Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik •A .uov ö(}6Jpev t6yov rovrov döe~öv yvi}awv _. iJS-per- t..,an)p'1' y(}dq>eral tv rtI rou pav"dvovro. rpvZfJ ..• ov <I yey(}apptvo. e!öc.>Äov äv ... Ä,;yolro ÖI- 7/alc.>.. Plato. Die Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik Vorlesungen von Adolf Kneser Dr. phil. Dr.-Ing. Professor an der Universität zu Breslau Zweite umgearbeitete Auflage Braunschweig Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn Akt.-Ges_ 1 922 Alle Rechte, namentlich das Recht der übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. ISBN 978-3-322-98096-0 ISBN 978-3-322-98737-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-98737-2 Copyright, 1922, by Friedr. Vieweg & Sohn Akt.-Ges. Braunschweig, Germany. Reprint of the original edition 1922 Vorwort zur zweiten Auflage. Die neue Auflage unterscheidet sich von der ersten durch eine zusammenhängende Darstellung der allgemeinen Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern, die in der ersten Auflage stückweise und gelegentlich, wie sie gerade gebraucht wurde, bei den einzelnen Aufgaben entwickelt war. Sodann ist ein Abschnitt über die funktionen theoretischen Methoden hinzu gekommen, die in einer neuen Darstellung der Verallgemeine rungen des Fourierschen Integrals gipfeln. Die wissenschaftliche Arbeit des vergangenen.J ahrzehnts habe ich geprüft und, soweit sie in den Rahmen des Werks paßte, be rücksichtigt. Auch habe ich mein sachliches und geschichtliches Urteil über manche beim Erscheinen der ersten Auflage schon vorliegende Arbeiten geändert und aus ihnen reichlicher geschöpft als damals. Wesentliche Förderung verdanke ich wie bei der ersten Auf lage der· Mitarbeit meiner Schüler, über die ich in den Anmer kungen berichte. Möge denn auch die neue Auflage wie die erste Leser und Freunde finden, die nicht nur fertige Sätze suchen, sondern sich anregen lassen zur Weiterarbeit an dem unerschöpf lichen Vorrat mannigfaltiger und doch der allgemeinen Theorie zugänglicher Aufgaben, die unser Gegenstand darbietet. Breslau, im September 1922. Adolf Kpeser. Inhaltsverzeichnis. Erster A bschni tt. Integralgleichungen und lineare Wärmeleitung. Seite § 1. Wärmeleitung und Wärmequellen . . . . . . . . . 1 § 2. Hilfssatz aus der Integralrechnung. Quellenmäßig dargestellte Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 5 9 3. übergang zu den Integralgleichungen und einfachste Eigenschaften derselben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 4. Anwendung auf gewöhnliche Fouriersche Reihen 15 § 5. F 0 u r i ersehe Reihen für unstetige Funktionen. . 20 § 6. Das Theorem von Hurwitz ...... . 24 § 7. Wärme leitung im Ringe; Eigenwerte mit mehreren zugehörigen Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Zweiter Abschnitt. Integralgleichungen und Schwingungen linearer Massensysteme. § 8. Integralgleichungen und freie Schwingungen . 31 § 9. Anwendungen: die schwingende Saite 36 § 10. Schwingungen des frei herabhängenden Seiles 39 § 11. Der transversal schwingende Stab 43 § 12. Erzwungene Schwingungen und nichthomogene Integralgleichungen 47 § 13. Erzwungene Schwingungen einer Saite. 50 § 14. Erzwungene Schwingungen mit Rücksicht auf die Dämpfung 52 § 15. Kleine Schwingungen in ausgearteten Fällen 56 § 16. Spezielle Fälle von Ausartung . 59 § 17. Die ausgearteten Fälle nach einer zweiten Methode. Systeme, deren Schwingungszahlen sich im Endlichen häufen 65 Dritter Abschnitt. Allgemeine Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern. § 18. Die Schwarzschen Konstanten . . . . . . . 70 § 19. Beweis für die. Existenz einer Eigenfunktion . 75 § 20. Das vollständige System der Eigenfunktionen. 78 § 2l. Die bilineare Reihe des iterierten Kerns 83 § 22. Darstellung willkürlicher Funktionen. 86 § 23. Die nichthomogene Integralgleichung . 89 § 24. Der Mercersche Satz . . . . . . . . 93 § 25. Der We y Ische Satz über Addition zweier Kerne . 97 In ha I ts ver zeic b nis. VII Vierter Ab schni tt. Integralgleichungen und die S t u r m -LI 0 u v i1I e sehe Theorie. Seite § 26. Die Sturm-Liouvilleschen Funktionen . . . . . . . . . 100 § 27. 'übergang zu den Integralgleichungen. '. . . . . . . . .. 103 § 28. Anwendungen der allgemeinen Theorien des dritten Abschnitts. 108 § 29. Asymptotische Darstellung der Eigenfunktionen 109 § 30. Die bilineare Reihe und ihre Ableitung. . . . . 113 § 31. Belastete Integralgleichungen. . . . . . . . . . 117 § 32. Integralgleichungen und Besselsche Funktionen 122 § 33. Die Legendreschen Polynome. . . . . . . . . 130 § 34. Die bilineare Formel in Legendreschen Polynomen. 136 Fünfter Abschnitt. Wärmeleitung und Schwingungen in Gebieten von zwei oder drei Dimensionen. § 35. Die Poissonsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . .. 141 § 36. Die Greensche Funktion als Kern einer Integralgleichung. 147 § 37. Quellenmäßige Funktionen; der ausgeartete Fall. . . . .. 152 § 38. Eigenfunktionen und Greensche Funktion des Rechtecks als schwingender Membran oder wärmeleitender Platte 156 § 39. Summierung der erhaltenen Reihe und Verifikation 160 § 40. 'überblick über einige verwandte Fälle . . . . 164 § 41. Greensche Funktionen auf der Kreisfläche . . 168 § 42. Die Greensche Funktion auf der Kugelfläche. 171 § 43. Wärmeleitung in der Vollkugel . . . . . . . . 177 § 44. Darstellung willkürlicher Funktionen auf Grund der allgemeinen Theorie der Integralgleichungen . . . . . . . . . . . " 181 § 45. Entwicklung unstetiger Funktionen. . . . . . . . . . . " 190 § 46. Anwendung des Weylschen Satzes über Addition von Kernen 194 Sech s tel' Abschnitt. Punktionentheoretische Methoden. § 47. Thermoelastische Erscheinungen an geraden Stäben 199 § 48. Die funktionentheoretische Methode. 206 § 49. Die Sturm-Liouvillesche Aufgabe im komplexen Gebiet. 214 § 50. Die Greensche Funktion im unendlichen Grundgebiet 220 § 51. Die Fourier-Hilbsche Integraldarstellung willkürlicher Funk- tionen. 227 § 52. In tegraldarstell ungen in trigonometrischen und Besselschen Funktionen 235 Siebenter Abschnitt. Unsymmetrische Kerne und das Dirichletsche Problem. ~ 53. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern. 241 § 54. Das Dirichletsche Problem in der Ebene ... 244 § 55. Vereinfachung des in § 53 erhaltenen Kriteriums 248 VIII In h a Jt s ver z eie h ni s. Seite § 56. Die Existenz der Greenschen Funktion bei allgemeineren Pro- blemen der Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 § 57. Das Dirichletsche Problem im Raume. . . . . . . . . . . . 255 ~ 58. Das räumliche Dirichletsche Problem; spezielle Durchführung 260 § 59. Nullösungen beim räumlichen Dirichletschen Problem 263 Achter Abschnitt. Die Predholmschen Reihen. ~ 60. Formale Auflösung von Integralgleichungen und Integral- gleichungssystemen . . . . . . . . . . . 268 § 61. Der Hadamardsche Determinantensatz . . . . 272 § 62. Die Konvergenz der Fredholmschen Reihan . 276 § 63. Die Fredholmschen Reihen und die symmetrischen Kerne 280 Anmer kungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286 Erster Abschnitt. Integralgleichungen und lineare Wärmeleitung. §1. Wärmeleitung und Wärmequellen. Ist u die Temperatur eines geraden Stabes von der Länge Eins, der einer Umgebung von der Temperatur Null eingebettet ist; bedeutet ferner x den Abstand von einem seiner Endpunkte, t die in einer gewissen Einheit gemessene Zeit und b eine Kon stante, so gilt die Gleichung ou _ 02U _ 2 ot - ox2 b u, ° = und der Fall b bedeutet, daß keine Wärme seitlich aus gestrahlt wird. Diese Gleichung beruht auf den Annahmen, daß die seitliche Strahlung der Temperaturdifferenz proportional ist, und daß der Wärmefluß längs des Stabes, d. h. die in der Zeit einheit durch den Querschnitt in der Richtung wachsender x durch tretende Wärmemenge der Größe - ou/ox proportional ist, von der sie sich nur um einen positiven, durch das Material des Stabes bestimmten Faktor unterscheidet. Ist die Größe 0 U / (J x an der Stelle x = ~ stetig, so kann man dies durch die Gleichungen oul;-o = = 0, oul~-o oul~+o ox OXIHO OX ausdrücken, indem ma°u die an das Substitutionszeichen gehefteten + Symbole ~ - 0, ~ wie gewöhnlich dahin deutet, daß die un abhängige Variable von unten oder oben her gegen den W ert ~ konvergiert. Physikalisch bedeutet diese Gleichung; daß von der Seite x<~ her, sagen wir von links her, ebensoviel Wärme in den Querschnitt x = ~ hereinströmt, wie nach rechts abströmt. Soll daher an der Stelle x = ~ eine Wärmequelle liegen, d. h. soll im ganzen aus dem Querschnitt x = ~ eine Wärmemenge K II es er, Integralgleichungen. 2. Äull. 1 2 Erster .Abschnitt. §1. ausströmen, die die einströmende um einen konstanten Betra.g übertrifft, so muß eine Gleichung von der Form <7u:S+o_ (}UI~-O + const. ;o:X;-II - (;;):x;- gelten, speziell etwa die Gleichung ouiE-o -.- I = 1, OX~g+o die eine Wärmequelle von der Ergiebigkeit Eins definieren möge, indem wir die links stehende Größe allgemein als Ergie bigkei t bezeichnen wollen. Die Wärmebewegung nun, die durch Quellen und einen be liebig angenommenen Anfangszustand hervorgerufen wird, ist erst bestimmt, wenn über' die Art des Ausflusses der Wärme aus den Enden des Stabes Bestimmtes vorausgesetzt wird. Indem das Substitutionszeichen auf die Variable x bezogen wird und durch hund H positive Konstante bezeichnet werden, können die wich tigsten Fälle in folgender Weise gekennzeichnet werden: (A) u!o= U!l = 0. (B) u I'1 0 = 0, <(7) ux 1'1 = 0. (}UI (e) O _ oouxl: 1 -_ OX - 0. (D) . O(7 UX - h u I,0 = 0, (O) Ux + H U 11 = 0. Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen liegt auf der Hand: die Enden des Stabes werden auf der festen Tempe ratur Null gehalten oder adiatherman bedeckt oder lassen Wärme ausstrahlen. Speziell werde angenommen, die Wärmeverteilung sei stationär, = U also von t unabhängig, und an der Stelle x S liege eine Quelle von der Ergiebigkeit Eins-. Dann ha.t man zur Bestimmung der Temperatur w die Gleichungen -_ . d2w· dWI;-~ 1 d ..... - b2w = 0, ..,- dx ;+0 und eine der Randbedingungen .(A), ... (D) zu erfüllen, in denen u durch w zu ersetzen ist. Diese Aufgabe ist in allen Fällen leicht zu lösen. Die Größe w = = wird a.uf den Strecken von x = 0 bis x S und von x S bis § I. Lineare Wärmeleitung. 3 = x 1 verschiedene analytische Ausdrücke darbieten, im Punkte = x ~ aber einen eindeutig bestimmten Wert haben und stetig sein. Nimmt man z. B. den Fall (A), so geht man davon aus, daß die an einer der Stellen x = 0 und x = 1 verschwindenden Integrale d~r Gleichung (1) in der Form const. (sin b x, const. (sin b (1 - x) dargestellt werden können, wobei die gewöhnlichen Zeichen + . e e - e e - (Smu = -U -- 2~'U (Iof u = U 2 U eingeführt sein mögen. Sollen nun jene beiden Ausdrücke an der Stelle ~ dieselben Werte haben, so müssen sie die Form const. (Sin b (1 - g) (Sin b x, const. (Sin b (1 - x) (sin b ~ mit derselben Konstanten haben. Setzt man jetzt die Gleichung WjS-O d - -1 dx s+o- < an, so findet man für x ~ (sin b (1 - g) (Sinb x W = b(sinb ' für x ~ g dagegen _ (sin b (1 - x) (sin b ~ W - b (sinb . Im Falle l! = 0 erhält man spezien die Gleichungen < W = x (1 - ~), x ~ W = ~ (I-x), x ~ ~. Beide Ausdrücke w, der allgemeine wie der spezielle, sind in x und g offenbar symmetrisch. Legen wir ferner die Randbedingung (0) zugrunde, so ist davon auszugehen, daß (Iof b x, (Iof b (1 - x) die Integrale der Gleichung (1) sind, deren Ableitungen an einer = der Stellen x 0 und x = 1 verschwinden; daraus folgt leicht w -_ (Iof b (1b - (sin~) .b (Iof b x ,x < g, _ (Iof b (1 - x) . (Iof b g w - b (sin b ,x ~ ~. 1*