Je(cid:11)rey M. Lee ii Contents 0.1 Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi 0.1.1 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv I Part I 1 1 Background 3 1.1 Naive Functional Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Calculus on Normed Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Chain Rule, Product rule and Taylor’s Theorem . . . . . 18 1.2.2 Local theory of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 The Tangent Bundle of an Open Subset of a Banach Space 27 1.2.4 Another look at the Functional Derivative . . . . . . . . . 28 1.2.5 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.6 Lagrange Multipliers and Ljusternik’s Theorem . . . . . . 33 1.3 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Appetizers 37 2.1 Group Actions, Symmetry and Invariance . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Some Klein Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 A(cid:14)ne Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.2 Special A(cid:14)ne Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.3 Euclidean space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.4 Galilean Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.5 Minkowski Spacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.6 Hyperbolic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.7 Models of Hyperbolic Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.8 The Mo(cid:127)bius Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3 Local classical (cid:12)elds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 iii iv CONTENTS 3 Di(cid:11)erentiable Manifolds 73 3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Topological Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Di(cid:11)erentiable Manifolds and Di(cid:11)erentiable Maps . . . . . . . . . 75 3.4 Pseudo-Groups and Model Spaces* . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5 Smooth Maps and Di(cid:11)eomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6 Local expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.7 Coverings and Discrete groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.7.1 Covering spaces and the fundamental group . . . . . . . . 88 3.7.2 Discrete Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.8 Grassmann Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.9 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.10 Submanifolds of Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.11 Manifolds with boundary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.12 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4 The Tangent Structure 105 4.1 Rough Ideas II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2 Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 Interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4 The Tangent Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5 The Tangent and Cotangent Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5.1 Tangent Bundle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5.2 The Cotangent Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6 Important Special Situations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7 Vector (cid:12)elds and Di(cid:11)erential 1-forms . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.8 Moving frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.9 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.10 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5 Lie Groups I 131 5.1 De(cid:12)nitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2 Linear Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.3 Lie Group Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.4 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6 Vector Bundles 139 6.1 De(cid:12)nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1.1 Pullback bundles and sections along maps. . . . . . . . . 144 6.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3.1 Tensor Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Tensoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5 Jets and Jet bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.6 Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.7 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 CONTENTS v 7 Lie Bracket and Lie Derivative 163 7.1 Action by pull-back and push forward . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2 Flows and Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.3 Lie Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4 Time Dependent Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.5 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 8 Tensors and Di(cid:11)erential Forms 179 8.1 Bottom up approach to tensors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 8.1.1 Tangent Bundle; Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.2 Top down approach to tensor (cid:12)elds . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.3 Matching the two approaches to tensor (cid:12)elds. . . . . . . . . . . . 189 8.4 Index Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.5 Tensor Derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.6 Di(cid:11)erential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.6.1 Di(cid:11)erential forms on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.6.2 Vector Analysis on R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.6.3 Star Operator in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.6.4 Di(cid:11)erential forms on a general di(cid:11)erentiable manifold . . 203 8.6.5 Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.6.6 Vector Valued and Algebra Valued Forms. . . . . . . . . . 212 8.6.7 Vector Bundle Valued Forms. . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.7 Lie derivative, interior product and exterior derivative. . . . . . . 215 8.8 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.8.1 Orientation of manifolds with boundary . . . . . . . . . . 220 9 Integration and Stokes’ Theorem 223 9.1 Integration of Di(cid:11)erential Forms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.2 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.3 Di(cid:11)erentiating integral expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.4 Pseudo-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 10 Immersion and Submersion. 235 10.1 Immersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.2 Immersed Submanifolds and Initial Submanifolds . . . . . . . . . 239 10.3 Submersions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.4 Morse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.5 Problem set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11 Fiber Bundles 249 11.1 General Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 12 Lie Groups II 253 12.1 De(cid:12)nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.2 Spinors and rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 vi CONTENTS 13 DeRham Cohomology 269 13.1 The Meyer Vietoris Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 13.1.1 Compactly Supported Cohomology . . . . . . . . . . . . . 278 14 Complex Manifolds 281 14.1 Some complex linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 14.2 Complex structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 14.3 Complex Tangent Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 14.4 The holomorphic tangent map. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 14.5 Dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 14.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 14.7 The holomorphic inverse and implicit functions theorems. . . . . 290 15 Lie Groups and Lie Algebras 293 15.1 Lie Algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 15.2 Classical complex Lie algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 15.2.1 Basic De(cid:12)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 15.3 The Adjoint Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 15.4 The Universal Enveloping Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 15.5 The Adjoint Representation of a Lie group. . . . . . . . . . . . . 303 16 Lie Group Actions and Homogenous Spaces 309 16.1 Our Choices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 16.1.1 Left actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 16.1.2 Right actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 16.1.3 Equivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 16.1.4 The action of Di(cid:11)(M) and map-related vector (cid:12)elds. . . 312 16.1.5 Lie derivative for equivariant bundles. . . . . . . . . . . . 312 17 Homogeneous Spaces and Klein Geometries. 315 17.1 Geometry of (cid:12)gures in Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . 318 18 Distributions and Frobenius’ Theorem 323 18.1 De(cid:12)nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 18.2 Integrability of Regular Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 323 18.3 The local version Frobenius’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 325 18.4 Foliations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 18.5 The Global Frobenius Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 18.6 Singular Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 18.7 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 19 Connections and Covariant Derivatives 337 19.1 De(cid:12)nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 19.2 Connection Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 19.3 Vertical and Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 19.4 Parallel Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 CONTENTS vii 19.5 The case of the tangent bundle: Linear connections . . . . . . . . 350 19.5.1 Comparing the di(cid:11)erential operators . . . . . . . . . . . . 353 19.5.2 Higher covariant derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 19.5.3 Exterior covariant derivative . . . . . . . . . . . . . . . . 357 19.6 Problem Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 20 Riemannian and semi-Riemannian Geometry 365 20.1 Tensors and Scalar Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 20.1.1 Scalar Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 20.1.2 Natural Extensions and the Star Operator . . . . . . . . . 369 20.2 Riemannian and semi-Riemannian Metrics . . . . . . . . . . . . . 375 20.3 Relativity and Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 20.4 Levi-Civita Connection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 20.5 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 20.5.1 Normal coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 20.6 Riemannian Manifolds and Distance . . . . . . . . . . . . . . . . 401 20.7 Covariant di(cid:11)erentiation of Tensor Fields . . . . . . . . . . . . . 403 20.8 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 20.8.1 Tidal Force and Sectional curvature . . . . . . . . . . . . 408 20.8.2 Ricci Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 20.9 Jacobi Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 20.10First and Second Variation of Arc Length . . . . . . . . . . . . . 414 20.11More Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 20.12Cut Locus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21 Geometry of Submanifolds 435 21.1 De(cid:12)nitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 21.2 Curves in Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 21.3 Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 22 Killing Fields and Symmetric Spaces 443 23 Comparison Theorems 447 23.0.1 Rauch’s Comparison Theorem 447 23.0.2 Bishop’s Volume Comparison Theorem. . . . . . . . . . . 449 23.0.3 Comparison Theorems in semi-Riemannian manifolds . . 449 24 Algebraic Topology 451 24.1 Topological Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 24.2 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 24.3 Cell Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 24.4 Axioms for a Homology Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 24.5 Simplicial Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 24.6 Singular Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 viii CONTENTS 24.7 Cellular Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 24.8 Universal Coe(cid:14)cient theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 24.9 Axioms for a Cohomology Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 24.10Topology of Vector Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 24.11DeRham’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 24.12Sheaf Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 24.13Characteristic Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 25 Ehressman Connections and Cartan Connections 461 25.1 Principal and Associated G Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . 461 (cid:0) 25.2 Principal and Associated Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 25.3 Ehressman Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 25.4 Gauge Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 25.5 Cartan Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 II Part II 469 26 Analysis on Manifolds 471 26.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 26.1.1 L2;Lp;L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 1 26.1.2 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 26.1.3 Elliptic Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 26.1.4 Star Operator II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 26.2 The Laplace Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 26.3 Spectral Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 26.4 Hodge Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 26.5 Dirac Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 26.5.1 Cli(cid:11)ord Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 26.5.2 The Cli(cid:11)ord group and spinor group . . . . . . . . . . . . 485 26.6 The Structure of Cli(cid:11)ord Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 26.6.1 Gamma Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 26.7 Cli(cid:11)ord Algebra Structure and Representation . . . . . . . . . . 487 26.7.1 Bilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 26.7.2 Hyperbolic Spaces And Witt Decomposition. . . . . . . . 488 26.7.3 Witt’s Decomposition and Cli(cid:11)ord Algebras . . . . . . . . 489 26.7.4 The Chirality operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 26.7.5 Spin Bundles and Spin-c Bundles . . . . . . . . . . . . . . 491 26.7.6 Harmonic Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 27 Classical Mechanics 493 27.1 Particle motion and Lagrangian Systems . . . . . . . . . . . . . . 493 27.1.1 Basic Variational Formalism for a Lagrangian . . . . . . . 494 27.1.2 Two examples of a Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . 497 27.2 Symmetry, Conservation and Noether’s Theorem . . . . . . . . . 497 27.2.1 Lagrangians with symmetries. . . . . . . . . . . . . . . . . 499 CONTENTS ix 27.2.2 Lie Groups and Left Invariants Lagrangians . . . . . . . . 500 27.3 The Hamiltonian Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 28 Symplectic Geometry 503 28.1 Symplectic Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 28.2 Canonical Form (Linear case) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 28.3 Symplectic manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 28.4 Complex Structure and Ka(cid:127)hler Manifolds . . . . . . . . . . . . . 507 28.5 Symplectic musical isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 28.6 Darboux’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 28.7 Poisson Brackets and Hamiltonian vector (cid:12)elds . . . . . . . . . . 512 28.8 Con(cid:12)guration space and Phase space . . . . . . . . . . . . . . . 515 28.9 Transfer of symplectic structure to the Tangent bundle . . . . . . 516 28.10Coadjoint Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 28.11The Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 28.11.1The con(cid:12)guration in R3N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 28.11.2Modelling the rigid body on SO(3) . . . . . . . . . . . . . 520 28.11.3The trivial bundle picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 28.12The momentum map and Hamiltonian actions. . . . . . . . . . . 521 29 Poisson Geometry 525 29.1 Poisson Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 30 Quantization 529 30.1 Operators on a Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 30.2 C*-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 30.2.1 Matrix Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 30.3 Jordan-Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 31 General Relativity 535 32 537 A Topological Spaces 539 A.0.1 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 A.0.2 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 A.1 B. Attaching Spaces and Quotient Topology . . . . . . . . . . . . 543 A.2 C. Topological Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 A.2.1 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 B The Language of Category Theory 551 B.0.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 B.0.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 C Primer for Manifold Theory 557 C.0.4 Fixing a problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 x CONTENTS D Modules, Multilinear Algebra 561 D.0.5 Contraction of tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 D.0.6 Extended Matrix Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 D.0.7 R Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 (cid:0) D.0.8 Alternating Multilinear Algebra. . . . . . . . . . . . . . . 579 D.0.9 Orientation on vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 583 E Useful ways to think about vector bundles 591 E.1 Operations on Vector Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 E.2 Banach Vector Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 E.3 Sections of a Vector Bundle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 F Overview of Classical Physics 599 F.0.1 Units of measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 F.0.2 Newtons equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 F.0.3 Classical particle motion in a conservative (cid:12)eld . . . . . . 601 F.0.4 Some simple mechanical systems . . . . . . . . . . . . . . 606 F.0.5 The Basic Ideas of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . 610 F.0.6 Variational Analysis of Classical Field Theory . . . . . . . 610 F.0.7 Symmetry and Noether’s theorem for (cid:12)eld theory . . . . . 611 F.0.8 Electricity and Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 F.0.9 Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 G Calculus on Banach Spaces 617 G.0.10 Di(cid:11)erentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 G.0.11 Chain Rule, Product rule and Taylor’s Theorem . . . . . 623 G.0.12 Local theory of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 G.0.13 The Tangent Bundle of an Open Subset of a Banach Space637 G.1 Localization and Smooth Model Spaces . . . . . . . . . . . . . . 639 G.2 Exterior Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 G.3 Topological Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 H Existence and uniqueness for di(cid:11)erential equations 643 H.0.1 Di(cid:11)erential equations depending on a parameter. . . . . . 643 H.0.2 Smooth Banach Vector Bundles . . . . . . . . . . . . . . . 644 H.0.3 Formulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 H.1 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 I Notation and font usage guide 655 I.1 Positional index notation and consolidation . . . . . . . . . . . . 657 J Review of Curves and Surfaces 659 J.0.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 J.0.2 Curves in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 J.1 Frenet Frames along curves in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 J.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666