LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA DE MADRID (E. T. S. A. M.) TITULO: LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA AUTOR: GASTÓN CLERC GONZÁLEZ, Arquitecto DIRECTORES DE TESIS: Sra. Dña. M. ENCARNACIÓN CASAS RAMOS (Doctora en Arquitectura) y Sr. D. FEDERICO MELENDO GARCÍA-SERRANO (Doctor en Arquitectura) ANO 2003 TOMO II LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERC GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. 15.- LA FÍSICA DE LA MÚSICA 15.1.- LA FORMACIÓN DE LAS ESCALAS MUSICALES Desde el punto de vista acústico, los sonidos utilizados en la producción de la música, a excepción de los generados por algunos instrumentos de percusión, presuponen, entre otras, la existencia de características físicas muy peculiares, tales como las oscilaciones bien definidas, denominadas frecuencias, y la presencia de armónicos. Se entiende por oscilaciones bien definidas aquellas que se mantienen, durante algunos o muchos ciclos, produciendo un sonido musical, y, por lo tanto, se diferencian del ruido o, en general, de los demás sonidos no musicales. De modo que "si los sonidos que se escuchan a la vez no tienen entre sí ninguna relación tonal, producirán una mezcla de vibraciones irregulares, a la cual se le llama ruido" (1). Miguel de Cáceres citaba al respecto, en su Vibraciones de los sonidos de la música y verdaderos coeficientes de las notas de la escala (1880), que "es sonido cuando las vibraciones son puras, {es decir}, cuando obedecen la ley necesaria de durar todas el mismo tiempo, y, a medida que se aproximan a esta ley, el sonido es más agradable" (2); lo contrario, es ruido. Respecto a los armónicos, cabe citar que la mayoría de los sonidos musicales no son el resultado de una vibración en su modo más simple (llamado modo fundamental), sino que, aquéllos, son el sumatorio del fundamental y de los denominados sonidos armónicos, que no son otra cosa que frecuencias múltiples 879 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. I. S. A. M.). CURSO 2002/2003. enteras (del tipo múltiplo: x 2, x 3, x 4, etc.) de la frecuencia fundamental que se superponen a ella. La ley básica que rige la organización sistemática de los sonidos es la tonalidad. "La tonalidad es el sistema de relaciones que existen entre los sonidos de una escala" (3); es decir, que la tonalidad es como una constelación de notas alrededor de una nota central denominada tónica, "ligadas entre sí por los dos sentidos de la atracción: el centrípeto, o de reposo, sobre la tónica; y el centrífugo, o de movimiento, hacia lo dominante. Estos sentidos de atracción que unen una serie de notas en un conjunto orgánico, aparecieron con el descubrimiento de la armonía" (4). 15.2.- LA ESCALA MUSICAL Sea una cuerda unida a dos puntos extremos (dentro de un espacio con aire en reposo), que es elevada por un puente [P] y tensada por una clavija de rosca o cejilla [C], y, que se hace vibrar por un dedo u otro elemento en el punto intermedio [A]. Bajo esta hipótesis, se dice que la nota natural es el sonido producido por la vibración de la porción de cuerda situada entre los puntos [A] y [P]. Es una nota armónica, aquella cuyo sonido es generado por la vibración de toda la cuerda (pues, el dedo o instrumento apenas toca la cuerda), aunque el segmento más corto (que puede ser [P-A] o [C-A]) es el que determina el sonido del armónico (y ha de ser tal, que sea medida exacta de la cuerda total o de la parte mayor). 880 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. Los armónicos presentes en un sonido son particularmente importantes en el proceso y resultado musical, tanto en la formación de las escalas musicales como en la armonía, siendo responsables, entre otras, de particulares sensaciones auditivas. En un primer análisis, podemos observar que dos sonidos que mantienen una relación interna entre los valores de sus frecuencias fundamentales producen una sensación auditiva agradable y natural; pero, dependiendo de sus armónicos, estaremos en presencia de dos sonidos en relación de simpatía o consonancia. En el caso específico de que la frecuencia fundamental de un sonido {f1) sea el doble de la frecuencia fundamental de otro (f2), dícese que el primero estará una octava por encima del segundo (f1 - 2 x f2). En este sentido, se observa que "los músicos dividen la octava en siete intervalos: cinco de ellos de más extensión, y los otros dos de menos; llamando, a los primeros, tonos, y, a los segundos, semitonos" (5). En la tabla 1 se muestran tres sonidos complejos (que pueden contener armónicos pares e impares), designados por S1, S2, S3, y los valores respectivos de sus frecuencias componentes (fundamental y demás armónicos). Se aprecia que todos los armónicos pares de S2 tienen frecuencias idénticas a las de algún armónico impar de S1, y también que el fundamental y todos los armónicos de S3 son frecuencias de los armónicos pares de S1. ARMÓNICO SONIDO S1 SONIDO S2 SONIDO S3 1° 100 150 200 2° 200 300 400 3° 300 450 600 40 400 600 800 5° 500 750 1000 6° 600 900 1200 7° 700 1050 1400 8° 800 1200 1600 881 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERC GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. 9° 900 1350 1800 etc. etc. etc. etc. Tabla 1. Comparación de sonidos consonantes. De esta forma, podemos afirmar que S3 está en perfecta consonancia en relación a S1, en cuanto que S2, no lo está, aunque se aprecia una cierta simpatía con respecto a aquel sonido. Se observa que S3 está en una octava por encima de S1, dado que su frecuencia fundamental es el doble de la frecuencia fundamental de S1. Esta tabla tiene la finalidad de comprobar el análisis y distinción psicológica realizada por el oído humano cuando recibe sensaciones auditivas procedentes de dos fuentes sonoras diferentes. Algunos de estos sonidos, cuando, en conjunto, contienen una buena parte de armónicos coincidentes, pueden producir sensaciones agradables, como es el caso de los sonidos S3 y S2, en relación a S1. Por otro lado, sonidos que no atiendan a cualquier relación natural, pueden producir la desagradable sensación de disonancia o desafino. A partir de este principio se forman las escalas musicales. Por lo tanto, según lo expuesto en la tabla 1, si queremos generar dos sonidos musicales diferentes que sean perfectamente consonantes, deberán mantener una relación de octava, donde todos los armónicos del sonido más alto estarían en perfecta consonancia con el sonido más bajo. En cualquier caso, sonidos generados simultáneamente en otros intervalos, diferentes de la octava, pueden producir también sensaciones agradables a nuestros oídos, siempre que 882 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. contengan una buena parte de armónicos coincidentes, como es el caso de S2 en relación a S1, según la tabla 1, denominado de quinta, y que mantiene una relación de 3:2. Está claro que si sólo fueran utilizados los intervalos de octava y de quinta para formar sonidos musicales, el resultado, dada la escasez de notas, sería bastante pobre. Así, varias culturas de la Antigüedad intentaron desarrollar, científica y experimentalmente, gamas de frecuencias dentro de la octava, con las cuales, siguiendo criterios distintos, conformaron sus composiciones musicales. A esas gamas se las denomina escalas musicales. Además de la octava y la quinta, la mayoría de los autores también consideran otros intervalos estéticamente consonantes {cfr.: tabla 2). Así, las especies comunes (consonancias) o intervalos que son percibidos por el sentido del oído (y admirados por el sentido de la vista) están dispuestos según las siguientes proporciones (6): FRACCIÓN NOMBRE PITAGÓRICO NOTAS NOMBRE ACTUAL MATEMÁTICA (7) (vigente durante la Edad Media) (8) (Intervalos consonantes) 1:1 (=1,0000) "Unisonus" o "equa." — Unísona 17:16 (=1,0625) — Do-Re Semitono menor diatónico 16:15 (=1,0666) — Si-Do Semitono mayor diatónico 10:9(=1,1111) Semitono o "sex-qui-nona" Mi-Fa Segunda menor 9:8 (=1,1250) Tono {"tonus"), "sex-qui-octava" o Do-Re Vacío de intervalo (diferencia "discord" entre el "diatessaron" y el "diapente") o segunda mayor (Segunda) 6:5 (=1,2000) Semitono o "sex-qui-qulnta" Mi-Sol Tercera menor 5:4 (=1.2500) Ditono ("ditonus") o "sex-qui-quarta" Do-Mi Tercera perfecta o mayor {"hoc est Ptolom.") (Tercera) 4:3 (=1.3333) Diatesaron o "dlatessaron" Sol-Do Cuarta perfecta, justa o mayor {Cuarta) 3:2 (=1.5000) "Diapente" o "sex-qui-altera" Do-Sol Quinta perfecta, justa o mayor {Quinta) 8:5 (=1,6000) (sin denominación) Mi-Do Sexta menor 883 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. 5:3 (=1,6666) "Exacormayus" o "super- Sol-Mi Sexta perfecta o mayor parciéstertias" (Sexta) 7:4 (=1,7500) "Eptacof 0 "super-triparciens- — — quartas" 2:1 (= 2,0000) "Diapasson" o dupla Do-Do Octava 8:3 (= 2,6666) "Diapasson" con "diatessaron" — — 6:2 (= 3,0000) ó "Diapasson" con "diapente" o tripla — — 3:1 8:2 (=4,0000) Ó "Disdiapasson" o quadrupla — — 4:1 Tabla 2. Intervalos consonantes Cabe mencionar que los intervalos reseñados en esta tabla no están representados por su relación armónica, si no por la matemática. Tomemos como ejemplo el caso del intervalo de quinta: su frecuencia es igual a la frecuencia del tercer armónico de la nota de referencia (tres veces la frecuencia fundamental), y está dividida por dos, de forma que desciende una octava, para estar dentro de la misnaa octava de la nota de referencia, de ahí la relación 3:2. El tipo de escala musical más utilizado fue desarrollado en occidente a base de una gama de doce sonidos, llamada, por tal motivo, dodecafónica. Otras civilizaciones, como la china, utilizan gamas diferentes, pero, en cualquier caso, su fundamento teórico es idéntico. Por otro lado, afirman los tratadistas de "armonía" ("harmonía") clásica que cuando se encadena un acorde de quinto grado, seguido de un acorde de cuarto grado, surge la falsa relación de trítono, denominada "Diabulus in Música"; algo que era absolutamente indeseable, ya para la Música como para la Arquitectura. 884 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. La proporcionalidad es la comparación entre dos o más proporciones, según la siguiente tabla de equivalencias: EQUIVALENCIAS = "Diapente" + "Diatessaron" "Diapasson" "Diapente" + "Diatessaron" + "Diapente" "Diapasson diapé" "Diapente" + "Diatessaron" + "Diapente" + "Diatessaron" "Disdiapasson" Tabla 3. Equivalencias entre intervalos. Existen siete sistemas principales de afinación de la Escala, que han ¡do apareciendo a lo largo de los siglos y que aún conviven en la práctica musical; que son: el sistema o escaía de Pitágoras, el sistema de Gioseffo Zarlino, el sistema de William Holder, el sistema del tono medio (sistema atemperado desigual), la escala justa, el sistema temperado y el sistema de escalas microtonales. 15.2,1.- LA ESCALA PITAGÓRICA La mayoría de los autores atribuyen la escala dodecafónica occidental a los análisis teóricos y propuestas experimentales realizadas por Pitágoras, circa 585 a. d. C, con el sonómetro (instrumento acústico que consta de una caja armónica sobre la que está extendida una cuerda que descansa sobre dos puentes móviles, que tienen la misión de variar la longitud de ésta cuerda en vibración). Este insigne filósofo griego fundamentó su escala musical diatónica tomando sucesiones de intervalos de qt///7ías justas, multiplicándolos por una frecuencia inicial 885 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. C1 (es decir, Do1 (9)) y dividiendo los valores obtenidos por la serie 2, 4, 8, 16, etc., resultando cuatro notas consonantes entre sí, dentro de una misma octava, llamadas: C1 (Do1), D1 (Re1), G1 (Solí) y A1 (La1). Tonnando como referencia la nota C2 (Do2) en otra octava y descendiendo una quinta, se obtiene la nota F1 (Fa1), que tiene un intervalo de cuarta en relación a C1 (Dol). Hasta aquí, serían las cinco notas fundamentales obtenidas por aplicación de procedimientos aritméticos. Pitágoras también observó que la relación entre las notas C1 (Do1) y DI (Reí), igual a 9:8, es exactamente la misma que existe entre F1 (Pal) y G1 (Solí) y entre G1 (Solí) y Al (La1) [es decir: (3:2):(4:3) = (9:8)]. De este modo, tomando como base esta relación matemática, estableció otras dos notas: E1 (Mil)yBI (S¡1). En la siguiente tabla se muestra las frecuencias obtenidas por el sistema de Pitágoras: NOTA FRECUENCIA FRECUENCIA RELACIÓN RELACIÓN NOMBRE DE LA ESCALA 100 EN HERTZIOS CON C1 CON LA NOTA MUSICAL (Hz = ciclos/s) ANTERIOR (Grecia y Edad Media) C1 = Do1 100,0000 32,7030 1:1 — "Parhypate hypaton" D1 = Re1 112,5000 9:8 9:8 "Lychanos hiypaton" El =Mi1 126,5625 81:64 9:8 "Hypáte méson" F1 = Fal 133.3333 4:3 256:243 "Parhypate méson" G1 = Solí 150,0000 3:2 9:8 "Lychanosméson" A1 = Lal 168,7500 27:16 9:8 "Proslambanomenos" B1=Si1 189,8438 243:128 9:8 "Hypáte hypaton" C2 = Do2 200,0000 202,7286 2:1 256:243 "Paranete synemenon" Tabla 4. La escala musical pitagórica. NOTA NUMERO RELATIVO DE RELACIÓN DE LA NUMERO RELATIVO EN LA ESCALA DEL DO-1 PROPORCIÓN ENTEROS 886 LA ARQUITECTURA ES MÚSICA CONGELADA. TESIS DOCTORAL DE GASTÓN CLERO GONZÁLEZ, Arquitecto. DEPARTAMENTO DE ESTÉTICA Y COMPOSICIÓN (E. T. S. A. M.). CURSO 2002/2003. C1 =Do1 1:1 = 1,0000 "unisonus" 24 DI = Re1 9:8 = 1,1250 "tonus" 27 E1 ==Mi1 5:4= 1,2500 "ditonus" 30 F1 = Fa1 4:3 = 1,3333 "diatessaron" 32 G1 =Sol1 3:2= 1,5000 "diapente" 36 A1 = La1 5:3 = 1,6666 "exacormayus" 40 B1 =Si1 15:8 = 1,8750 — 45 C2 = Do2 2:1 = 2,0000 "diapasson" 48 Tabla 5. Números relativos de la escala del Do1 (10) o escala Justa. Podemos observar que, por medio de este proceso, se obtienen dos intervalos o especies comunes diferentes. Al intervalo 9:8 se le denomina tono entero pitagórico, y al intervalo 256:243 se le da el nombre de semitono diatónico pitagórico. De forma que, para completar la escala, se escoge el inten/alo menor (es decir, 256:243) para obtener las otras cinco notas de la escala, determinando un total de doce notas. Esas notas son: C#1 (Do#1), D#1 (Re#1), F#1 (Fa#1), G#1 (Sol#1) y A#1 (La#1), estando localizadas inmediatamente después de las notas del mismo nombre. Si queremos alcanzar la nota C2 (Do2) subiendo seis intervalos sucesivos de tonos enteros (9:8), la frecuencia obtenida (202,7286 Hz.) no corresponde al valor exacto de C2 o Do2 (200,0000 Hz.). Esta frecuencia representa a la nota B1# (S¡#1) de la escala pitagórica, que no es igual a C2 (Do2), y la diferencia entre ellas, que equivale a la relación 531.441:524.288, se llama coma pitagórica o, simplemente, coma. Observando también los intervalos de tercera y tercera menor de la escala pitagórica, tenemos que la tercera C1 (Do1) - E1 (Mil) contiene dos intervalos de sonido entero (9:8), lo que lo eleva a la relación 81:64, mientras que la tercera natural es 5:4, lo que da una diferencia de (81:64):(5:4) = 81:80; es decir, que la relación del intervalo de tercera pitagórica es mayor que la tercera natural. En el 887