˘ ˙ ˙ DEGIS¸MELI OLMAYAN HALKALARDA ˙ ˙ COHEN VE KAPLANSKY TEOREMLERININ ˙ GENELLEMELERI GENERALIZATIONS OF COHEN AND KAPLANSKY THEOREMS IN NONCOMMUTATIVE RINGS BURCU KAYIKC¸I Do¸c. Dr. PINAR AYDOG˘DU Tez Danı¸smanı ¨ ˙ ˙ ˙ HACETTEPE UNIVERSITESI ¨ Lisansu¨stu¨ Eg˘itim–Og˘retim ve Sınav Yo¨netmelig˘inin ¨ Matematik Anabilim Dalı i¸cin Ongo¨rdu¨g˘u¨ ¨ ˙ ˙ YUKSEK LISANS TEZI olarak hazırlanmı¸stır. 2017 Bu tez, 3501 Kariyer Geli¸stirme Programı kapsamında Tu¨rkiye Bilimsel ve Tekno- ¨ ˙ lojik Ara¸stırma Kurumu (TUBITAK, Proje No:113F032) tarafından desteklenmi¸stir. ¨ OZET ˘ ˙ ˙ DEGIS¸MELI OLMAYAN HALKALARDA COHEN VE ˙ ˙ ˙ KAPLANSKY TEOREMLERININ GENELLEMELERI BURCU KAYIKC¸I Yu¨ksek Lisans, Matematik B¨olu¨mu¨ ˘ Tez Danı¸smanı: Do¸c. Dr. Pınar AYDOGDU A˘gustos 2017 Deg˘i¸smeli halka teorisinde, bir halkanın yapısının belirlenmesinde asal idealler olduk¸ca o¨nemli ara¸clardır. Bu tez c¸alı¸smasında, yapı teoremlerinden Cohen ve Kaplansky’ye ait teoremler ele alınacaktır. Tezin amacı, o¨zellikle Reyes’in 2010 ve 2012 yıllarında yaptıg˘ı ¸calı¸smalarıdikkatealarakCohenveKaplanskyTeoremleri’nindeg˘i¸smeliolmayanhalka- lardaki genellemelerini incelemektir. Giri¸s b¨olu¨mu¨nde, tez konusunun tarihsel geli¸simi ˙ ve halka teorisindeki o¨nemi a¸cıklanmaktadır. Ikinci b¨olu¨m, tez i¸cin gerekli olan temel ¨ bilgileri i¸cermektedir. U¸cu¨ncu¨ b¨olu¨mde, Cohen ve Kaplansky Teoremleri’nin deg˘i¸smeli halkalardaki rolleri u¨zerinde durulmu¸stur. Ayrıca, Anderson ve Dumitrescu’nun u¨ze- rinde ¸calı¸stıg˘ı S-Noether halka yapısı tanıtılmı¸s ve bu halka sınıfının bazı ¨ozellikle- rinden bahsedilmi¸stir. Do¨rdu¨ncu¨ bo¨lu¨mde, asal ideallerin de˘gi¸smeli olmayan halkalar- daki tek yo¨nlu¨ genellemesi u¨zerinde durulmu¸s ve tamamen asal sa˘g idealler ve Oka aileleri gibi bazı kavramlar tanıtılmı¸stır. Bu kavramların de˘gi¸smeli olmayan bir halka yapısını belirlemedeki rolu¨ uygulamalı olarak incelenmi¸stir. Be¸sinci b¨olu¨m, Cohen ve KaplanskyTeoremleri’ninOkaailelerivenoktasıfırlayıcıku¨meleryardımıylaeldeedilen deg˘i¸smeli olmayan halkalardaki genellemelerini i¸cermektedir. Son b¨olu¨mde ise Cohen ve Kaplansky Teoremleri’nin farklı yakla¸sımlarla elde edilen genellemeleri u¨zerinde du- rulmu¸stur. Koh, Chandran ve Michler tarafından ele alınan genellemelerin yanı sıra, S-Noether halka yapısının de˘gi¸smeli olmayan halkalardaki genellemesi incelenmi¸stir. Anahtar Kelimeler: Asal idealler, tek y¨onlu¨ asal idealler, tamamen asal idealler, No- ether halka, S-Noether halka, temel ideal halkası, Oka ailesi, nokta sıfırlayıcı ku¨meler. i ABSTRACT GENERALIZATIONS OF COHEN AND KAPLANSKY THEOREMS IN NONCOMMUTATIVE RINGS BURCU KAYIKC¸I Master of Science, Department of Mathematics ˘ Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Pınar AYDOGDU August 2017 In commutative setting, prime ideals are very important tools to determine the struc- ture of a ring. In this thesis, some structure theorems will be discussed which belong to Cohen and Kaplansky. The aim of this thesis is to examine the noncommutative gene- ralizations of Cohen and Kaplansky Theorems, especially considering Reyes’s works in 2010and2012.Theintroductorychapterconsistsofinformationsabouttheimportance and the historical improvement of the thesis subject. The second chapter contains basic information needed throughout the thesis. In the third chapter, Cohen and Kaplansky Theorems and their roles in commutative rings are emphasized. Also, S-Noetherian ring structure which was defined by Anderson and Dumitrescu is introduced and some features of this structure are indicated. In the fourth chapter, one-sided generalizati- ons of prime ideals in noncommutative settings are examined and some concepts like completely prime ideals and Oka families are described. Their role in the structure of a noncommutative ring is examined with applications. The fifth chapter is concerned with the noncommutative generalizations of Cohen and Kaplansky Theorems by the Oka families and the point annihilator sets. In the last chapter, noncommutative ge- neralizations of Cohen and Kaplansky Theorems obtained by different approaches are investigated. Among the generalizations discussed by Koh, Chandran and Michler, the noncommutative generalization of S-Noether ring structure is also examined. Keywords: Prime ideals, one-sided prime ideals, completely prime ideals, Noetherian ring, S-Noetherian ring, principal ideal ring, Oka family, point annihilator set. ii ¨ TES¸EKKUR Bu tezin olu¸smasında ¸cok bu¨yu¨k katkı sa˘glayan, deg˘erli bilgi ve deneyimleriyle bana her konuda bu¨yu¨k bir sabır ve anlayı¸sla yol go¨steren, inancını ve desteg˘ini her zaman hissettig˘im c¸ok deg˘erli hocam ˘ Do¸c. Dr. Pınar AYDOGDU’ya; bana her zaman gu¨venen, attıg˘ım her adımda yanımda olan, maddi ve manevi destek- lerini bir an olsun esirgemeyen canım ablam Yasemin TUNCEL’e, anneme ve babama, sevin¸clerimi payla¸san ve zorlu gu¨nlerimde beni hic¸ yalnız bırakmayan c¸ok kıymetli arkada¸slarım Damla ACAR ve Sibel KURT’a; sonsuz te¸sekku¨rler... iii ˙ I¸cindekiler O¨ZET i ABSTRACT ii TES¸EKKU¨R iii I˙C¸I˙NDEKI˙LER DI˙ZI˙NI˙ iv SI˙MGELER VE KISALTMALAR DI˙ZI˙NI˙ vi 1 GI˙RI˙S¸ 1 2 TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR 5 2.1 Temel Halka ve Modu¨l Terimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ˙ 2.2 Deg˘i¸smeli Halkalarda Asal Idealler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Sonluluk Ko¸sulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Krull Boyut Ve Kritik Modu¨ller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Ore Ku¨meler, Klasik Kesirler Halkası ve Goldie Teoremi . . . . . . . . . 16 2.6 Yo˘gun ve Monoform Modu¨ller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Gabriel Filtreleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 DEG˘I˙S¸MELI˙ HALKALAR 24 3.1 Deg˘i¸smeli Halkalarda Cohen ve Kaplansky Teoremleri . . . . . . . . . . 24 3.2 S-Noether Halkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 TEK YO¨NLU¨ ASAL I˙DEAL PRENSI˙BI˙ 31 ˙ 4.1 Tamamen Asal Sag˘ Idealler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ˙ 4.2 Tamamen Asal Ideal Prensibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Oka Aileleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ˙ 4.4 Tamamen Asal Ideal Prensibinin Bazı Uygulamaları . . . . . . . . . . . 52 ˙ ˙ ˙ 4.5 Comonoform Sag˘ Idealler I¸cin Asal Ideal Prensibi . . . . . . . . . . . . 62 5 OKA AI˙LELERI˙ YAKLAS¸IMIYLA COHEN VE KAPLANSKY TE- OREMLERI˙NI˙N GENELLEMELERI˙ 71 5.1 Nokta Sıfırlayıcı Ku¨meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 iv 5.2 Nokta Sıfırlayıcı Ku¨me Teoremi ve Cohen Teoremi . . . . . . . . . . . . 79 5.3 Kaplansky-Cohen Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Dik Toplanan Altında Kapalı Aileler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.5 Kaplansky Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 FARKLIYAKLAS¸IMLARLACOHENVEKAPLANSKYTEOREM- LERI˙NI˙N GENELLEMELERI˙ 103 6.1 Koh ve Chandran Yakla¸sımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2 Michler Yakla¸sımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Tam Sınırlı Halkalar ve Cohen Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.4 Deg˘i¸smeli Olmayan S-Noether Halkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7 SONUC¸LAR 120 KAYNAKLAR 123 v