Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen Eine historische Untersuchung u¨ber die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosophie und Kunst Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades des Fachbereichs Mathematik der Universit¨at Hamburg vorgelegt von Klaus-Heinrich Peters aus Gu¨tersloh Hamburg 2004 Als Dissertation angenommen vom Fachbereich Mathematik der Universit¨at Hamburg auf Grund der Gutachten von Prof. Dr. G. Wolfschmidt und Prof. Dr. K. Fredenhagen Hamburg, den 18.6.2003 Prof. Dr. A. Kreuzer Dekan des Fachbereichs Mathematik Klaus-Heinrich Peters Der Zusammenhang von Mathematik und Physik am Beispiel der Geschichte der Distributionen Eine historische Untersuchung u¨ber die Grundlagen der Physik im Grenzbereich zu Mathematik, Philosphie und Kunst Der kaum ver¨anderte Text dieser Arbeit erscheint als Buch unter dem Titel Sch¨onheit, ” Exaktheit, Wahrheit“ im Verlaufe des Jahres 2004 im GNT-Verlag. Vorwort Die Geschichte der Physik ist reich an Beispielen fu¨r die intuitiv richtige Verwendung mathematischer Gr¨oßen, die innerhalb der zeitgen¨ossischen Mathematik noch unverstan- den waren oder ihr sogar offen widersprachen. Im Allgemeinen l¨aßt sich aber beobachten, dass sich eine korrekte mathematische Theorie fru¨her oder sp¨ater einstellt, die den genau- en Sinn und Anwendungsbereich der von den Physikern geahnten Rechenregeln festlegt. W¨ahrend sich in diesem Prozess das Befremden der Mathematiker in ein befriedigendes Verst¨andnis wandelt, so dass sie sich dem n¨achsten Problem zuwenden k¨onnen, ergibt sich fu¨r den Historiker und Philosophen gerade die Gelegenheit, fragend bei diesem Prozess zu verweilen. Denn in der Phase, wenn physikalische und mathematische Erkenntnis aus dem Takt kommen, enthu¨llt sich die Grenze und damit auch der innere Zusammenhang von Mathematik und Physik. Die Natur physikalischer Einsicht zeigt sich dort am Deut- lichsten, wo sie der Mathematik (wenn auch vorl¨aufig) widersprechen muss; umgekehrt zeigt sich die spezifische Wichtigkeit mathematischer Exaktheit in der Physik gerade im Kontrast von mathematisch-rigorosem und mathematisch-intuitivem Theorieansatz. DieGeschichte derDistributioneninderPhysik bietet einenbesonders ergiebigenRahmen sich diesen Fragen zuzuwenden. Wir finden eine fast 20-j¨ahrige Geschichte der mathema- tischen Unsicherheit von Diracs erster Definition der δ-Funktion bis zu Schwartz’ Theorie der Distributionen. In dieser Zeit unterstu¨tzt die δ-Funktion maßgeblich den Siegeszug der Quantenmechanik, um sp¨ater ebenso maßgeblich am zwischenzeitlichen Niedergang der Quantenfeldtheorie mitzuwirken. Dabei zeigt sich das Fu¨r und Wider von intuitiver und strenger Mathematik nicht nur ahistorisch im Vergleich von damaligem zu modernem Wissen. Mit von Neumanns Spektraltheorie steht n¨amlich fast von Anfang an auch ei- ne mathematisch strenge Alternativformulierung der Quantentheorie zur Disposition, die das Problem der δ-Funktion schon im Keime umgeht. Damit entsteht natu¨rlich auch eine historische Diskussion, die fu¨r die geschichtlich-philosophische Untersuchung ungemein wichtig ist. Ich habe in diesem Buch versucht, die Frage nach dem Zusammenhang von Mathe- matik und Physik durch die Perspektive der Hauptbeteiligten an der Diskussion um die Distributionen zu betrachten. Dabei dr¨angte sich im Laufe der Untersuchung durch Di- racs ¨asthetisch motiviertes Denken auch noch der Bereich des Sch¨onen ins Blickfeld der Arbeit, so dass neben Mathematik, Physik und Geschichte nun auch die Kunst in die Untersuchung einbezogen werden musste. Ich befu¨rchte, dass ich es bei dieser interdiszi- plin¨aren Bandbreite wohl keinem Spezialisten wirklich recht machen konnte. Andererseits denke ich, dass sich gerade in dieser Breite fu¨r jeden etwas Besonderes findet, denn der Weg querfeldein durch alle Disziplinen ergibt oft ganz u¨berraschende Ausblicke. So zeigt sich, um einige Beispiele zu nennen, in der Auslegung von Diracs Werk die iii M¨oglichkeit eines direkten Bezuges von mathematischer Sch¨onheit und wissenschaftlicher Wahrheit. Zuvor bietet die Interpretation der Mathematik als Medium einen neuartigen begrifflichen Ansatzpunkt der Diskussion um die Rolle der Mathematik in der Physik. Dagegen enthu¨llt die Diskussion der Arbeiten von Neumanns einen unvorhergesehenen Zusammenhang der axiomatischen Methode mit der Kopenhagener Deutung der Quan- tenmechanik, die dadurch neue Transparenz und Plausibilit¨at erh¨alt. Dazu habe ich mich bemu¨ht, in den rein theoriengeschichtlichen Darstellungen der Quan- tenmechanik und Quantenfeldtheorie sowie der verallgemeinerten Funktionen in der Phy- sik eine brauchbare Einfu¨hrung auf mittlerem Niveau (sowohl in der L¨ange als auch im mathematischen Schwierigkeitsbereich) bereitzustellen. Ich gaube, dass die Lektu¨re dieser Teile fu¨r jeden Physikstudenten eine wertvolle Erg¨anzung zum Verst¨andnis dieser The- mengebiete sein kann. Die vorliegende Arbeit entstand am Hamburger Institut fu¨r Geschichte der Naturwis- senschaften undwurdeimJuni2003vomFachbereich Mathematikangenommen.Dement- sprechend geht der erste Dank an meine beiden Betreuer Prof. Gudrun Wolfschmidt vom IGN und Prof. Klaus Fredenhagen vom II. Institut fu¨r theoretische Physik, die diese Arbeit erm¨oglicht und in vielerlei Hinsicht unterstu¨tzt haben. Auch das Programm zur Doktorandenf¨orderungder Universit¨at Hamburg hatdurch wertvolle Finanzspritzen einen entscheidenden Anteil an der Enstehung der Dissertation gehabt. Klaus Frieler verdanke ich erhellende Diskussionen, die die Arbeit vorangebracht und einige dunkle Punkte ge- kl¨art haben. Dem Lesekomitee Dietlind Frieling, Dierk Janssen und Jan-Philip Heymann verdanke ich verschiedene Korrekturen und Anregungen. Danke auch an das Deutsche Museum Mu¨nchen fu¨r die Benutzung des Archivs, in dem ich wertvolle Quellen einsehen konnte; an Karin Reich und das ganze Team vom IGN fu¨r großartige Unterstu¨tzung im Arbeitsalltag; an Robert und Francois Huguenin; und all die vielen Kollegen, Bibliothe- kare, Sekret¨are ..., die inhaltlich oder logistisch weitergeholfen haben. Zum Schluss noch ein besonderes “Danke sch¨on” an Paul Jurij Hempel, Andrea Hempel, Bernd Kensicki, Astrid Kulas, Renate Golletz und meine Eltern. Hamburg, November 2003 Klaus-Heinrich Peters iv Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Einfu¨hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Methodologie und Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die δ-Funktion und die Theorie der Distributionen . . . . . . . . . . . . . 6 2 Der physikgeschichtliche Kontext 12 2.1 Tabellarische U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Relativistische Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Die konzeptionelle Begru¨ndung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2 Die 30er Jahre: Kampf gegen die Divergenzen . . . . . . . . . . . . 33 2.4.3 Der Durchbruch zu einer funktionierenden QED: Die Renormierung 39 2.5 Wissenschaftstheoretische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.1 Der konservative Durchbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.2 Gru¨nde fu¨r den Stillstand in den 30er Jahren . . . . . . . . . . . . . 51 3 Der mathematikhistorische Kontext 56 3.1 Vorgeschichte der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 U¨bersicht u¨ber Distributionen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 δ-Funktionen vor Dirac 66 4.1 Kirchhoff: Das Huygens’sche Princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2 Heaviside: Operational Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Sommerfeld: Die Zackenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4 Courant: Die Einheitskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5 Lanczos: Der Einheitskern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5 Dirac 82 5.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2 Der Weg zur δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3 Diracs Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3.1 Die δ-Funktion in Definition und Rechnung . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3.2 Die Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.4 Die weitere Entwicklung der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.5 Die δ-Funktion in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.6 Dirac und die Rolle der Mathematik in der Physik . . . . . . . . . . . . . . 99 v Inhaltsverzeichnis 5.6.1 Die δ-Funktion und die Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.6.2 Interpretation der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.6.3 Mathematik als Medium: Durchsichtigkeit . . . . . . . . . . . . . . 104 5.6.4 Intuitive Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6.5 Mathematik als Medium: Das Beieinander von Verschiedenem . . . 108 5.6.6 Eleganz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.6.7 Mathematical Beauty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.8 Die mathematische Qualit¨at in der Natur . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.6.9 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6 von Neumann 125 6.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.2 Die axiomatische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.1 Die Idee der Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.2 Physikalische Axiome: Die Grundlagen der Quantenmechanik“ . . 133 ” 6.2.3 Vom Sinn der Axiomatik: Die Rationalit¨at der Wissenschaft . . . . 137 6.2.4 Die Rolle des Formalismus: Medium und Abbildung . . . . . . . . . 142 6.2.5 Einschub: Verschiedene Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3 Mathematische Strenge: Die Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.1 Von Neumanns A¨quivalenzbeweis: Der Hilbertraum . . . . . . . . . 150 6.3.2 Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4 Formale Strenge und physikalische Erkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4.1 Erste Eindru¨cke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4.2 Die Signifikanz der mathematisch korrekten Theorie fu¨r die Physik . 160 6.4.3 Die Kopenhagener Ph¨anomenologie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 ” 6.4.4 Die Rolle der Mathematik in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.4.5 Die weitere Entwicklung der von Neumannschen Konzeption . . . . 168 7 Dirac und von Neumann: Ein Vergleich 170 7.1 Verschiedene Denkweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1.1 Symmetrie und Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1.2 Denkgewohnheiten und -erwartungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.2 Stimmigkeit, Richtigkeit und Sch¨onheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.2.1 Von Neumann und mathematische Sch¨onheit . . . . . . . . . . . . 174 7.2.2 Stimmigkeit: Eleganz und Selbstkonsistenz . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8 Pauli 181 8.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.2 Verallgemeinerte Funktionen in Paulis Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.2.1 Paulis Handbuchartikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2.2 Vertauschungsrelationen fu¨r die Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . 188 8.2.3 Eine δ-Funktion auf dem Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.2.4 Die Interpretation der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 8.3 Paulis Haltung zu verallgemeinerten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.3.1 Der physikalische Kontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.3.2 Ein Versuch zur Vermeidung der δ-Funktion . . . . . . . . . . . . . 193 vi Inhaltsverzeichnis 8.3.3 Renormierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.3.4 Die Theorie der Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 8.4 Mathematik und Physik bei Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.1 Spott und Psychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4.2 Physikalische Idee und mathematischer Formalismus . . . . . . . . 200 8.4.3 Pauli, Dirac, von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 9 Heisenberg 206 9.1 Biographischer U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.2 Mathematik und Physik bei Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.2.1 Die Irrelevanz des Formalismus fu¨r das physikalische Verst¨andnis . . 207 9.2.2 Die Priorit¨at des konzeptionellen Verstehens und die Wechselwir- kung von Mathematik und Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 9.2.3 Die innere Konsistenz einer Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.2.4 Reine Mathematik und Axiomatik in der Physik . . . . . . . . . . . 214 9.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10 Entwurf eines Gesamtbildes 220 10.1 Eine Dreiecksgeschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.1.1 Dirac – Heisenberg und Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.1.2 Pauli und Heisenberg – von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.1.3 von Neumann – Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 10.2 Mathematik als Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 11 Distributionen in der Quantenfeldtheorie 226 11.1 Der physikalische Grund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2 Die Grundlagen der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2.1 Kurze historische Skizze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 11.2.2 Schmidt und Baumann: Quantentheorie der Felder als Distributi- ” onstheorie“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11.2.3 A.S. Wightman: Axiomatische Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . 232 11.3 Die Probleme der Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.3.1 Gu¨ttinger: Quantum Field Theory in the Light of Distribution Ana- lysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.3.2 Kausale St¨orungstheorie: Stu¨ckelberg und Bogolubov . . . . . . . . 236 Abbildungsnachweis 243 Literaturverzeichnis 245 Personenindex 257 vii