Die elliptischen Funktionen von Jacobi FiinfstelligeTafeln, mit Differenzen, von snu, cnu, dnu mit den natiirlichen Zahlen als Argument, nach Werten von m (= k2) rangiert, nebst Formeln und Kurven von L. M. Milne -Thomson Assistant Professor of Mathematics in the Royal Naval College, Greenwich Berlin Verlag von Julius Springer 1931 Alle Rechte, insbesondere das der Obersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1931 ISBN-13: 978-3-642-89403-9 e-ISBN-13: 978-3-642-91259-7 DOl: 10.1007/978-3-642-91259-7 Vorwort. Die Zahl der Probleme, deren Losung durch elliptische Funk tionen ermoglicht wird, ist sehr groB. Die Anwendungsgebiete er strecken sich auf Elektrotechnik, Physik, Mechanik, Hydromecha nik, im Gebiete der reinen Mathematik auf Algebra, Zahlentheorie, Differentialrechnung, Geometrie, konforme Abbildungen, Kurven und Flachentheorie. Die Einfiihrung der elliptischen Funktionen (im Gegensatz zu den elliptischen Integralen) erleichtert das Rechnen und fiihrt zu Transformationen, die sonst leicht iibersehen werden konnen. Die einfachsten elIiptischen Funktionen, mit deren Hilfe nume rische Rechnungen durchgefiihrt werden konnen, sind die Jacobi schen. Diese konnen als eine Erweiterung sowohl der Kreis- als auch der Hyperbelfunktionen angesehen werden. Tafeln dieser Funktionen sind bisher nicht erschienen; die vorliegende Arbeit solI diese Liicke ausfiilIen. Es ist fast iiberfliissig zu erwiihnen, daB Thetafunktionen und elliptische Integrale keine echten elliptischen Funktionen sind, weil ihnen die grundlegende Charakteristik der Doppeltperiodizitat fehlt. Da bei den praktischen Anwendungen des Elektrotechnikers, des Ingenieurs sowie alIer anderen wissenschaftlichen Arbeiter die natiir lichen Zahlen und das Quadrat des Moduls (d. h. k2) als Argumente in Frage kommen, habe ich diese Zahlen als Argumente hervor gehoben. Ich habe auch die natiirlichen, nicht die logarithmischen Werte angegeben, weil anzunehmen ist, daB Ausrechnungen inimer mehr unter Verwendung von Rechenschiebern bzw. Rechenmaschi nen vorgenommen werden, und ich war bestrebt, vom Standpunkt III der praktischen Anwendungsmoglichkeit aus, die Tafeln recht uber sichtlich und fur ein schnelles Auffinden zweckma13ig zu gestalten. Die Werte des Arguments u greifen bei jedem Modul auf die zu gehorige Viertelperiode K uber; die Werte von K werden auf jeder Seite wiederholt. Ich habe auch Formeln angegeben, mit deren Hilfe Werte der Jacobischen elliptischen Funktionen sowie der Weierstra13schen &-J-Funktion fUr jedes reelle oder komplexe Argu ment sowie fiir jeden Wert des Moduls berechnet werden konnen. Da die Funktionen niemals den Wert Eins ubersteigen und auf funf Dezimalstellen berechnet sind, ist der Dezimalpunkt unnotig. Urn eine eventuelle Interpolation zu erIeichtern, sind die ersten Diffe renzen, bei festem Modul, angegeben. Drei Abbildungen zeigen den VerIauf von sn u, cn u, dn U nach steigendem Modul. Mit Ruck sicht auf gelegentliches mehrstelliges Rechnen habe ich eine acht stellige Tafel der vollstandigen "eIliptischen Integrale K, K', E, E' und der Zahl q mit dem Intervall O·OI fUr m hinzugefUgt. Sie sind meinen zehnstelligen Tafeln dieser Zahlen (erstmalig veroffentlicht im Journal of the London Mathematical Society I930, I93I) ent nommen. Ein weiteres Hilfsmittel zum mehrstelligen Rechnen bietet meine Tafel von Quadratwurzeln1. Da bisher keine systematischen Tafeln der doppeltperiodischen Jacobischen Funktionen berechnet worden sind, sind die vorIiegen den Tafeln vollstandig neu und einzigartig, ein kurzer Abri13 der Herstellung wird deshalb vielleicht nicht ohne Interesse sein. Zu q nachst wurden zehnstelligeTafeln von und 2K/n fur m= 0·01-0·99 berechnet und eine zehnstellige Tafel von cos {}, mit Differenzen, fiir {} = 0·00I-7·000 aufgestellt. Danach wurde eine zehnstellige Grundtafel von dn u fUr jedes m unter Heranziehung der q-Reihen gemacht. Aus dieser Tafel wurden sn u, cn u hergeleitet. Die vor liegenden fUnfstelligen Tafeln wurden mittels Interpolation2 aus der Grundtafel, mit einem groBtmoglichen Fehler von ± 0·52 Ein heiten der fiinften Dezimale, errechnet. Aus der Grundtafel lassen 1 L. M. Milne-Thomson: Standard Table of Square Roots. London: G. Bell & Sons Ltd. AchtsteUige Quadratwurzeln, mit Differenzen, von x und 10 x fur jedes vierstellige x. 2 1m Nautical Almanac 1931: Interpolation Tables S. 847, vorletzte Linie, stat t 62 lies 6 I. IV sich selbstverstandlich nach Bedarf Tafeln h6herer Stellenzahl ableiten. Bei dieser Arbeit bin ich von meiner Frau so tatkraftig unterstutzt worden, daB ich ihr an dieser Stelle meinen besten Dank sage. Zum SchluB habe ich die angenehme Pflicht, der Verlagsbuch handlung Julius Springer, deren Unternehmungsgeiste die mathe matische Wissenschaft so vie! verdankt, fur das bereitwillige Ein gehen auf alle meine Wunsche hinsichtlich der Drucklegung meinen lebhaften Dank auszusprechen. Greenwich, im Juni 1931. L. M. Milne-Thomson. v Inhaltsverzeichnis. Seite EinfUhrung VII Numerische Beispiele . VIII Allgemeine F ormeln . X Additionsformeln . XI Transformationen . XII Integrale . . . . XII Die WeierstraBsche S-J-Funktion XIV Graphische Darstellung von sn u I Fiinfstellige Tafel von sn u . . . 2 Graphische Darstellung von en u 23 Fiinfstellige Tafel von en u . . . 24 Graphische Darstellung von dn u 45 Fiinfstellige Tafel von dn u. . . 46 Achtstellige Tafel von K, K', E, E', q, ql 66 VI Einftihrung. Es sei I< p ~:Sin2tp' u = VI _ o Die elliptischen Funktionen von Jacobi sind durch die Be ziehungen sn (u, k) = singJ, cn (u, k) = cosgJ, dn (u, k) = + YI - k2sin2gJ erkHirt. Sie sind einwertige doppeltperiodische Funktionen vom Argument u mit je zwei einfachen Polen in einem Periodenpar allelogramm. Die lahl kist der Modul, der komplementare YI - Modul ist k' = 7i2. Bei Anwendungen ist aber gewohnlich k2 (nicht k) gegeben und wir sehen deshalb in den vorliegenden Tafeln die Funktionen als abhangig von k2 an. Von diesem Ge I I sichtspunkte aus wird fur die Funktionen sn (u k2), cn (u k2), I dn (u k2) geschrieben, wodurch wir jede Verwechslung mit der Schreibweise sn (u, k), cn (u, k), dn (u, k) vermeiden. Setzt man m = k2, so ist die lahl m1 = I - m = I - k2 = k'2 komplementar zu m. Wir schreiben dann sn (u 1m), cn (u 1m), dn (u 1m), wenn wir die lahl m ins Auge fassen wollen. Bei Quotienten schreiben wir (nach Glaisher) nur die Anfangsbuchstaben des Nenners und des lahlers, so daB z. B. scu statt snu geschrieben wird. Bei cnu Reziproken werden die Buchstaben vertauscht, z. B. ndu=-I-. dnu Lost man die Gleichung a = sn u auf, so ist u = sn-1 a; cn-1 a, dn-1 a sind in ahnlicher Weise zu verstehen. Die Interpolation zwischen den Werten von mist einfach, wenn u < lK. Wenn u > ~K, konnen die Funktionenwerte auf Werte fur u - K zuriickgefuhrt werden. Die betreffenden Formeln sind in der Formelsammlung angegeben. VII Als interessantes Beispiel der Anwendung zeigen wir die L6sung der Eulersehen Gleiehungen def freien Bewegung eines fest en K6rpers: P- A (B - C) q r = 0, Bq- (C-A)rp=o, C; - (A - B) Pq = 0, wo p, q, r Winkelgesehwindigkeitskomponenten bedeuten und A> B > C. Hier setzt man p = Po en (n (t - to) 1m) , q = h sn (n (t - to) 1m), r = r dn (n (t - to) 1m) . 0 Setzt man diese Werte in die Gleiehungen ein, so ergibt sich ~ _ A (A - C) _ A - B. A P8 2 _ (A - Cl(B - C) 2 pg - B(B-C)' m- B-C Crg' n - AB ro' Numerische Beispiele. Interpolationsformel f (a + x) = f (a) + x [Li' -l (1 - x) Lin] . Li' ist die erste, Li" die zweite Differenz. (1) Gesueht sn(0'75 , YO'4) sn(0'75 , YO'4) = sn(0'75 I 0'4) = 0.66316. (2) Gesueht en (0'54 , 0'98) m = k2 = (0'98)2 = 0'9604, cn(0'54 I0 '9) = 0.86884, + 120 = Li', I en (0'54 1'0) = 0.87004, cn(0'54 I 0'9604) = 0.86956 = en (0'54 , 0'98). (3) Gesueht sn(4'71 0'70) 4'7 - 2 K = 4'7 - 4'15073 - 0'54927, sn(4'710'70) = - sn(0'54927 I 0'70) = - 0'50658. (4) Gegeben u = 0·60, k = 0'50; gesueht dn(u, k') m = k2 = 0'25; m = 0'75 = k'2, 1 dn(0·60JO·70) = 0.88986, Li' = - 1550, Lin = + 5, dn(~t, k') = 0·88210. VIII (5) Gesucht sn (2·5410·99) en (K - u) sn u = dn (K _ u)' K - u = 1.15564, sn 2. O. = en (1.155641 (;·99) = 0.57135 = o. 8 8 ( 541 99) dn (1.1556410'99) 0.57721 9 9 S· (6) o . J6 df} (7) V-;= ===== = sn-1(0·s! 0·5) = 0.53562 . I - sin2 : sin2 f} o (8) Gesucht So (0·5; 16, 0) e1, e2, e3 sind die Losungen der Gleichung (s. S. XIV) 4X3 - 16x = 0, e1 = 2 , e2 = 0, e3 = - 2, k2 = m = 42" " = 0·5, 6J(0·S; 16, 0) = _. 2 + 4ns2 (1.0! 0·5) = - 2 + -8(4 - )2 = 4.2034. , o· ~30 (9) Gesucht So (0·2; - 52 136) J - C1, e2, e3 sind die Losungen der Gleichung (s. S. XIV) 4X3 + 52 X + 136 = 4(x + 2) (X2 - 2 X + 17) = 0, e2 = - 2 , H2 = 2 e22 + .4 ~e2 = 25 ' m = ~2 _ 3H e 2 = 0.8 ' + _ I 6 __ 2 • I en (0.8944271 0.8) r(0·2; -52; 3)- +5 l-en(0.894427/o.8) =- 2 + 5·1-.6-86-4-1 = 24.889. 0·3 1359 IX Formeln. k2 = m o o =fI d I E V l - nzx2 dx, E'=flhV- nzlX2dx 1-X2 1-X2 o o K' I I q=e-nJ[, KE'+K'E-KK'=!n, loglO-loglO--= 1.8615228349 q ql j(u) sn U cnu dnu j (0) 0 I I nzt I 1 j(tK) VI VI nzt + +mt 1 nz! f(K) I 0 nzt 1 f(- u) - snu cnu dnu + f (U '1 i K') snu - cnu - dnu f(u +zK) - snu --cnu dnu j(zK - u) snu - Cntl dnu j (4 K - u) - snu en u dnu + Perioden 4K , z iK' 4K , zK ziK' zK, 4i K' + + Pole iK' , z K iK' iK' , zK iK' i K', 3 i K' Residuen nz-! , - nz-i - im-i , i nz-! - i, i Nullstellen 0, zK K, 3K K + i K, K + 3 i K' 20)0 dnu=:n; --+z:n-; --qS- coss-:n;- u zK K I 1+ q2S K x