Rheinisch-Westfälische Akademie der Wissenschaften Natur-, Ingenieur-und Wirtschaftswissenschaften Vorträge · N 321 Herausgegeben von der Rheinisch-Westfälischen Akademie der Wissenschaften SIEGFRIED GROSSMANN Deterministisches Chaos GÜNTER HARDER Experimente in der Mathematik Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 299. Sitzung am 6. Oktober 1982 in Düsseldorf CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Großmann, Siqpriecl: Deterministisches Chaos I Siegfried Großmann. Ezperimente in der Matb6- matik I Günter Marder. (Vorträge I Rheinisch-Wesdliliscbe Akademie der Wmensc:haften: Natur-, Ingenieur-u. W"lrtSC:baftswiss.; N 321) ISBN 978-3-531-08321-6 ISBN 978-3-663-14467-0 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-14467-0 NE: Harder, Günter: Experimente in der Mathematik; Rbeinisch-Wesdliliscbe Akademie der Wissensc!Wten (Düsseldorf): Vorträge I Natur-, Ingenieur-und Wirtschaftswissenschaften © 1983 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen 1983 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1983 ISSN 0066-5754 ISBN 978-3-531-08321-6 Inhalt Siegfried Großmann, Marburg Deterministisches Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Einleitung: Das Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Diskrete Dynamik: Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Chaos in der diskreten Dynamik................................. 16 5. Ordnung im Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6. Ergänzender Ausblick . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . 26 7. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Diskussionsbeiträge Professor Dr. phil. nat. habil. Hermann Flohn; Professor Dr. rer. nat. Siegfried Großmann; Professor Dr. med. Benno Hess; Professor Dr. rer. nat. Werner Hildenbrand; Professor Dr. rer. nat. Horst Rollnik; Professor Dr.-Ing. RolfStaufenbiel; Professor Dr. sc. techn. Alfred Fettweis; Professor Dr. rer. nat. Heiner Müller-Krumbhaar; Professor Dr. rer. nat. Claus Müller 30 Günter Harder, Bonn Experimente in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Literatur......................................................... 55 Diskussionsbeiträge Professor Dr. rer. nat., Dr. h. c. Friedrich Hirzebruch; Professor Dr. rer. nat. Günter Harder; Professor Dr. rer. nat. Horst Rollnik; Professor Dr. rer. nat. Werner Schreyet; Professor Dr. rer. nat. Heiner Müller-Krumbhaar; Professor Dr. Andrew P. Ogg; Dr. math. Michael!.Aska; Professor Dr. rer. nat. Falko Lorenz; Professor Dr. rer. nat. Max Koecher; Professor Dr.-Ing. Rolf Staufenbiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Deterministisches Chaos Von Sieg(ried Großmann, Marburg 1. Einleitung: Das Phänomen Chaos is in. Was bedeutet "Chaos", was reizt immer mehr Forscher aus immer mehr Disziplinen, sich damit zu beschäftigen? Vielleicht ist es die wachsende Zahl merkwürdiger Beobachtungen, die in jüng ster Zeit die Aufmerksamkeit erregt haben und die zu ihrem Verständnis sehr widersprüchlich klingende Kategorien zu erfordern scheinen. Es handelt sich um Bewegungsabläufe in makroskopischen Systemen fern vom thermischen Gleich gewicht, die einerseits durch klassische Bewegungsgleichungen determiniert ver laufen sollten, andererseits aber gewisse Züge "zufälligen" Geschehens aufweisen, indem das zeitliche Verhalten irregulär und nicht längerfristig vorhersagbar ist, kurz gesagt "chaotisch" aussieht. Das äußert sich z. B. bei der Fourieranalyse geeigneter Variabler x(t) der untersuchten Systeme im Auftreten von Breithand spektren x( v), die nicht durch thermisches Rauschen verursacht sein können. Vielleicht ist es die außerordentlich reichhaltige, teilweise universelle Struktur und Ordnung, die der pseudo-stochastischen Unordnung vorgelagert bzw. über lagert ist. Sie äußert sich in wohlstrukturierten Kaskaden von Subharmonischen in den Spektren x(v) bzw. in Periodenverdopplungen immer höherer Ordnung im Zeitablauf x(t), wenn man äußere Parameterader betrachteten Systeme ändert. Subharmonische sind zu unterscheiden von den wohlbekannten höheren Harmo nischen, die für verzerrte Schwingungen typisch sind. Vielleicht ist es schließlich die verblüffend einfache Möglichkeit, komplizierte Zeitabläufe und reichhaltig strukturierte Spektren mit ganz einfachen, allerdings wesentlich nichtlinearen Gleichungen zu modellieren. Man kann nämlich "per Hand", geometrisch konstruierend oder durch einen Taschenrechner unterstützt multiplizierend und addierend komplizierte Phänomene nachahmen, insbe sondere quasi- stochastische Dynamik, selbsterzeugtes deterministisches Chaos "erleben". Man beobachtet so etwas z. B. bei Flüssigkeiten im Bereich des Turbulenzein satzes, in offenen chemischen Reaktionssystemen mit permanenten Massen-oder Energieströmen, in nichtlinearen elektrischen Schaltkreisen etwa mit V araktor dioden bei periodischem äußeren Antrieb, in piezo-elektrisch getriebener akusti- 8 Siegfried Großmann (a) (d) (b) (e) (c) (f) 0 1/2 flfo 0 1/2 f lfo Bild 1: Spektren der Schwingungen eines nichtlinearen elektrischen Oszillators (LAUTERBOllN et al. [1]) bei harmonischer Anregung mit wachsender Stärke oo a. scher Kavitation von Flüssigkeiten, in Josephson-Elementen, bei der Erzeugung von Wirbellinien in He li durch ersten Schall, bei optischer Turbulenz im Laser getriebenen optisch bistabilen Material, in NMR-Messungen usw. Beispiele seien in Bild 1, 1' und Bild 2 gezeigt. Man erkennt in Bild 1 die fortgesetzte Bifur kation zu immer tieferen Subharmonischen der festen Anregungsfrequenz f 0 (1/2--+ 1/4--+ 1/8). Sie sind von ihren jeweiligen höheren Harmonischen beglei tet, der charakteristischen Begleiterscheinung nichtlinearer verzerrter Schwingun- Deterministisches Chaos 9 a 23 0 b 23 0 c 23 ~~ 'I 0 I I 20 min Bild 1' : Zeitliche Änderung der Sauerstoffkonzentration in einem offenen chemischen Reaktions system, der Meerrettich-Peroxidase-katalysierten Oxidation von NADH durch Sauerstoff. Von oben nach unten abnehmende Peroxidase-Konzentration, nach ÜLSEN und DEGN [1]. 10 Siegfried Großmann (a) bolom~t~rs, x(t) (b) 1.25mm 0 LGMAG 3mm dB -SO+-~~~~~--~~so o 0 100 20 300 400 (c) I mHz f, f, 16 20 - 0 LGMAG dB LGMAG dB -40 ~T -so+-~+-~~--~--~ -40 0 100 200 300 400 500 mHz -40 .J.,..J---,-----L.---.-J._,....:.L.L,.,..:.:...:....,J 440 500 f/mHz 560 0 f, .t. .t. f, 20 -8 8 4 LGMAG dB -so~~--~--~~--~so o -40 _.__--r---,--~--r-......;..r 0 100 200 300 400 450 550f/mHz650 mHz Bild 2: Spektren (log der Amplitude in dB) der lokalen Temperaturmessung T(t) in einer Rayleigh Benardzelle [2]. a) Das Strömungsfeld in einer von unten erwärmten Flüssigkeitsschicht. Einsatz der regulären Konvektion bei einem Temperaturgefälle .dT "'2,5 mK zwischen unterer und 0 oberer Platte. b)ßT(oca) liegt im lntervall40,5ßTc bis 43 ßTc. c)ßT im Chaosbereich 43 .dTc bis 43,5 ßTc.