Sitzungsberich te der Heidelberger Akademie der Wissenschaften Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse ======= Jahrgang 1948. 7. Abhandlung' ======= Die Jansen -Rayleighsche Naherung zur Berechnung von Unterschallstromungen Von H.Wendt in Bonn a. Rh. Vo rgelegt in der Sitzung yom 31. lanuar 1948 von W. Threlfall Heidelberg 1948 Springer-Verlag H. Wendt DreadeD, 7.1.1913 Aile Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Copyright 1948 by Springer-Verlag OHG. in Berlin, Gottingen alld Heidelberg. ISBN-13: 978-3-540-01353-2 e-ISBN-13: 978-3-642-45807-1 DOl: 10.1007/978-3-642-45807-1 US-W-1093. - Dezember1948. - 1000 Exemplare. Die Jansen_Rayleighsche Niiherung zur Berechnung von Unterschallstromungen. Yon H. Wendt in Bonn a. Rh., vorgelegt von W. THRELFALL. Bei der mathematischen Behandlung ebener, stationarer, kom pressibler, reibungsfreier, adiabatischer Stromungen muB man drei wesentlich verschiedene Gruppen unterscheiden: 'I. In allen Punk ten des Stromungsfeldes ist der Betrag der Geschwindigkeit groBer als die Schallgeschwindigkeit: Reine Uber schallstromungen. 2. Es gibt Punkte im Stromungsfeld, fUr die die Geschwindig keit groBer als die Schallgeschwindigkeit ist und solche, fUr die sie kleiner ist. 3. In allen Punkten des Stromungsfeldes ist der Geschwindig keitsbetrag kleiner als die Schallgeschwindigkeit: Reine Unter schallstromungen. Die Stromungen der ersten Gruppe geniigen einer hyperbolischen Differentialgleichung. Ihre Integration kann mit geniigender Ge nauigkeit mittels eines Charakteristikennetzes auf graphisch rechnerischem Wege bewaltigt werden. Die fUr die Praxis wich tigen Methoden sind seit langem von BUSEMANN, GUDERLEY, SAUER, SCHULz-GRUNOW und anderen entwickelt worden. Die Stromungen der zweiten Gruppe bieten z. Zt. noch groBe mathematische Schwierigkeiten, die durch die Anderung des Typs der Differentialgleichung vom hyperbolischen in den elliptischen beim Ubergang von Uberschall- zu Unterschallbereichen bedingt ist. Es existieren bisher nur wenige praktisch interessante durch gerechnete Beispiele. -147 - 4 H. WENDT: Die reinen Unterschallstromungen genugen einer elliptischen Different~algleichung. Fur ihre Berechnung sind verschiedene Naherungsmethoden ersonnen worden, von denen wir die haupt saehlichsten kurz auffuhren wollen. a) Die Theorie der dunnen Profile behandelt Stromungen, die sich wenig von einer Parallelstromung unterscheiden. Potential und Stromfunktion werden dabei nach einem von der geometrischen Gestalt des umstromten Profils abhangigem Parameter entwickelt. In den Koeffizienten der Entwicklung wird fur die Abhangigkeit von der Anstromgeschwindigkeit keine Vernachlassigung einge fuhrt. Die erste Naherung wird durch die Parallelstromung ge geben, der zweite Schritt fiiJlt mit der in der Praxis sehr wichtigen PRANDTL-BuSEMANKschen Naherung zusammen. b) Die Methode von v. KARMAN und TSIEN verknupft die Gas stromungen mit der Theorie der Minimalflachen. Physikaliseh wird dabei mit dem hypothetisehen Gas gerechnet, fur das das Verhaltnis der spezifischen Warm en bei konstantem Druck und Volumen den Wert - 1 hat. Die Adiabate dieses Gases ist eine Gerade im Druck-Volumendiagramm. Liegt eine Gasstromung urn ein dunnes Profil vor, wo die Geschwindigkeiten nur wenig von einer mittleren abweichen, so wird von der Addiabate l1ur ein kieines Stuck benutzt, das man naherungsweise durch eine Gerade ersetzen kann. In der Originalarbeit von v. KAR;\1AN und TSIEN wurden die zirkulationsbehafteten Stromungen zunachst ausgesehlossen. Durch neuere Arbeiten von P. GERMAIN, K.JAECKEL (als Bericht erschienen) ist diese Lucke geschlossen worden. e) Die in der Praxis weniger in Frage kommenden Stromungen urn dicke Profile werden durch die JANSEN-RAYLEIGHSehe Naherung beschrieben. Dabei wird eine Entwicklung des Potentials bzw. der Stromfunktion nach dem Quadrat der MAcHschen Zahl vor genommen. Den Ausgangsschritt des Verfahrens stellt die in kompressible Stromung urn das vorgegebene Profil dar. Den Konvergenzbeweis fUr die JANSEN-RAYLEIGHSche :\fethode hat E. HOLDER gefUhrt. Wir wollen in dieser Arbeit diese Naherung durch konsequente Einfiihrung komplexer GroBen darstellen (§ 1) und als Beispiel die symmetrische kompressible Stromung urn einen Kreiszylinder im Kanal mit festen Wand en behandeln (§ 3). Die dazu notige inkompressible Stromung wird in § 2 bereehnet. -148 - Die JANSEN-RAYLEIGHSche Niiherung. 5 § 1. Die Jansen-Rayleighsche Niherung. 1. Aufstellung der Differentialgleichung der kompressiblen Stromungen. Wir betrachten eine ebene, stationare, kompressible, adiabatische Potentialstromung, die wir auf ein rechtwinkliges kartesisches x y-Koordinatensystem bezogen denken. Mit q; (x, y) und 1p (x, y) bezeichnen wir das Potential und die Stromfunktion. Sind ft (x, y) und v(x, y) die Komponenten der Geschwindigkeit parallel zu den Koordinatenachsen, so gilt: v = q;" = - -(l1""1 ',., (1 ) (l (! (x, y) ist die Dichte der Gasstromung, mit dem Index (Xl bezeich nen wir hier und im folgenden die ZustandsgroBen im Unendlichen. Wir nehmen weiter an, daB im Unendlichen Parallelstromung der Geschwindigkeit Uoo = - U (U > 0), Voo = 0 herrscht. a = a(x, y) bedeutet die Schallgeschwindigkeit, a gibt dann den Wert der oo Schallgeschwindigkeit im Unendlichen an. Das Verhaltnis (1",,/(1 berechnet sich aus der BERNOuLLIschen Gleichung: (2) und dem Adiabatengesetz, das wir in der Form schreiben wollen, zu " = cpicv ist dabei das Verhaltnis der spezifischen Warmen bei konstantem Druck und Volumen, M = Ula"" bezeichnet die MAcHsche Zahl der Anstromung. Damit nimmt Gl. (1) die Ge stalt an: Diese beiden Gleichungen fassen wir zu einer komplexen zusammen, l! -- indem wir die zweite mit i = 1 multiplizieren und zur ersten -149 - 6 H. WENDT: addieren. Man findet: r ([1- "; -1 + + M2{(;y + (; }l"~l_1) IP% i IPy-1py i 1p% = 1 (1py-i1p%). (6) Die in Gl. (5) u. {6) auftretenden Funktionen IP(x, y) und 1p(x, y) nehmen wir als analytische Funktionen in x und y an. Sehen wir von einzelnen singuHiren Stellen auf dem umstromten Profil \l3 ab (unter Umstanden der Hinterkante), so konnen wir in cler Um gebung aller iibrigen Punkte xo, Yo des Stromungsbereiches das I Potential und die Stromfunktion in eine konvergente Potenzreihe nach steigenden Potenzen von x - Xo und y - Yo entwickeln: IP (x, y) = ~ a.,m(x - xo)e (y - Yo)m, e, In -= 0 (7) 00 1p(x, y) = ~ b.,m (x - xo)' (y - yo)m. e.m =0 Eine solche Entwicklung hat mathematisch auch dann noch Sinn, wenn wir zulassen, daB x und y komplexe Werte durchlaufen: + y = Yl i Y2 (Xl' x2, Yl' Y2 reell). (8) \Vir arbeiten dann in einem vierdimensionalen komplex en Raum, den wir auch mittels der Koordinaten &2 = x-i Y (9) beschreiben konnen. Die uns interessierende physikalische Stro mung findet in einer Ebene E des h kRalimes statt. Es miissen dort die GroBen X2 und Y2 von Gl. (8) verschwinden. Bezeichnen wir mit einem Querstrich iiber einer komplexen GroBe ihren konjugiert komplt!xen Wert (Ersetzen aller auftretenden GroBen i durch - i), so hat E die Gleichung: 31 =h Wir gehen zunachst daran, die Gl. (6) auf die neuen Koordinaten Gl. (9) umzuschreiben. Das Potential und die Stromfunktion bezogen auf die Koordi nat en 31> 32 des vierdimensionalen komplexen Raumes bezeichnen wir mit l/> (31) 32) und lJI (31' 32) : IP (x, y) = (J}(31' 32)' 1p(x, y) = lJI(31) 32) • - 150- Die ]ANSEN-RAYLEIGHSche Niiherung. 7 Transformieren wir (6) auf 31 und 32' wobei flir die Umrechnung der Differentialquotienten die Rechenregeln ° ° ° a;=~+~, gelten, so wird daraus: ([1- 2(~ +i O'P) = - 2i ~~M2{~ EtlJ ~ -1}l"~l -1) 0'P. (10) 05a 052 2 U 051 032 . 03a Fassen wir noch tJ> und 1J1 zu einem komplexen Potential U [J (31' 32) = tJ> (31) 32) + i lJf (31, 32) (Ha) zusammen und fiihren noch den Ausdruck U Q* (31' 02) = tJ> (01' 02) - i lJf (01' 02) t (1 1 b) em, so erhalt man aus Gl. (10) wegen die Gleichung 20Q =([1- M2{(OQ + OQ*)(oQ + OQ*)-1}l"~l-1)(OQ. _ oQ). (12) )e-1 051 2 051 051 032 038 052 052 Dies ist keine reine Differentialgleichung flir Q (J1' J2)' denn auBer den Ableitungen oQjoh und oQjOJ2 kommen noch die Ableitungen des gesternten Potentials Q* VOL 2. Die Differentialgleichung der RAYLEIGHSchen Naherung. Auf der rechten Seite von Gl. (12) tritt das Quadrat der MAcHschen Zahl der Anstromung als Parameter auf. Es liegt somit nahe, flir das Potential und die Stromfunktion eine Entwicklung nach M2 anzunehmen. Wir set zen daher: tp(X,y)=tpo(X,y) +M2tp1(X,y) +M4tp2(X,y)+,,' } (13) + + + ... . 1j!(x, y)= 1j!o(x, y) M21j!I(X, y) M41j!2(X,y) Mit tp;(x, y) = tJ>;(J1> J2)' 1j!; (x, y) = 1J1(J1> 32) (i = 0,1,2, ... ) schreiben wir dann im 01 02-Raum : Das Symbol n* ist wohl zu unterseheiden vom konjugiert komplex en n. Denn fiir die Bildung von n* wird nur der bei 'P(h, 32) stehende Faktor i dureh - i ersetzt, jedoeh nieht aile andcren i, die eventuell in t1i und 'P auftreten konnen. . -151- 8 H. WENDT: Durch U Q~ (31) 32) = (/); (31) 32) + ~!P; (31) 32) } (1 5) U Q; (31, 32) = (/); (31' 32) - Z !p; (31' 32) fUhren wir schlieBlich noch eine Entwicklung der komplexen Potentiale D und D* nach der MAcHschen Zahl ein: Q(31' 32) =Qo(31) 32) + M2Qd31> 32)+ M4Q2(31) 31) +"', (16a) Q*(31) 32)=Qt(31) 32)+M2Qf(31) 32)+M4Q:(31' 32)+ .. ·. (16b) Als die n-te Naherung fur das komplexe Potential einer kompres siblen Stromung nach der Methode von JANSEN und RAYLEIGH wollen wir den Abschnitt der Entwicklung von D (31' 32) bis zum n-ten Gliede bezeichnen. Die erste Naherung ergibt sich somit, wenn wir in Gl. (16a) auf der rechten Seite M = 0 setzen. Die zweite Naherung umfaBt die Glieder + Q 0 (31) 32) M2 Q1 (31' 32) , die dritte Nahertmg wird von den Gliedern + + Q 0 (31) 32) M2 Q1 (31' 32) M4 Q 2 (31) 32) gebildet usw. Entsprechend definieren wir die n-te Naherung fUr das Potential und die Stromfunktion. Von den in den Entwicklungen Gl. (13), (14) u. (16) auftretenden Koeffizienten IP,(x, y), "P;(x, y), (/),(31,32)' P;(31' 32)' D,(31) 32)' Df (31) 32) nehmen wir an, daB sie, wenn man von einer endlichen Zahl von singularen Stellen auf dem umstromten Profil absieht, in allen ubrigen Punkten des Stromungsbereiches der Ebene 31 = ~2 analytische Funktionen ihrer Argumente sind. Insbesondere gilt fUr Q; (31) 32) in der Umgebung eines gewohnlichen Punktes 3~, 3~ der Ebene E die konvergente Entwicklung: 00 L Q;(31' 32) = Ce,,,, (31 - 3~)' (32 - 3g)'" C.,,,, komplex. (17) e,,,.=O Wir gehen nun mit (16) in die Gl. (12) ein. Der Vergleich der Koeffizienten von MO, M2, M4, ... liefert dann die folgenden Dif ferentialgleichungen: 28Do=O (18) 831 ' 28D1 =..!..[(8Do + oD,~).(8Do + oDt)_1](oD: _ ODo) , (19) 03. 2 031 031 031 031 .831 031 -152 - Die }ANSEN-RAYLEIGHSche Naherung. 9 Auf der rechten Seite der Differentialgleichung fur D,. kommen nur die D; und Dr (i = 0, 1, 2, ... , n - 1) vor, so daB man D,. berechnenkann, wenn man diese Funktionen kennt. Urn physikalisch sinnvolle Losungen der Gl. (18) bis (20) an zugeben, mlissen wir noch genauer auf Dr (h, 32) eingehen. Zur Festlegung dieser Funktionen fordern wir, daB lP; (31) 32) und P; (h, 32) in der Ebene E: h = b2 fUr alle Punkte des Stromungs bereiches reelle Werte annehmen. Bezeichiien wir mit dem Sym bol iRe und ~m den Real- und Imaginarteil einer komplexen GroBe, so hat man also: (21) Damit fant in E offenbar Dr mit dem konjugiert komplex en Potential von D; zusammen. (22) Nehmen wir fUr D; (h, 32) in der Umgebung eines Punktes 3~, 3~ von E eine Entwicklung der Form (17) an, so heiBt wegen (21) die fUr'Dr (31' 02) : 00 Dr(~1> ~2) = L C• • m (~2 - ~g)'(31 - 3~)m giiltig in E. e,m=O Da wir aber D;* als analytische Funktion in 31 und 32 voraussetzen, gilt die obige Darstellung allgemein. Die Reihe fUr Dr konvergiert wie die fUr D; in der Umgebung des Punktes 3~, 3~ des Stromungs bereiches von E, wenn man von einer endlichen Zahl singularer Stell en auf \l3 absieht. Liegt insbesondere eine Funktion Do (31. 32) = Do (31) vor: 00 Do (h) = L a, (31 - 3~)' , .=0 Qri so ist (31) 32) eine Funktion von 32: (23) -153 ~ 10 H. WENDT: Nach diesen Vorbetrachtungen schreiten wir zur Integration der Differentialgleichungen (18) bis (20). 3. Integration des ersten und zweiten Schrittes. Das allge meine Integral von Gl. (18) ist offenbar eine in E beliebige ana lytische Funktion Do(31). Fiir diesen ersten Schritt des JANSEN RAYLEIGHSchen Verfahrens wahlen wir als Funktion das kom plexe Potential der inkompressiblen Stromung in E urn das Profil \l3 mit der Anstromgeschwindigkeit U. Der Real- bzw. der Imaginar teil ergibt dann nach Gl. (21) das Potential CPo bzw. die Strom funktion 'l'o in E: CPo= Uffie.Qo, ~= U~m.Qo giiltig in E. Beachten wir, daB Dt wegen (23) nur von 32 abhangt, so nimmt (19) die Gestalt an: -1) 4 aD = (dDo dDt dm . (24) aa.I dal daB daa Diese Differentialgleichung fiir D1 gilt nach unseren friiheren Uber legungen in einem Bereich des vierdimensionalen komplexen Raumes, der die P.unkte des Stromungsgebietes in der Ebene E bis auf einzelne singulare Punkte auf \l3 zu inneren Punkten hat. Auf der rechten Seite von (24) treten Produkte einer Funktion von 31 mit einer von 32 auf. Das allgemeine Integral laBt sich sofort angeben zu 4.01(31) 32)= ~~; f(~~]2d32-.Q: +11(31)· (25) Gehen wir in die Ebene E(31 = ~2) und schreiben dort fiir 31 und 52 31=3=X+iy, 52=~=x-iy (x,y reell), so erhalt man wegen Gl. (22) 4.Q1(3,It)=dd~of(d~ord5-.Qo+11(3) giiltig in E. (26) Damit haben wir ausgehend von der inkompressiblen Stromung Do(3) als erster Naherung den zweiten Schritt fiir das Verfahren von JANSEN und RAYLEIGH zur Ermittlung von Unterschall stromungen gewonnen, und zwar sowohl fiir die Potential- als auch fiir die Stromfunktion, die man nach (21) als den Real- bz'¥. den Imaginarteil von D1 erhalt: ume[d~o f(dd~or 4CP1(3, j)=4Uffie.Ql(3, 3)= d3-.Qo(5)+11(3)] } (27) 41Jl(3, j) = 4 U~m.Ql(3, It) =U~m [dd~o f(dd~or d3 -.00(3) +1;(3)]. -154 -