Découplage de système lent/rapide appliqué en Economie et Econophysique Aurélien Hazan To cite this version: Aurélien Hazan. Découplage de système lent/rapide appliqué en Economie et Econophysique. 2012. ￿hal-00660806v1￿ HAL Id: hal-00660806 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00660806v1 Preprint submitted on 17 Jan 2012 (v1), last revised 12 Apr 2012 (v2) HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. Découplage de modèle économique lent/rapide appliqué en Economie et Econophysique AurélienHazan∗ ∗ LISSI-UniversitéParis-EstCréteil(UPEC),IUTdeSénart-Fontainebleau [email protected], http://www.lissi.fr Résumé. La compréhensiondes phénomèneséconomiquesnécessite de pren- dreencompteplusieurséchellesdetempssimultanément.Nousétudionslecas d’un modèlesimple d’épargne,où plusieurséchellesde tempscaractéristiques coexistent.Nousmontronsqu’ilestpossibledeséparerlescontributionslentes etrapidesconfonduesdansunemêmevariableobservéeennousappuyantd’une part sur une linéarisation de la dynamique(stochastique et nonlinéaire)autour d’unpointd’équilibre,etd’autrepartsurundécouplagevialatransformationde Chang,issuedelathéoriedelacommande. Dansunsecondtemps,nousabordonsleproblèmedel’agrégationducomport- mentd’ungrandnombred’agents,sousl’angledudécouplagedescomposantes lentes/rapides. Nous rendonscompte des critiquesadressées dans la littérature auxmodèlesDSGE1etexaminonslapossibilitédedécouplerunsystèmemulti- agents,puisunmodèleéconophysiquedecondensationdelarichesse. 1 Introduction Detrèsnombreuxphénomènesphysiquesousociaux-économiquessontcaractérisésparla coexistencedeplusieurséchellesdetempscaractéristiques,parfoistrèsdistincteslesunesdes autres. En économie on peut citer les échelles temporelles suivantes (Blanchard, 2002) : court terme(e.g.marchédesbiensdeconsommation,marchésfinanciers),moyenterme(e.g.marché du travail, monnaie),et long-terme(e.g. croissance, progrèstechnologique,accumulationdu capital,production). Souvent,lesdonnéesdisponiblesconcernantunphénomèneéconomiquedonnémélangent et rendent indiscernables des contributions ayant des échelles de temps caractéristiques dif- férentes.Danscetarticle,pourséparercesdifférentescontributions,nousproposonsd’utiliser unensembled’outilstirésdelathéoriedelacommande,etplusparticulièrementdel’analyse deséchellestemporelles2(Naidu,2002). Nousillustronsl’importancede ce pointde vue à l’aide du modèlede Solow-Swan,em- ployéaussibienenMacroéconomiepourdécrirelesphénomènesdecroissancequ’enMicroé- conomiepourmodéliserl’épargne. 1. DynamicStochasticGeneralEquilibrium. 2. ”TimeScaleAnalysis”. Découplagedesystèmelent/rapideappliquéenEconomieetEconophysique Cemodèleserabrièvementdécriten2.Leprincipedudécouplagedescomposanteslentes etrapidesseraexposéen3.Desrésultatsdesimulationsserontexposésen4. Dansunsecondtemps,nousabordonsleproblèmedel’agrégationducomportementd’un grand nombred’agents,du pointde vue du découplage.La compatibilitéde notre démarche avecdesmodèlesalternatifstirésnotammentdessystèmesmulti-agentsetdel’Econophysique seraévoquéeen5.1avantdediscuteren6desperspectivesdégagéesparcetravail. 2 Modèle de Solow-Swan Nousnousplaçonsentempscontinu,danslecassimplifiéd’uneéconomiefermée(Barro etSala-iMartin,2004)sansdépensepublique3: Y(t) = C(t)+I(t) (1) oùY(t)estlaproduction,C(t)laconsommationetI(t)l’investissement.L’équationd’accu- mulationducapitals’écrit: K˙(t) = Y(t)−C(t)−δK(t) (2) oùδestletauxdedépréciationducapital. Nous posons une fonction de production néoclassique de type AK, avec chocs stochas- tiques: Y(t) = Aez(t)Kα(t) (3) oùαestl’élasticité,Auneconstanteetz(t)untermedechocautorégressifd’espérancenulle. Lequantitédetravailesticiimplicitementconsidéréecommeconstante. DanslemodèledeSolow-Swan,laconsommationetdoncl’investissementsontdesfonc- tionslinéairesdelaproduction,dontlesproportionsrespectivessontfixéesparuneconstante s∈[0,1],letauxd’épargne.EnposantpoursimplifierA=1,ona: C(t) = (1−s)Y(t) (4) K˙(t) = sez(t)Kα(t)−δK(t) (5) Onfaitl’hypothèsequeleschocsproductifssontaléatoires,etobéissentàl’équationsuivante: z˙(t) = −rz(t)+σW˙ (t) (6) où W(t) est un bruit blanc centré, r > 0, σ > 0. Cette équation correspond à une marche aléatoire(termeW˙ )amortiedemanièreexponentielleparleterme−rz(t). Lesystèmeci-dessus,munideconditionsinitialesappropriées,admetunéquilibrestable qu’on peut approximeren négligeantla partie aléatoire pour σ faible. En fixant z(t) = 0 et K˙(t)=0,onobtient: logδ K ≈ exp s (7) ∞ (cid:16)α−1(cid:17) 3. voirBarroetSala-iMartin(2004,1.1)pouruneéconomieouverteavecdépensepublique. A.Hazan Le modèledeSolow estsimple maisnéanmoinstrèsutilisé pourétudierlesphénomènes de croissance au niveau macroéconomique.Il peut être généralisé comme suit : l’hypothèse deconsommationlinéaireestabandonnéeauprofitd’unmodèled’optimisationd’unefonction d’utilité.Lemodèleobtenu,ditdeRamsey,peutêtreramenéàunproblèmedecommandeop- timaleaumoyend’uneapproximationlinéairequadratiquedelafonctiond’utilitéauvoisinage de l’équilibre. Le cas du temps discret est par exemple traité dans Heer et Maussner (2005) maisneserapasexaminéici. 3 Système lent/rapide et découplage Lecomportementdumodèleéconomiquedécriten2résultedel’interactiondesdeuxéqua- tions(5,6).Lesdeuxphénomènesassociés,accumulationducapitaletchoc,ontdestempscar- actéristiquesdistincts:unchocpeutlaisser sonempreinteplusieursannéesdansl’économie, alors qu’un épargnant adaptera son comportement en quelques semaines ou quelques mois. Pourentenircomptenousintroduisonslanotiondesystèmelent/rapide. Soit un système dynamique régi par un système d’équations différentielles linéaire x˙ = Ax, x(t ) = x ∈ Rn.Silesvaleurspropresλ deApeuventêtrerépartiesendeuxgroupes 0 0 i clairement distincts, on dira que le système est lent/rapide, ou encore qu’il y a séparation d’échelle.Dansuncadrenon-linéaire,onpeutétendreladéfinitionprécédenteenlinéarisantle systèmeenunpoint. PourcertainesvaleursdesparamètresdumodèledeSolow-Swan(5,6),lesystèmedevient lent-rapide,pourvuqu’onlelinéariseenunpoint,parexemplel’équilibrequivérifiel’équation (7)demanièreapprochée.OnendonnequelquesexemplesdansletableauTab.1. α δ r λ =δ(α−1) λ =−r 1 2 0.1 0.9 0.01 -0.81 -0.01 0.9 0.01 1 -0.001 -1 TAB. 1– Paramètres du modèle et valeurs propres λi du système linéarisé autour de l’état d’équilibre(K = K ,z = 0). Onremarqueque s n’intervientpasdansλ , maisdansle ∞ 1,2 couplagedessystèmes. La première ligne donne l’exemple d’une faible élasticité du capital dans la fonction de production,avecuntauxdedépréciationimportant.Danscecas,lavaleurpropredel’équation en K est plus grande en valeur absolue que celle du terme de choc. K(t) est donc le terme rapide,etz(t)letermelent.Ladeuxièmelignemontreunesituationrenversée.Danslesdeux cas on constate que les valeurs propres ont des ordres de grandeur distincts, et que donc le systèmedanssonensemblealapropriétédeséparationd’échelle. Leproblèmequinousintéresseestdeséparerlescontributionslentesetrapidesquis’influ- encentl’unel’autre.Enparticulier,lesystèmelentinfluencerademanièredurablelesystème rapide,cequinousempêcheradedistinguersaréponsepropreàunchoc. Pourpallierceproblème,nousexposonsen3.1leprincipedelatransformationdeChang quipermetdedécouplerdeuxsystèmeslinéairesdépendantsetdoncdelesobserverséparèment l’undel’autre.En3.2nousrappelonsquelquesapplicationsclassiquesdecettetransformation dansledomainedelacommande.En4nousproposonsdessimulationsnumériques. Découplagedesystèmelent/rapideappliquéenEconomieetEconophysique 3.1 Transformationde Chang Cettetransformation4estunediagonalisationparblocsd’unsystèmelinéaire.Soientx (t)∈ 1 Rn1, x (t)∈Rn2 lesétatslentetrapidequivérifientlesystèmedifférentiellinéairesuivant: 2 x˙ (t) = A x (t)+A x (t)+B u(t) (8) 1 11 1 12 2 1 x˙ (t) = A x (t)+A x (t)+B u(t) (9) 2 21 1 22 2 2 Moyennantlatransformation: x (t) = (I −ML)x (t)−Mx (t) (10) s s 1 2 x (t) = Lx (t)+I x (t) (11) f 1 f 2 lesystèmesemetsouslaformesuivante(Naidu,2002): x˙ (t) = A x (t)+B u(t) (12) s s s s x˙ (t) = A x (t)+B u(t) (13) f f f f Sous cette dernière expression,on voit doncque x (t) ne dépendplus de x , et réciproque- s f ment. Pouryparvenir,ilestnécessairedecalculerlesmatricesLetM,quisontdesinconnues. Lorsquecessolutionsexistent,ellesrépondentàdeuxéquationsmatricielles5. LA +A −LA L−A L = 0 (14) 11 21 12 22 A M −A LM −MA −MLA +A = 0 (15) 11 12 22 12 12 Laprincipaleconditiond’existenceestl’inversibilitédeA .Plusieursalgorithmesderésolu- 22 tionnumériquesontdisponiblesdanslalittérature(Gajic´etLim,2001,1.1).Nousemploierons danscetarticleunalgorithmedepointfixe. 3.2 Applications classiques: contrôleetfiltrage desystèmelent/rapide Latransformation(10,11)fondeungrandnombredeméthodesdéveloppéesenthéoriede lacommandepourlessystèmeslent/rapides6.Laplupartdessystèmestechniquesprésentent lapropriétédeséparationd’échelle.Parexemple,unsystèmemécaniqueasserviparunecom- mandeélectroniquepeutyêtreassimilé,étantdonnél’écartentrelestempscaractéristiquesde cesdeuxtypesd’artefacts. L’unedesthéoriesles plusutilisées, lathéoriedela commandeoptimale,a étéétendueà cetypedesystème,grâceàlatransforméedeChang(Kokotovic´etal.,1999). Parallèlement,leproblèmedufiltrage-l’estimationstatistiqueoptimaledel’étatd’unsys- tèmeobservédemanièreimparfaite-aégalementétéétendudanslecaslent/rapideàl’aidede cette transformation.Cecipermetnotammentdetraiter desproblèmesdeprédictiondel’état d’unsystèmeslent/rapide. Anotreconnaissance,cetyped’outilaététrèspeuemployépourl’étudedesystèmessocio- économiques,malgrèlefaitqu’ilsprésententsouventlapropriétédeséparationd’échelle.Nous illustronsleurapplicationdanslecasdumodèledeSolow-Swanen4. 4. onlatrouveassociéeàdifférentsauteursdanslalittérature(Riccati,Sibuya,Harris). 5. onparled’équationsnonlinéairesalgébriquesdeRiccati. 6. plusspécifiquementpourdessystèmeslent/rapidesqualifiésde“singulièrementperturbés”c’est-à-direquand l’équationrapidedusystèmedifférentielseprésentesouslaformeεx˙2(t)=g(x1,x2,ε,t),oùε≪1 A.Hazan 4 Simulations numériques 4.1 Simulationet linéarisationdu modèledeSolow-Swan continu Les solutions du système (5,6) écrit en 2 ne peuvent être trouvées aisément de manière analytique. Nous proposons de les approximer grâce à un schéma de discrétisation d’Euler. Deplus,afind’appliquernotrealgorithmededécouplage,nouslinéarisonslemodèleaupoint d’équilibre(K ,z =0).CesdeuxétapessontdétailléesenAnnexe. ∞ ∞ LaFig.1permetdecomparerl’approximationentempsdiscretdusystèmenonlinéaireet dusystèmelinéarisé. FIG. 1– CapitalK =f(tk).ApproximationdumodèledeSolow-Swannonlinéaire(enbleu) etlinéariséautourdupointd’équilibre(envert). 4.2 Découplage Noussupposonsici que l’évolutiondu capital K(t) est lente par rapportaux chocsz(t). Nous souhaitons vérifier que la transformation de Chang nous permet de séparer la partie spécifiquelenteK (t)dutermeK(t). s Pourcelanousappliquonslatransformation(10,11)àlaversionlinéariséedusystème(5, 6)autourdupointd’équilibre(K ,z = 0).Nousobtenonsunsystèmedutype(12,13),que ∞ nousdiscrétisonsàl’aided’unschémad’Euler.LesrésultatssontrésumésparlaFig.2.Nous constatonsbienqueleschocszontuntempscaractéristiquepluscourtqueceluiducapital. CependantlecapitalK(t )etsacomposantelentespécifiqueK (t )obtenueparlatrans- k s k formation de Chang sont indiscernablesà cette échelle. La Fig. 3(haut)permet de pallier ce problème,etdeconstaterquelatransformationabienisoléletermelentspécifiqueK (t )qui s k estperturbéparl’influencedezdansK(t ). k Découplagedesystèmelent/rapideappliquéenEconomieetEconophysique FIG. 2 – CapitalK(tk)etchocz(tk).(haut):K(tk)envert,etenbleusacomposantelente spécifiqueK (t )obtenueparlatransformationdeChang.(bas):chocsz(t ). s k k FIG. 3 – CapitalK(tk)etchocz(tk).(haut):K(tk)envert,etenbleusacomposantelente spécifiqueK (t )obtenueparlatransformationdeChang.(bas):chocsz(t ). s k k A.Hazan 4.3 Inteprétation De tels résultats auraient pu être obtenus avec des méthodes purement statistiques, sans prendreencomptelemodèlesous-jacent.Parexemple,unesimplemoyennemobile(moyen- nantlechoixdelalargeurdufiltre),oularégressiondeK parrapportàz,auraientpudonner desrésultatssatisfaisants. Cependant,enaugmentantladimension,encomplexifiantlesmodèlesetenaugmentantle niveaudubruit,ilestprobablequelestechniquesstatistiquesclassiquessetrouventmisesen défaut.Nousréaliseronsunecomparaisonplusdétailléedansdestravauxultérieurs. 5 Relationsavecl’éconophysiqueetlesmodèlesmulti-agents Danscettepartienouscherchonsàrelierlaméthodededécouplagedesystèmelent/rapide àdesmodèleséconomiquesplausibles. Lesmodèlesexposésen2présententunintérêthistoriqueetontconstituédesétapesim- portantes de la modélisation économique, mais ils sont insuffisants pour rendre compte des phénomènesréels.Demultiplesdéveloppementssontsurvenusdepuisenmacroéconomie(cf HeeretMaussner(2005);SmetsetWouters(2003)). Parallèlement,denombreusescritiques(Kirman,2010;Bouchaud,2008)ontvisél’appli- cationdecetypedemodèlesenmacroéconomie,mettantencaused’unepartl’hypothèsede rationalité, et d’autre part celle de l’agent représentatif. Selon celle-ci, chaque type d’agent estreprésentéparuneuniqueéquation,recouvrantainsiunnombrepotentiellementtrèsgrand d’agents. Danscette partie,nousexploronslespistespermettantd’appliquerdansle futurlestech- niques de découplage lent/rapide à des modèles n’appartenantpas à la famille DSGE. Pour cela des approchesalternativesrattachées à l’éconophysiqueet aux modèlesmulti-agentsen économiesontévoquées(cf5.1),avantdequestionnerleursliensformelsaveccequiprécède (cf5.2)ainsiquelesconséquencespourlefiltrage. 5.1 Quelques modèles à based’agents, et tirés del’Econophysique Deuxcatégoriesdemodèlessontcitéesici.Lesmodèlesàbased’agentssontemployésen sciencessocialesdepuislafindesannées70,avecparexemplelestravauxdeSchelling(1978) surlaségrégationrésidentielle.Desthèmesaussidiversquelaviolence,lesnormesetopinions ontfaitl’objetdemodèlisationsàbased’agents(AxelrodetTesfatsion,2006).Enéconomie, de nombreux travaux portent sur l’échange et le commerce (Kirman et Vriend, 2001), mais aussisur lagestiondesystèmeséco-sociaux(Janssen etOstrom,2006),le financementd’in- frastructure, ou encore les stratégies industrielles, dans le cas de l’innovation technologique parexemple(NelsonetWinter,1982). Leurvalidationposeplusieursproblèmes,notammentceluidugrandnombredeparamètres impliquésquipeutentraînerunsurapprentissage7.Cesmodèlessontparfoisvalidésàplusieurs échelles de temps et d’espace (LeBaron et Tesfatsion, 2008), ce qui semble facilité lorsque 7. enanglaisoverfitting,bienconnudanslechampdesstatistiques,del’apprentissageautomatiqueetdesréseaux deneurones. Découplagedesystèmelent/rapideappliquéenEconomieetEconophysique leurconceptions’appuiesurdenombreusesobservationsdeterrainetenlaboratoire(Janssen etOstrom,2006). Un second problème est celui de l’agrégation: existe-t-il des grandeursmacroscopiques décrivantlecomportementd’ensembledusystème,etsait-onécrireexplicitementleurséqua- tionsd’évolution?Ceproblèmen’estpaspropreàl’Economie,ilestrencontrédansdenom- breuses disciplines, notamment en Physique, Chimie, et sciences Mathématiques, qui four- nissentdesméthodespourletraiter(Givonetal.,2004;Kevrekidisetal.,2004). Pourcesraisons,nousnoustournonségalementversdesmodèlesempruntésàlaPhysique Statistiqueetàl’Econophysique,oùlesoucid’obteniruneexpressionanalytiquemacroscopique desloisd’évolutionestplussouventsatisfaitquedansledomainedesmodèlesàbased’agents. L’Econophysiqueabordedepuislesannées1990desthèmesvariésparmilesquels: – lesmécanismesdemarché(LuxetMarchesi,1999). – larépartitiondelarichesseenfonctiondesmécanismesdeproduction,d’échange,d’é- pargne,deprélévement(Chatterjeeetal.,2005). – lacroissanced’unefirme,d’unréseaudefirmes(Fujiwaraetal.,2006). – lesphénomènesdetransport(véhicules,foules,marchandises)etlesréseauxdeproduc- tion(voirlestravauxdeD.Helbingetco-auteurs). – lareformulationthermodynamiquedesconceptsclefsdel’Economie(travail,capital,...voir Mimkes(2006);maisaussilavaleur,etl’informationdansCockshottetal.(2009)). De très nombreux travaux portent sur les marchés et le trading, du fait peut être de la prédominance de l’échange dans une économie capitaliste, mais aussi du fait de la facilité d’accès grandissante à des données de prix et de transactions sur différents marchés, à des fréquencesdeplusenplusélevées. Considéronsparexemplelemodèled’échangederichessedeBouchaudetMézard(2000): soientN agentscaractérisésparleurrichesseW (t),laquelleobéitàl’équationsuivante: i dW ∀i∈[1,N], i = η (t)W (t)+ J W − J W (16) dt i i X ij j X ji i j6=i j6=i oùη estunbruitgaussienN(m,σ2),J la proportiondelarichessedel’agentj transférée i ij àl’agentietinversement.Letermeη (t)W (t)rendcomptedelacroissanceoudécroissance i i spontanée de la richesse de l’agent i, dues à un ensemble de phénomènessans lien avec les autresagents(production,investissement,dépréciation,etc...). Cette représentations’inspire de la dynamiquedes populations(Lotka-Volterra),à temps continu, ce qui ne rend pas compte du caractère discret et parfoisaléatoire des transactions. Toutefois,cemodèlealesavantagessuivants: – il admet une résolution analytique, sous certaines hypothèses simplificatrices de type champmoyen. – ilpermetdanscecasd’exprimerladensitédeprobabilitédeW dansla population,en passantparl’équationdeFokker-Planck,etsasolutionàtempsinfini.Laqueuededistri- butionsuituneloidepuissance,cequipermetderetrouverunedesgrandesobservations empiriquesdel’Economie,ladistributiondesrevenusdePareto. Nousverronsdanslasection5.2commentlaquestionposéeaudébutdelapartie5àpropos del’extensiondudécouplageàdesmodèlesplusréalistespeutbénéficierdecesrésultats. A.Hazan 5.2 Lien avecledécouplagedesystèmelent/rapideetconséquences pour lefiltrage Lemodèle(16)nousintéressedanslaperspectived’undécouplagelent/rapidecarilpermet depasserd’unsystèmecomposéd’ungrandnombred’agents(cequin’étaitpaslecasen2)à unpetitnombred’équationsayantlescaractéristiquesd’unsystèmelent/rapide.Eneffet,sous l’hypothèsed’homogénéitédutauxd’échangeJ =J/N,BouchaudetMézarddéduisentde ij (16)cequisuit: dW i = η (t)W +J(W¯ −W ) (17) i i i dt W¯(t) = W¯(0)exp((m+σ2)t) (18) oùW¯ =1/N W . EnnotantqPuei(18i)peutsemettresousformed’uneéquationdifférentielledutypedW¯/dt= aW¯, le système obtenu est alors proche de (8,9). La présence du terme η (t)W multipli- i i catif nousempêchenéanmoinsd’appliquerdirectementla méthodede la partie 3.1 à l’heure actuelle. Toutefois,ilsemblepossible,àpartird’unmodèlecomportantuntrèsgrandnombred’a- gents, de se placer dans un cadre proche des conditions d’application de la transformée de Chang.Cecipermettraitdanscecasdeséparerlescomposanteslentesetrapidesdelarichesse d’unagentdonnéW ,etd’entirerparexemplelacomposanterapide,indépendammentdeW¯. i Il serait aisé d’en déduire la suppression de tendance (detrending),ou la prédictionde l’état futur, qui tiendrait compte de la dynamique lente/rapide du système. La Fig. 4 résume ces différentesétapes. Champ moyen Transf. Chang FIG. 4– Schémaprospectifdupassageentreleséquationsd’ungrandnombred’agentsetle découplagedelacomposanterapideW d’unagenti. i,fast Dans des travaux ultérieurs, nous appliquerons l’ensemble de la démarche à un modèle économique simplifié semblable à celui de Bouchaud et Mézard (2000). Le domaine de la