Ernst-Erich Doberkat Die Drei Ein Streifzug durch die Rolle der Zahl in Kunst, Kultur und Geschichte Die Drei Ernst-Erich Doberkat Die Drei Ein Streifzug durch die Rolle der Zahl in Kunst, Kultur und Geschichte Ernst-Erich Doberkat Lewackerstr. 6 b 44879 Bochum, Deutschland ISBN 978-3-662-58787-4 ISBN 978-3-662-58788-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-58788-1 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Annika Denkert Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Für Anneke Marika Vorwort Der New Yorker zeigte neulich einen Cartoon, in dem ein Paar in einer Gallerie vor einerReihevonGemäldenstehtundsiediskutiert.DieGemäldehängenineinerReihe und zeigen jeweils lediglich die Ziffern 1, 2, 3, 4, nichts sonst. Die Wand ist leer, von denBildernabgesehen.OffenbaristdieDiskussionernsthaft,manspürtförmlich,dass die beiden jeden Aspekt der einzelnen Zahlen erfassen möchten und in sie eindringen wollen. Dieses Buch stellt die Zahl Drei in den Mittelpunkt, wir sehen uns an, in welchen Zusammenhängen die Drei vorkommt, in der Dichtung, der bildenden Kunst, in der Musik, bei den Chinesen, als Dreiermenge und bei Fraktalen, als Fibonacci-Zahl. Das Themaistsicherunerschöpflich,hierwirddennauchnureinkleinerAusschnittpräsen- tiert.WirhabeninjedemFallversucht,einenBezugzurMathematikherzustellen,mal mehr, mal weniger, und dabei zu zeigen, dass die Mathematik keine weltabgewandte, bedrohliche,langweiligeundziemlichunverständlicheKunstist,dasssievielmehrzum KernderDingevordringtunddaherunverzichtbarist.Dazusolltemanwohlmathema- tische Argumente und die Argumentation verstehen. Auch hierzu möchte dieses Buch beitragen, vergnüglich, aber ohne die notwendige Strenge zu vernachlässigen (doch, doch, Sie werden sehen, das geht). Inhaltsverzeichnis 1 Ein Buch über die Zahl Drei?................................... 1 1.1 Gute Güte – wirklich? ............................................. 1 1.2 Ein Flug über die Kapitel aus großer Höhe ........................... 5 1.3 Danksagungen .................................................... 14 2 Sizilien ist dreieckig............................................. 17 2.1 Trinakria......................................................... 18 2.2 Odysseus fährt im Dreieck.......................................... 21 2.2.1 Polyphem und die Isole dei Ciclopi ............................ 21 2.2.2 Die Prophezeiung des Teiresias ................................ 25 2.3 Skylla und Charybdis.............................................. 28 2.4 Die Sache mit den Schilden......................................... 34 2.5 Intermezzo: Pythagoras und der Schild des Euphorbos ................. 40 2.5.1 Der Satz des Pythagoras ..................................... 40 2.5.2 Seelenwanderung ............................................ 42 2.5.3 Inkommensurable Zahlen ..................................... 43 2.6 Antike Münzen aus Sizilien ......................................... 48 2.7 Hasen und all das ................................................. 50 2.7.1 Flaggen .................................................... 50 2.7.2 Der Hasen und der Löffel drei ... ............................. 51 2.7.3 Der jüdische Friedhof in Satanov .............................. 53 2.7.4 Die Mogao-Höhlen in Dunhuang............................... 54 2.8 Rückblick ........................................................ 55 2.9 Anhang: Programmcode ........................................... 55 3 Dreiteilung des Winkels......................................... 59 3.1 Das Problem ..................................................... 59 3.2 Origami.......................................................... 61 3.3 Zirkel und Lineal.................................................. 64 3.3.1 Konstruierbare Zahlen ....................................... 67 3.3.2 Erweiterungskörper .......................................... 69 3.3.3 Des Rätsels Lösung .......................................... 72 3.4 Näherungen und andere Alternativen ................................ 77 3.4.1 Die Lösung von Archimedes................................... 78 3.4.2 Die Quadratrix des Hippias ................................... 79 3.4.3 Die Näherungslösung von Albrecht Dürer....................... 80 3.5 Übrigens, auch die Kubikwurzel aus zwei ist faltbar.................... 83 3.6 Nachtrag: Ein visueller Beweis des Ähnlichkeitssatzes von Euklid........ 85 4 Die Dreiermenge von Georg Cantor............................. 91 4.1 Einleitung........................................................ 91 4.2 Die Konstruktion der Dreiermenge .................................. 93 x Inhaltsverzeichnis 4.3 Unendlich? ....................................................... 97 4.3.1 Unendliches Zählen .......................................... 97 4.3.2 Hilberts Hotel............................................... 99 4.3.3 War’s das schon? ............................................ 101 4.4 Zurück zur Cantor-Menge .......................................... 108 4.4.1 Ternäre Darstellungen........................................ 108 4.4.2 Selbstähnlichkeit ............................................ 111 4.5 *Ein Blick hinter die Kulissen....................................... 114 4.5.1 Werkzeuge.................................................. 114 4.5.2 Kontraktionen .............................................. 117 4.5.3 Zweidimensionaler Staub ..................................... 118 4.6 Eine Galerie einfacher Fraktale...................................... 121 4.6.1 Turtle-Graphik.............................................. 121 4.6.2 Die Koch-Kurve............................................. 123 4.6.3 Sierpinskis Sieb ............................................. 126 4.6.4 Barnsleys Blätter............................................ 129 5 0, 1, 1, 2, 3, 5, ..., ............................................. 135 5.1 Zahlen – Man kann auch Kaninchen nehmen.......................... 135 5.2 Leonardo Fibonacci ............................................... 137 5.3 Die Fibonacci-Zahlen .............................................. 144 5.3.1 Ein Python-Skript ........................................... 144 5.3.2 Die Goldene Zahl............................................ 146 5.3.3 Nicht nur Kaninchen......................................... 149 5.3.4 *Die Fibonacci-Darstellung ................................... 152 5.4 Für reifere Leser: Erzeugende Funktionen ............................ 156 5.4.1 Die erzeugende Funktion für die Fibonacci-Zahlen ............... 158 5.4.2 *Nur für ganz reife Leser!..................................... 160 5.4.3 Die erzeugende Funktion als Informant......................... 167 5.4.4 Geld wechseln............................................... 169 5.4.5 Jetzt drehen wir den Spieß um ................................ 171 5.5 Das haben wir erreicht............................................. 175 6 Drei Kronen, alle anderen zu beherrschen ...................... 177 6.1 Eine Krone auf die andere.......................................... 177 6.1.1 In Sutri wurde gehandelt ..................................... 178 6.1.2 Die Investitur von Bischöfen .................................. 178 6.1.3 Mitra Diadem Krone Tiara ........................... 179 6.2 Zur Semantik..................................................... 182 6.2.1 Kirchli!che Protoko!lle......!................................... 183 6.2.2 Verzicht auf die Tiara........................................ 183 6.3 Und die Teufelszahl 666?........................................... 184 7 Piero della Francescas Flagellazione di Cristo................... 185 7.1 Die Geißelung .................................................... 185 Inhaltsverzeichnis xi 7.2 Die Textgrundlage................................................. 187 7.3 Das Bild ......................................................... 190 7.3.1 Das Prätorium .............................................. 190 7.3.2 Die Personen im Vordergrund ................................. 191 7.3.3 Lichtquellen ................................................ 192 7.3.4 Der Fußboden............................................... 193 7.3.5 Convenerunt in unum........................................ 194 7.3.6 Provenienz ................................................. 196 7.4 Fragen........................................................... 196 7.5 Piero della Francesca .............................................. 197 7.5.1 Vita ....................................................... 198 7.5.2 Der Mathematiker........................................... 200 7.6 Historisches ...................................................... 211 7.6.1 Rom....................................................... 211 7.6.2 Florenz .................................................... 213 7.6.3 Urbino ..................................................... 215 7.7 Zur Interpretation................................................. 217 7.7.1 R. Lightbown: Bitte um Hilfe ................................. 217 7.7.2 J. R. Banker: Erinnerungsbild................................. 220 7.7.3 M. A. Lavin: Trauer und Tröstung............................. 224 7.7.4 J. V. Field: Übung zur Perspektive? ........................... 228 7.7.5 S. Ronchey: Aufruf zum Kreuzzug ............................. 229 7.8 Bunte Steine ..................................................... 234 8 Tres faciunt collegium .......................................... 237 8.1 Eine kraftvolle Idee................................................ 237 8.2 Zur Historie: Collegia .............................................. 238 8.2.1 Triumviri .................................................. 240 8.2.2 Ämter: Die Kraft der Drei .................................... 242 8.2.3 Die beiden Triumvirate....................................... 244 8.3 Der Dreisatz, Goethes Franzosen und andere Betrachtungen ............ 244 8.3.1 Das Kind bekommt einen Namen.............................. 248 8.3.2 Ringe: runde Monoide?....................................... 250 8.3.3 Mathematiker sind nicht Goethes Franzosen .................... 252 8.4 Die Heiligen Drei Könige ........................................... 253 8.4.1 Die drei Weisen aus dem Morgenland .......................... 254 8.4.2 Der Weg nach Köln: Lesarten ................................. 255 8.4.3 Der Weg nach Mailand: Zwei Versionen ........................ 259 8.5 Macbeths Hexen .................................................. 263 8.5.1 Die Prophezeiung............................................ 264 8.5.2 Hekate ..................................................... 267 8.5.3 Der Wald von Birnam........................................ 271 8.6 Die unsichtbare Dritte ............................................. 272 xii Inhaltsverzeichnis 8.6.1 Christenpflichten ............................................ 273 8.6.2 Miss West darf fehlen ........................................ 275 9 Drei Chinesen mit nem Kontrabass ... ......................... 279 9.1 Die Schlacht am Roten Felsen....................................... 279 9.2 Götter und Drachen ............................................... 281 9.2.1 Drei Göttliche Könige........................................ 282 9.2.2 Drachen und ihre Klassifikation ............................... 287 9.3 Einige mathematische Beispiele ..................................... 289 9.3.1 Berechnung von Wurzeln ..................................... 293 9.3.2 Die Technik der Himmlischen Elemente ........................ 296 9.3.3 Meister Suns Problem........................................ 298 9.3.4 Da steht ein Berg auf einer Insel............................... 308 10 Dreiklänge und andere Harmonien.............................. 311 10.1 Einleitung und Übersicht........................................... 311 10.2 Noten, Tonleitern und all das ....................................... 313 10.2.1 Die Dur-Tonleitern .......................................... 314 10.2.2 Die Moll-Tonleitern.......................................... 316 10.2.3 Metriken ................................................... 317 10.2.4 Dreiklänge und Restklassenringe............................... 320 10.2.5 Tonnetze ................................................... 329 10.3 Transformationen ................................................. 332 10.3.1 Ein kleiner Baukasten........................................ 333 10.3.2 Pachelbels Canon in D....................................... 334 10.3.3 Taverners The Lamb ......................................... 336 10.3.4 Beethovens Fünfte Symphonie ................................ 338 10.3.5 *Eine Anmerkung zum Notensatz ............................. 340 10.4 Opern ........................................................... 341 10.4.1 Die Zauberflöte ............................................. 342 10.4.2 Norma ..................................................... 343 10.4.3 Die Walküre ................................................ 345 10.4.4 Die Liebe zu den drei Orangen ................................ 347 10.5 Die h-Moll-Messe von Johann Sebastian Bach ........................ 348 10.5.1 Das Credo.................................................. 349 10.5.2 Wiederverwendung und Parodie ............................... 351 Wenn Sie mehr wissen wollen......................................... 355 Literaturverzeichnis .................................................. 357 Abbildungsnachweis .................................................. 368