EXIRA MATERIALS extras.spri nger.c:om Die Frequenzkennlinien Eine Einführung in die Grundlagen des Frequenzkennlinien Verfahrens und dessen Anwendungen in der Regelungstechnik K.H. Fasol Mit 188 Abbildungen und 4 Ausschlagtafeln EXIRA MATERIALS extras.spri nger.c:om 1968 Springer-Verlag Wien GmbH Dipl.-Ing. Dr. techn. KARL HEINZ FASOL Dozent an der Technischen Hochschule Wien Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com. ISBN 978-3-7091-7963-S ISBN 978-3-7091-7962-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-7091-7962-8 Alle Rechte vorbehalten Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages übersetzt oder in irgendeiner Form vervielfältigt werden © 1968 Springer-Verlag Wien Ursprünglich erchienen bei Springer-Verlag/Wien 1968 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968 Library of Congress Catalog Card Number 68-13 225 Titel-Nr. 9225 Geleitwort Die Technik der modernen Regelung kann nur von ihrer Theorie her verstanden werden. Das gibt diesem Gebiet einen besonderen Reiz. Aber auch Schwierigkeiten eigener Art entstehen dadurch, denn für den theoretisch weniger Begabten gibt es kaum einen anderen Zugang zu den Kernproblemen der Regelungstechnik. Alle theoretischen Verfahren, die diesen Zugang erleichtern, haben deshalb große Bedeutung für die Anwendung. Die Frequenzgangdarstellung nimmt unter diesen Verfahren einen bevorzugten Platz ein. Sie ist ohne allzu großen mathemati schen Aufwand anwendbar und kann trotzdem bis zu einem vertieften Eindringen in schwierige Probleme ausgebaut werden. Sie zeigt auf einfache Weise einen Weg zur Operatordarstellung, ohne die die Signalfluß- und Blockschaltbilder nicht benutzt werden können, ohne die aber auch eine Modeliierung auf dem Analog oder Digitalrechner nicht möglich wäre. Die bildliehe Darstellung der Frequenz gangoperatoren durch ihre Ortskurven verhilft zu einer Einsicht in die regelungs technischen Zusammenhänge und zeigt, in welcher Hinsicht eine gegebene Regel anlage zu verändern ist, um günstige Regelergebnisse zu erhalten. Die graphische Behandlung von Ortskurven des Frequenzganges ist jedoch bei vielteiligeren Problemen umständlich und kann auch nur für einen gewissen, meist verhältnismäßig engen Frequenzbereich mit genügender Genauigkeit er folgen. Das Umzeichnen der Ortskurven in eine rechtwinkelige logarithmische Dar stellung beseitigt viele dieser Schwierigkeiten, so daß das "Frequenzkennlinien Verfahren" für die Praxis das bevorzugte Darstellungsverfahren geworden ist. Das vorliegende Buch zeigt in ausführlicher Weise die Behandlung von Regel problemen nach diesem Verfahren und gibt damit wohl zum ersten Mal eine zu sammenfassende Darstellung des Frequenzkennlinien-Verfahrens in Buchform. Die Tragweite dieses Verfahrens wird dabei besonders deutlich, da sowohl die linearen stetigen Systeme als auch die nichtlinearen Systeme und schließlich sogar die Abtastregelungen damit darstellbar sind. Das Buch füllt eine Lücke im heute vorhandenen deutschsprachigen Schrifttum aus und es möge ihm Erfolg auf diesem Weg beschieden sein. Darmstadt, im Juni 1968 W. Oppelt Vorwort Das Frequenzkennlinien-Verlabren zur Untersuchung und zum Entwurf von Regelkreisen wurde vorwiegend im englisch-amerikanischen Sprachraum ent wickelt und wird auch weitgehend Ui der russischen Literatur benützt. Auch im deutschen Sprachraum verdrängt es langsam die früher besser eingeführte Orts kurvenmethode. Die wesentlichen Grundlagen des Verfahrens wurden wohl schon in zahlreichen Aufsätzen und einigen Broschüren erläutert und die Methode wird auch in unzähligen Publikationen immer wieder verwendet. Die hier versuchte zusammenfassende Darstellung, die unter anderem auch das nichtlineare Gebiet berücksichtigt, stand jedoch in Buchform bisher nicht zur Verfügung. Es wird also ein Themenkreis behandelt, der immer aktuell sein wird. Trotz des Trends zur computergesteuerten Prozeßführung wird es nämlich auch in den nächsten Jahrzehnten immer noch eine Vielzahl von herkömmlichen Regelkreisen geben, zu deren Entwurf die konventionelle Regelungstheorie unumgänglich ist. Nicht zuletzt deshalb wird der Studierende oder der Betriebsingenieur seine Studien immer mit der konventionellen Theorie beginnen müssen, wenn er sich dem Gebiet der modernen Steuerungs- und Regelungstechnik zuwendet. Dieses Buch soll ihm dann helfen, sich über das Frequenzkennlinien-Verfahren zu infor mieren. Es lag nicht in meiner Absicht, ein weiteres in die Grundlagen der Rege lungstechnik einführendes Lehrbuch zu schreiben. Da und dort mußte jedoch etwas weiter ausgeholt werden, um die jeweils notwendigen Grundlagen und Zusammenhänge zu schaffen. Gewisse Grundkenntnisse des Lesers werden aber vorausgesetzt. Der Lektüre sollte deshalb unbedingt das Studium eines grundlegen den Lehrbuches vorausgehen [z. B. 84, 121, 201, 243, 249, 287]. Das vorliegende Buch ist eine Erweiterung einiger Kapitel meiner regelungs technischen Vorlesungen und verschiedener Veröffentlichungen, und es verwendet auch manchmal Ergebnisse einiger von mir betreuter Diplomarbeiten. Im ersten Teil habe ich eine Zusammenstellung der Grundlagen des Frequenzkennlinien Verfahrens und dessen Anwendungsmöglichkeiten bei der Analyse und Synthese linearer Regelkreise versucht. Im zweiten Teil wird auch die Untersuchung von nichtlinearen und nichtstetigen Systemen behandelt. In beiden Teilen habe ich besonderen Wert auf einfache Näherungsmethoden gelegt, die bei guter Genauig keit die Anwendung der Verfahren oft beträchtlich erleichtern. Einige abstrakt gedachte Übungsbeispiele am Ende einzelner Kapitel sollen dem Leser Gelegenheit zum Einüben der Methoden geben. Im dritten Teil wird dann über die Durch führung und Auswertung von Frequenzgangmessungen gesprochen. Der thematischen Abgrenzung des Buches entsprechend finden bei der System analyse nur sinusförmige Testsignale Berücksichtigung. Von der Behandlung uer Systemanalyse mittels stochastischer Signale habe ich abgesehen, weil es dar- Vorwort V über ausreichende Literatur gibt, vor allem die ausgezeichneten Werke von H. SoHLITT [281, 379]. Im Literaturverzeichnis finden sich weitere Hinweise [16, 51, 87, 127, 189, 195, 203, 204, 280, 288, 290, 331, 332]. Für meinen Lehrer an der Technischen Hochschule Wien, Herrn o. Professor Dr. F. SoHULz, empfinde ich große Dankbarkeit, weil er mich vor etlichen Jahren dazu veranlaßt hat, neben meinem bisherigen Fachgebiet des hydraulischen Ver suchs- und Meßwesens mich auch in das Gebiet der Regelungstechnik einzuarbei ten. Er übertrug mir nach und nach alle seine regelungstechnischen Vorlesungen an der Fakultät für Maschinenwesen und hat dadurch indirekt, aber doch wohl entscheidend zum Zustandekommen dieses Buches beigetragen. Es ist mir auch eine angenehme Verpflichtung, Herrn PETER VINGRON' für die umsichtige Bearbei tung der Abschnitte 7 und 11 herzlich zu danken. Außerdem bin ich Herrn VIN' GRON' für das Lesen von Manuskript und Korrekturbogen sowie für zahlreiche wertvolle Ratschläge großen Dank schuldig. Dem Institut für Numerische Mathe matik an der Technischen Hochschule Wien (Vorstand o. Prof. Dr. H. J. STETTER) danke ich für die einige Male notwendige Benützung der Rechenanlage IBM 7040. Herzlicher Dank gebührt schließlich auch Fräulein E. DöLTL für das sorgfältige Schreiben des Manuskriptes. Dem Springer-Verlag in Wien danke ich bestens für die Herausgabe des Buches in der gewohnt mustergültigen Springer-Ausstattung. Wien, im Frühjahr 1968 Karl Heinz Fasol Inhaltsverzeichnis A. Lineare Systeme Seite 1. Beschreibung des dynamischen Verhaltens von regelungstechnischen Vber· tragungsgliedern . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Übertragungsfunktion, Frequenzgang, Ortskurve. . 2 1.2 Reguläre und nichtreguläre Übertragungsfunktionen 6 1.3 Die Grundformen der Übertragungsglieder. 8 1.3.1 Reguläre Glieder . . . . . 8 1.3.1.1 P-Giied . . . . . . . . . 8 1.3.1.2 D-Giied und I-Glied . . . 8 1.3.1.3 PD1-Giied und PT1-Giied. 9 1.3.1.4 PD2-Giied und PT2-Giied. 11 1.3.2 Nichtreguläre Glieder . . . . . . 13 1.3.2.1 Nichtreguläre Glieder erster und zweiter Ordnung 13 1.3.2.2 Allpaß-Giieder . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2.3 Totzeit-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Beschreibung des Vbertragungsverhaltens durch Frequenzkennlinien . 16 2.1 Die Frequenzkennlinien (Bode-Diagramm). 16 2.2 Die Grundformen der Frequenzkennlinien . 19 2.2.1 P-Giied . . . . . . . . . 19 2.2.2 D-Giied und I-Glied. . . . . . . . 19 2.2.3 PD 1-Giied und PT 1-Giied . . . . . 20 2.2.3.1 Annäherung der Phasenkennlinien durch Gerade . 23 2.2.3.2 Annäherung der Phasenkennlinien durch Hyperbeln 25 2.2.4 PD2-Giied und PT2-Giied . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4.1 Annäherung der Phasenkennlinien durch Gerade . . 33 2.2.4.2 Annäherung der Phasenkennlinien durch Hyperbeln 34 2.2.5 Nichtreguläre Glieder; Totzeit 35 2.2.6 Zusammenfassung. 36 2.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . 38 3. Zusammenhang zwischen Amplituden· und Phasenkennlinie bei regulären Systemen . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1 Das Gesetz von BoDE. . . . . . . . 40 3.2 Vereinfachte Bestimmung der Phasenkennlinie 44 3.2.1 Graphische Näherungsmethode . . . . . 44 3.2.2 Rechnerische Näherungsmethode . . . . 44 4. Frequenzkennlinien von geschlossenen Systemen und Parallelschaltungen 46 4.1 Frequenzkennlinien einschleifiger Systeme. . . . . . . 46 4.1.1 Das Nichols-Diagramm . . . . . . . . . . . . 48 4.1.2 Abschätzung des Verlaufes der Frequenzkennlinien 51 Inhaltsverzeichnis VII Seite 4.2 Frequenzkennlinien von Parallelschaltungen . . . . . . 52 4.2.1 Verwendung des Nichols-Diagrammes . . . . . . 53 4.2.2 Abschätzung des Verlaufes der Frequenzkennlinien 54 4.3 Frequenzkennlinien mehrschleifiger Systeme . 54 4.4 Übungsaufgaben . 58 5. Stabilitätsanalyse . . 59 5.1 Das vereinfachte Nyquist-Kriterium 61 5.1.1 Näherungsverfahren zur Stabilitätsprüfung. 64 5.1.2 Zwei-Ortskurven-Methode . . . . . . 65 5.2 Allgemeine Fassung des Nyquist-Kriteriums . 67 5.2.1 Zwei-Ortskurven-Methode 73 5.3 Übungsaufgaben . . . . 74 6. Analyse der Stabilitätsgüte . 77 6.1 Absolute Stabilitätsgüte . 78 6.1.1 Grundformen der Güte-Kennlinien 79 6.1.2 Diskussion des Verfahrens 82 6.2 Relative Stabilitätsgüte . . . . . . . . 83 6.2.1 Grundformen der Güte-Kennlinien. 83 6.2.2 Zusammenhang zwischen Amplituden- und Phasenkennlinie; Verallgemei- nerung des Gesetzes von BODE . . . . . . . . . . . . . 85 6.2.2.1 Vereinfachtes Kriterium für relative Stabilitätsgüte 86 6.2.3 Zwei-Ortskurven-Methode 90 6.3 Übungsaufgaben . . . 91 7. Synthese des Regelkreises 92 7.1 Die anzustrebende Amplitudenkennlinie des offenen Systems. 94 7.1.1 Die mittelfrequente Asymptote . . . . . . . . . . . 96 7.1.2 Übergang von der mittelfrequenten zur niederfrequenten Asymptote 98 7.1.3 Die niederfrequente und die hochfrequente Asymptote. . . . . . . 100 7.1.4 Nomogramme zur Bestimmung der Kenngrößen des geschlossenen Systems 101 7.2 Korrigierende Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.1 Mechanische, hydraulische und pneumatische Netzwerke 112 7.2.2 Passive Gleichstrom-Netzwerke .... 115 7.3 Das Einfügen der korrigierenden Netzwerke . 124 7.3.1 Serienkorrektur .......... . 124 7.3.2 Parallelkorrektur . . . . . . . . . . 124 7.3.2.1 Korrektur durch Gegenkopplung (Rückführung) 124 7.4 Optimale Reglereinstellung 126 7.5 Übungsaufgaben .................. . 128 B. Nichtlineare und nichtstetige Systeme 8. Die Beschreibungsfunktion zur Analyse nichtlinearer Systeme. 130 8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.2 Kennlinien und Beschreibungsfunktionen . . 134 8.2.1 Betrags- und Argumenten-Diagramme. 137 VIIT Inhaltsverzeichnis Seite 8.3 Stabilitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.3.1 Zwei.Ortskurven-Methode . . . . . . . . . . . . 140 8.3.1.1 Anwendung im Frequenzkennlinien-Ye rfahren 142 8.3.2 Stabilitätsdiagramme 143 8.4 Übungsaufgaben . . . . . 145 9. Die Relais-Charakteristiken zur Analyse von Relaissystemen 146 9.1 Die Methode von ZYPKIN zur Analyse der Eigenschwingungen eines Relais- systems. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.1.1 Symmetrisches Schalten eines Relaissystems ohne Totzone ....... 147 9.1.2 Symmetrisches Schalten eines Relaissystems mit Totzone ....... 153 9.1.2.1 Näherung mit Hilfe der "vereinfachten Relais-Charakteristiken" 154 9.2 Erweiterungen der Methode von ZYPKIN . . . . . . . 158 9.2.1 Knicke oder Unstetigkeiten der Ausgangsgröße x(t) 158 9.2.2 Unsymmetrisches Schalten . . . . . . . 160 9.2.2.1 Unsymmetrisches Schalten eines Relaissystems ohne Totzone. Linearteil ohne Integration . . . 162 9.2.2.2 Unsymmetrisches Schalten eines Relaissystems ohne Totzone. Linearteil mit Integration . 165 9.3 Übungsaufgaben ............. . 167 10. Näherungsweise Stabilitätsanalyse linearer Abtastsysteme. 168 10.1 Beschreibungsfunktion für Abtaster und Formierungsglied . 170 10.1.1 Näherungsformeln für die negativ inversen Beschreibungsfunktionen 174 10.1.2 Anwendung im Frequenzkennlinien-Verlabren . . . . . . . . . . 176 C. Experimentelle Analyse und ldentitlkation 11. Durchführung und Auswertung von Frequenzgangmessungen . 179 11.1 Erzeugung von Sinusschwingungen 182 11.1.1 Funktionsgeneratoren . . . 182 11.1.1.1 Elektrische Sinusgeneratoren 182 11.1.1.2 Pneumatische und hydraulische Sinusgeneratoren 183 11.1.1.3 Mechanische Sinusgeneratoren 187 11.1.2 Wahl der Amplitude . . . . . . . . 188 11.1.3 Wahl des Frequenzbereichs. . . . . . 189 11.1.3.1 Km:itinuierlich veränderte Frequenz . 190 11.2 Registrierung der Signale. . . . . . . . . . 194 11.3 Kommerzielle Frequenzgang-Meßeinrichtungen . . . 197 11.4 Kennwertermittlung. . . . . . . . . . . . . . . 202 11.5 Beispiel für durchgeführte Versuche: Frequenzgangmessungen in Wasserkraft- anlagen . . . . . . . 206 Lösungen der Vbungsaufgaben. 214 Literaturverzeichnis . . . . 247 Namen- und Sachverzeichnis. 261 Tafeln ............ . nach 264 A. Lineare Systeme "Will man bei der Untersuchung eines Regelvorganges zu einer rechnerischen Lösung kommen, so wird man gezwungen sein, gewisse Näherungen einzuführen. Der Zusammenhang zweier voneinander abhängigen Größen entspricht sehr häufig einer recht komplizierten Funktion, die zwar vielfach in Form einer Kurve vorliegt, die aber mathematisch nur schwer zu erfassen ist. Man ersetzt nun diese Kurve durch die Tangente im Betriebspunkt. Diese Ersatzgerade hat dann allerdings nur in einem gewissen Bereich Gültigkeit. Wir beschränken uns damit auf diesen Bereich und müssen uns Rechenschaft über die Grenzen der Gültigkeit unserer Rechnung ablegen. Man spricht von einer Linearisierung des Systems und rechnet dann nur mit linearen bzw. linearisierten Regelgliedern." A.LEONHARD 1. Beschreibung des dynamischen Verhaltens von regelungstechnischen Übertragungsgliedern Die uns in der Regelungstechnik beschäftigenden Netzwerke haben - von Ausnahmen abgesehen - die Eigenschaft, daß sie durch Strukturumwandlung des Signalflußplanes auf die Standardform eines vielschieHigen Regelungssystems (Abb. 1.1) zurückgeführt werden können (s. Abschnitt 4.2). Das System Abb. 1.1 IV Abb. 1.1. Vielschleifiges Regelungssystem Abb. 1.2. Einschleifiger Regelkreis baut sich wiederum aus einzelnen ineinandergeschachtelten einschleifigen Kreisen nach Abb. 1.2 auf. Diese Abbildung zeigt den konventionellen Regelkreis mit den Bezeichnungen des Normblattes DIN 19226 [69, 70]1. Die diesen Kreis betreffen den grundsätzlichen Aufgabenstellungen der konventionellen Regelungstechnik sind in allen Lehrbüchern [u. a. 43, 84, 107, 121, 201, 243, 244, 249, 251, 267, 287] eingehend behandelt. Davon wollen wir uns im Rahmen dieses Buches nur 1 Die Ziffern in eckigen Klammern beziehen sich auf das Literaturverzeichnis. 1 Fasol, Frequenzkennlinien