Christoph Mayer Die Entwicklung der Zinsstrukturkurve GABLER EDITION WISSENSCHAFT Christoph Mayer Die Entwicklung der Zinsstrukturkurve Eine Analyse homogener affiner Mehrfaktormodelle auf Basis des Kalman-Filters Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Peter Albrecht GABLER EDITION WISSENSCHAFT Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Dissertation Universität Mannheim, 2008 1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Gabler | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Claudia Jeske /Stefanie Loyal Gabler ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbe- sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. indiesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8349-1701-0 Geleitwort V Geleitwort Festzinstitel sind für zahlreiche Unternehmen ein bedeutendes Element der Kapitalan- lage. Sie unterliegen einer im Vergleich zu Aktien geringen Volatilität und ermögli- chen hierdurch eine gewisse Kontinuität in der Wertentwicklung. Für Fragen der Kapitalanlageprojektion, die sowohl im Rahmen des Asset-Managements, des Asset/ Liability-Managements wie auch im Rahmen der Gesamtunternehmenssteuerung von Relevanz sind, wird damit die Modellierung und Projektion der Wertentwicklung des Zinstitelbestands zur zentralen Problemstellung. Traditionelle Verfahren zur Projektion des Kapitalmarktzinses erweisen sich dabei als ungenügend. Es ist notwendig, die gesamte Zinsstruktur und deren zeitliche Entwick- lung modellmäßig zu erfassen, um – darauf aufbauend – eine Projektion der Wertent- wicklung des Zinstitelbestands vornehmen zu können. Den Standardansatz hierfür bieten arbitragefreie Modelle der Zinsstrukturentwicklung. Traditionell finden hierfür insbesondere Einfaktormodelle Verwendung. Wie neuere Arbeiten zeigen, kann damit die Reichhaltigkeit empirischer Veränderungen der Zinsstruktur nur eingeschränkt er- fasst werden. Dies überträgt sich entsprechend auf die empirische Validität der Zinsti- telprojektion. Es entsteht damit die Notwendigkeit zur Analyse von Multifaktormo- dellen. Die vorliegende Arbeit kalibriert traditionelle Einfaktormodelle ebenso wie ausge- wählte Multifaktormodelle (Vasicek-k, Cox/Ingersoll/Ross-k) unter Verwendung ge- eigneter statistischer Verfahren (Maximum-Likelihood-Schätzung auf Basis des Kal- man-Filters) auf der Grundlage von empirischen Daten des deutschen Kapitalmarkts. Darauf aufbauend erfolgt eine mittel- bis langfristige Projektion der Entwicklung der Zinsstrukturkurve sowie eine Evaluation der Reichhaltigkeit entstehender Zinsstruk- turformen. Schließlich wird auch die Wertentwicklung eines Beispielportfolios aus Staatsanleihen des Bundes in den verschiedenen Modellen simuliert. Auf Basis der Analyse der durchgeführten Betrachtungen werden dann Schlüsse über die Adäquanz unterschiedlicher Zinsstrukturmodelle im Rahmen der Projektion der Wertentwicklung des Zinstitelbestandes eines Unternehmens gezogen. Die Arbeit ist konsequent konzipiert. Sie besitzt eine klare Struktur, stellt die theoreti- schen Grundlagen verständlich dar und besticht durch eine hohe Detailtiefe im empiri- schen Teil. Die Arbeit erbringt eine große Zahl von hoch interessanten Resultaten, die VI Geleitwort aus wissenschaftlicher, aber auch aus praktischer Sicht von Bedeutung sind. Ich wün- sche der Arbeit deshalb breite Beachtung und weite Verbreitung. Prof. Dr. Peter Albrecht Vorwort VII Vorwort Dieses Vorwort soll keine fachliche Einführung in die Themenstellung geben, hierfür sei der Leser auf die Einleitung oder auch das Geleitwort verwiesen. Stattdessen nutze ich diese Stelle für persönliche Anmerkungen und zur Danksagung. Die vorliegende Dissertationsschrift entstand während meiner Zeit als wissenschaftli- cher Mitarbeiter an der Universität Mannheim. Mein großer Dank gilt zunächst mei- nem Doktorvater, Herrn Prof. Dr. Peter Albrecht, der einerseits meine Forschung in ausgezeichneter Weise betreute und mir andererseits genügend Freiraum zur Ent- wicklung und Verwirklichung eigener Ideen ließ. Zudem ermöglichte er mir den di- rekten und intensiven Kontakt mit Studierenden. Die Vorlesungen und Übungen, welche ich leiten durfte, bereiteten mir stets eine au- ßerordentliche Freude. Danke an die zahlreichen Hörer, die mir mit ihrem positiven Feedback zu meiner Veranstaltung ihr Interesse an der Qualität der Lehre signalisier- ten. Die Jahre an der Universität Mannheim brachten mir aber auch einen reichhaltigen Erfahrungsgewinn, gerade weil sich die Vielfalt von Charakteren verschiedener Men- schen wohl nur selten so deutlich zeigt wie an einer Universität. Aus den zahlreichen Studierendenjahrgängen werde ich einige Hörer in besonderer Erinnerung behalten. Weiter darf ich Frau Traudel Walther hervorheben, die als Sekretärin des Lehrstuhls fortwährend eine große Hilfe bot, insbesondere in organisatorischen Fragestellungen. Dank gilt auch all denjenigen, die mir mit Zuspruch und Motivation zur Seite standen. Herrn Timo Klett, Frau Tina Lochmann, Frau Kerstin Röhm und Herrn Dr. Carsten Weber gebührt eine namentliche Nennung für die kritische Durchsicht des Manu- skripts und ihre hilfreichen Anmerkungen. Mein größter Dank gilt meiner Familie. Meine Eltern, Helmut und Brigitte Mayer, standen mir jederzeit zur Seite, so dass ich mich in allen Belangen stets auf ihre Hilfe verlassen konnte. Ihre liebevolle Unterstützung in allen Lebenslagen war und wird immer von größter Bedeutung für mich sein. Christoph Mayer Inhaltsverzeichnis IX Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis.............................................................................................XIII Tabellenverzeichnis..................................................................................................XXI 1 Einleitung..............................................................................................................1 2 Arbitragefreie Zinsstrukturkurvenmodelle......................................................4 2.1 Vorbemerkung...............................................................................................4 2.2 Homogene affine Modelle.............................................................................5 2.3 Vasicek-Modell...........................................................................................11 2.3.1 Einfaktormodell................................................................................11 2.3.2 Mehrfaktormodell.............................................................................13 2.4 Cox/Ingersoll/Ross-Modell.........................................................................15 2.4.1 Einfaktormodell................................................................................15 2.4.2 Mehrfaktormodell.............................................................................17 3 Projektion der Zinsstruktur und Parameterschätzung..................................20 3.1 Vorbemerkung.............................................................................................20 3.2 Kalman-Filter..............................................................................................20 3.2.1 Einführung........................................................................................20 3.2.2 Systemgleichungen...........................................................................21 3.2.3 Start der Rekursion...........................................................................23 3.2.4 Projektion der Beobachtungsvariablen.............................................25 3.2.5 Aktualisierung der Zustandsvariablen..............................................25 3.2.6 Projektion der Zustandsvariablen.....................................................25 3.2.7 Zusammenfassung des Kalman-Filters.............................................26 3.2.8 Maximum Likelihood-Schätzung der Systemmatrizen....................26 3.2.9 Mehrstufige Projektion der Beobachtungsvariablen........................29 X Inhaltsverzeichnis 3.3 Anwendung des Kalman-Filters auf das Vasicek-Modell...........................31 3.3.1 Vorüberlegungen zur Gewinnung der Zustandsgleichung...............31 3.3.2 Einfaktormodell................................................................................33 3.3.3 Zweifaktormodell..............................................................................37 3.3.4 Dreifaktormodell...............................................................................41 3.3.5 Mehrfaktormodell.............................................................................43 3.4 Anwendung des Kalman-Filters auf das CIR-Modell.................................44 3.4.1 Vorüberlegungen zur Gewinnung der Zustandsgleichung...............44 3.4.2 Einfaktormodell................................................................................45 3.4.3 Zweifaktormodell mit unabhängigen Faktoren.................................48 3.4.4 Dreifaktormodell mit unabhängigen Faktoren..................................50 3.4.5 Mehrfaktormodell mit unabhängigen Faktoren................................52 3.4.6 Mehrfaktormodell mit korrelierten Faktoren....................................53 4 Empirische Auswertungen und Anwendungen...............................................55 4.1 Datengrundlage...........................................................................................55 4.2 Resultate der Modellidentifikation..............................................................59 4.2.1 Vorbemerkung..................................................................................59 4.2.2 Vasicek-Modell.................................................................................63 4.2.2.1 Einfaktormodell...................................................................63 4.2.2.2 Zweifaktormodell.................................................................69 4.2.2.3 Dreifaktormodell..................................................................74 4.2.3 Cox/Ingersoll/Ross-Modell...............................................................80 4.2.3.1 Einfaktormodell...................................................................80 4.2.3.2 Zweifaktormodell.................................................................85 4.2.3.3 Dreifaktormodell..................................................................90 4.3 Projektion und Simulation der Zinsstrukturkurve.......................................99 4.3.1 Vorbemerkung..................................................................................99 4.3.2 Vasicek-Modell...............................................................................106 4.3.2.1 Einfaktormodell.................................................................106 4.3.2.2 Zweifaktormodell...............................................................111 4.3.2.3 Dreifaktormodell................................................................117 Inhaltsverzeichnis XI 4.3.3 Cox/Ingersoll/Ross-Modell.............................................................122 4.3.3.1 Einfaktormodell.................................................................122 4.3.3.2 Zweifaktormodell...............................................................128 4.3.3.3 Dreifaktormodell................................................................133 4.4 Modellvergleich.........................................................................................138 5 Bewertung eines Beispielportfolios.................................................................161 5.1 Vorbemerkung...........................................................................................161 5.2 Vasicek-Modell.........................................................................................165 5.2.1 Einfaktormodell..............................................................................165 5.2.2 Zweifaktormodell............................................................................166 5.2.3 Dreifaktormodell.............................................................................168 5.3 Cox/Ingersoll/Ross-Modell.......................................................................169 5.3.1 Einfaktormodell..............................................................................169 5.3.2 Zweifaktormodell............................................................................171 5.3.3 Dreifaktormodell.............................................................................172 5.4 Modellvergleich.........................................................................................174 6 Schlussbetrachtung..........................................................................................179 Anhang: Ergänzende Tabellen und Abbildungen.................................................183 Literaturverzeichnis.................................................................................................205