Darstellungstheorie Vorlesung im Sommersemester 1993, Wintersemester 1993/94 und Sommersemester 1994 B. Ku¨lshammer Ausarbeitung: Markus Deiml Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Darstellungen 3 Kapitel 2. Zerf¨allungsk¨orper 8 Kapitel 3. Charaktere 11 Kapitel 4. Konjugationsklassen 15 Kapitel 5. Kern und Zentrum 20 Kapitel 6. Restriktion und Induktion 23 Kapitel 7. Induktionss¨atze 28 Kapitel 8. Normale Komplemente 33 Kapitel 9. Frobeniusgruppen 37 Kapitel 10. TI-Mengen 43 Kapitel 11. CN-Gruppen 48 Kapitel 12. Projektive Darstellungen 54 Kapitel 13. Das Tensorprodukt von Moduln 59 Kapitel 14. Das Tensorprodukt von Homomorphismen 63 Kapitel 15. Bimoduln 67 Kapitel 16. Morita-Theorie 71 Kapitel 17. Das Tensorprodukt von Algebren 76 Kapitel 18. Moduln, Darstellungen und Matrixdarstellungen 80 Kapitel 19. Skalarerweiterungen 84 Kapitel 20. Endlich-dimensionale Algebren und das Radikal 86 Kapitel 21. Kommutatoren 89 Kapitel 22. Idempotente 94 Kapitel 23. Frobeniusalgebren 98 Kapitel 24. Symmetrische Algebren 102 Kapitel 25. Das Zentrum der Gruppenalgebra 106 Kapitel 26. Bl¨ocke von Gruppenalgebren 110 1 2 INHALTSVERZEICHNIS Kapitel 27. Defektgruppen von Bl¨ocken 113 Kapitel 28. Blockanzahlen 116 Kapitel 29. Graduierte Algebren 120 Kapitel 30. Bl¨ocke und Faktorgruppen 124 Kapitel 31. Bl¨ocke und Normalteiler 129 Kapitel 32. Projektive Moduln und Cartaninvarianten 134 Kapitel 33. Bewertungsringe 138 Kapitel 34. Ordnungen 143 Kapitel 35. Gitter 145 Kapitel 36. Moduln in Bl¨ocken 148 Kapitel 37. Induzierte Moduln 151 Kapitel 38. Charaktere in Bl¨ocken 154 Kapitel 39. Brauers Zweiter Hauptsatz und Anwendungen 158 Kapitel 40. Brauer-Charaktere 162 Kapitel 41. Brauer-Charaktere in Bl¨ocken 167 Kapitel 42. Cartanmatrizen und Bl¨ocke 171 Kapitel 43. Verallgemeinerte Zerlegungszahlen 177 Kapitel 44. Bl¨ocke mit abelscher Defektgruppe 182 Index 189 KAPITEL 1 Darstellungen Sei G endliche Gruppe und K ein (stets kommutativer) K¨orper. 1.1.Definition. Eine(lineare)Darstellung∆vonGaufeinenK-VektorraumV isteinHomomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(V) aller Bijektionen V →V. Man nennt deg(∆):=dim(V) den Grad von ∆ und Ker(∆):={g ∈G:∆(g)=id } den Kern von ∆. Im Fall Ker(∆)=1 nennt man V ∆ treu. Beispiel. (i) Die triviale Darstellung von G ist die Abbildung ∆ : G → GL(K), g (cid:55)→ id . Diese Darstellung K hat Grad 1 und Kern G. (ii) Gegeben sei eine Operation von G auf einer endlichen Menge Ω, d.h. eine Abbildung G×Ω → Ω, (g,ω) (cid:55)→ gω mit 1ω = ω und g(hω) = ghω fu¨r alle ω ∈ Ω, g,h ∈ G. Mit KΩ bezeichnen wir den K-Vektorraum aller Abbildungen f :Ω→K mit punktweise definierten Verknu¨pfungen. Fu¨r g ∈ G und f ∈ KΩ sei gf ∈ KΩ definiert durch (gf)(ω) := f(g−1ω) fu¨r ω ∈ Ω. Dann ist 1f = f und (g(hf))(ω)=(hf)(g−1ω)=f(h−1(g−1ω))=f(h−1g−1ω)=f((gh)−1ω)=(ghf)(ω) fu¨ralleg,h∈G, f ∈KΩ, ω ∈Ω.DaheristauchdieAbbildungG×KΩ→KΩ, (g,f)(cid:55)→ gf eine Gruppenoperation. Diese ist linear, d.h. es ist g(αf +α(cid:48)f(cid:48)) = α(gf)+α(cid:48)(gf(cid:48)) fu¨r g ∈ G, α,α(cid:48) ∈ K, f,f(cid:48) ∈KΩ.Definiertmanalso∆(g)∈GL(KΩ)fu¨rg ∈Gdurch(∆(g))(f):= gf fu¨rf ∈KΩ, so erh¨alt man eine Darstellung ∆ : G → GL(KΩ). Es ist deg(∆) = dimKΩ = |Ω|; definiert man n¨amlich fu¨r ω ∈Ω ein Element ωˆ ∈KΩ durch ωˆ(ψ):=0 fu¨r ψ ∈Ω\{ω} und ωˆ(ω)=1, so bilden die Elemente ωˆ (ω ∈Ω) eine Basis von KΩ. Fu¨r g ∈G und ω,ψ ∈Ω ist (cid:26) (gωˆ)(gψ)=ωˆ(g−1(gψ))=ωˆ(g−1gψ)=ωˆ(ψ)= 1 fu¨r ω =ψ , 0 sonst d.h. gωˆ =g(cid:99)ω. Ist also g ∈G, f ∈KΩ, f =(cid:80)ω∈Ωαωωˆ mit αω ∈K fu¨r ω ∈Ω, so ist (cid:88) (cid:88) (cid:88) (∆(g))(f)= αω(∆(g))(ωˆ)= αωgωˆ = αωg(cid:99)ω. ω∈Ω ω∈Ω ω∈Ω H¨aufig identifiziert man jedes Element ω ∈Ω mit ωˆ. Dann ist Ω Basis von KΩ. Jedes Element in (cid:80) KΩ l¨aßt sich also in der Form f = α ω mit α ∈ K fu¨r ω ∈ Ω schreiben. Fu¨r g ∈ G ist ω∈Ω ω ω dann (∆(g))(f)=(cid:80) α gω. ω∈Ω ω (iii) G operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation: (g,h)(cid:55)→gh. Wie in (ii) erh¨alt man also eine (cid:80) Darstellung ∆ : G → GL(KG). Ist f = α h mit α ∈ K fu¨r h ∈ G, so ist (∆(g))(f) = h∈G h h (cid:80) α gh. Man nennt ∆ die regul¨are Darstellung von G u¨ber K. h∈G h (iv) Sei N ein elementarabelscher p-Normalteiler von G fu¨r eine Primzahl p. Bekanntlich kann man N auffassen als Vektorraum u¨ber dem K¨orper Z/pZ: (k +pZ)x := xk fu¨r x ∈ N, k ∈ Z. Fu¨r g ∈G ist dann die Abbildung ∆(g):N →N, x(cid:55)→gxg−1 linear und bijektiv, und man erh¨alt so eine Darstellung ∆ : G → GL(N). Diese Darstellung hat als Kern {g ∈ G : gxg−1 = x fu¨r alle x∈N}=C (N) den Zentralisator von N in G. G 3 4 1. DARSTELLUNGEN Bemerkung. (i) Wirverabreden,daßunsereGruppenstetsendlichundunsereVektorr¨aumestetsendlich-dimensio- nal sind, auch wenn wir das nicht explizit erw¨ahnen. Ausnahmen von dieser Regel werden wir betonen, es sei denn, sie sind offensichtlich wie etwa im Fall der Gruppe GL(V), falls |V|=∞ ist. (ii) Ist ∆:G→GL(V) eine Darstellung, H eine Gruppe und f :H →G ein Homomorphismus, so ist auch∆◦f :H →GL(V)eineDarstellung.Statt∆◦f schreibtmanauchRes (∆)undnenntdies f die Einschr¨ankung oder Restriktion von ∆ mittels f. Ist H eine Untergruppe von G und f :H → G, h (cid:55)→ h die Inklusionsabbildung, so nennt man ResG(∆) := Res (∆) die Einschr¨ankung oder H f RestriktionvonGaufH.IstG=H/N fu¨reinenNormalteilerN vonH undf :H →G, h(cid:55)→hN derkanonischeEpimorphismus,sonenntmanInfH(∆):=Res (∆)dieInflationvon∆zuH.Sind N f G und H Untergruppen einer Gruppe X und f ist die Einschr¨ankung eines Automorphismus α von X, so schreibt man auch α−1∆ statt ∆◦f. Ist x ∈ X und α(y) := xyx−1 fu¨r alle y ∈ X, so schreibt man x−1∆. Es ist also (x−1∆)(h)=∆(xhx−1) fu¨r h∈H. (iii) Sind ∆ : G → GL(V ),...,∆ : G → GL(V ) Darstellungen, so auch ihre direkte Summe 1 1 n n ∆ ⊕...⊕∆ : G → GL(V ×...×V ), g (cid:55)→ ∆ (g)⊕...⊕∆ (g); dabei ist (∆ (g)⊕...⊕ 1 n 1 n 1 n 1 ∆ (g))(v ,...,v ):=((∆ (g))(v ),...,(∆ (g))(v )) fu¨r v ∈V ,...,v ∈V . n 1 n 1 1 n n 1 1 n n (iv) Seien V ,...,V K-Vektorr¨aume und V ⊗...⊗V = V ⊗ ...⊗ V ihr Tensorprodukt. Das 1 n 1 n 1 K K n bedeutet,daßV ⊗...⊗V einK-VektorraummiteinermultilinearenAbbildungµ:V ×...×V → 1 n 1 n V ⊗...⊗V , (v ,...,v )(cid:55)→v ⊗...⊗v undderfolgendenuniversellen Eigenschaftist:IstW ein 1 n 1 n 1 n K-Vektorraum und f : V ×...×V → W multilinear, so existiert genau eine lineare Abbildung 1 n F :V ⊗...⊗V →W mit f =F ◦µ. 1 n µ (cid:47)(cid:47) V ×...×V V ⊗...⊗V 1 n 1 n f F (cid:30)(cid:30) (cid:0)(cid:0) W Nach Aufgabe 2 ist dimV ⊗...⊗V = (dimV )...(dimV ). Sind ∆ : G → GL(V ),...,∆ : 1 n 1 n 1 1 1 n G →GL(V )Darstellungen,soauchihr(¨außeres) Tensorprodukt∆ ⊗...⊗∆ :G ×...×G → n n 1 n 1 n GL(V ⊗...⊗V ), (g ,...,g )(cid:55)→∆ (g )⊗...⊗∆ (g ); dabei ist (∆ (g )⊗...⊗∆ (g ))(v ⊗ 1 n 1 n 1 1 n n 1 1 n n 1 ...⊗v )=(∆ (g ))(v )⊗...⊗(∆ (g ))(v ) fu¨r v ∈V ,...,v ∈V (vgl. Aufgabe 3). n 1 1 1 n n n 1 1 n n (v) Sind ∆ :G→GL(V ),...,∆ :G→GL(V ) Darstellungen, so auch ihr (inneres) Tensorprodukt 1 1 n n ∆ ⊗...⊗∆ :G→GL(V ⊗...⊗V ), g (cid:55)→∆ (g)⊗...⊗∆ (g).Diesesentstehtausdem¨außeren 1 n 1 n 1 n Tensorprodukt G×...×G→GL(V ⊗...⊗V ) durch Komposition mit dem Homomorphismus 1 n δ :G→G×...×G, g (cid:55)→(g,...,g) gem¨aß (ii). (vi) Sind Γ : G → GL(V), ∆ : H → GL(W) Darstellungen, so auch Θ : G×H → GL(Hom(V,W)), wobei (Θ(g,h))(f) := ∆(h)◦f ◦Γ(g−1) fu¨r g ∈ G, h ∈ H, f ∈ Hom(V,W) ist. Statt Θ schreibt man auch Hom(Γ,∆). (vii) Sind Γ:G→GL(V), ∆:G→GL(W) Darstellungen, so kann man die Darstellung Hom(Γ,∆): G × G → GL(Hom(V,W)) aus (vi) mit dem Homomorphismus δ : G → G × G, g (cid:55)→ (g,g) zusammensetzenunderh¨altsoeineDarstellungΘ:G→GL(Hom(V,W))mit(Θ(g))(f)=∆(g)◦ f ◦Γ(g−1) fu¨r g ∈G, f ∈Hom(V,W). Diese bezeichnet man auch mit Hom(Γ,∆). (viii) Nimmt man in (vii) W := K, so ist Hom(V,W) = V∗ der Dualraum von V. Nimmt man fu¨r ∆ die triviale Darstellung, so erh¨alt man die zu Γ duale Darstellung Γ∗ : G → GL(V∗) mit (Γ∗(g))(f) = f ◦Γ(g−1) fu¨r g ∈ G, f ∈ V∗. Daher ist Γ∗(g) : V∗ → V∗ fu¨r g ∈ G die duale Abbildung zur linearen Abbildung Γ(g−1):V →V. (ix) Sei V ein K-Vektorraum und L ein Teilk¨orper von K mit [K : L] = dim K < ∞. Wir k¨onnen L V auch als L-Vektorraum ansehen und schreiben dann V statt V. Bekanntlich ist dim V = L L L [K : L]dim V. Da jede K-lineare Abbildung auch L-linear ist, ist GL(V) ⊆ GL(V ). Jede K L 1. DARSTELLUNGEN 5 Darstellung ∆ : G → GL(V) liefert also eine Darstellung ∆ = ResK(∆) : G → GL(V ) mit L L L deg(∆ )=[K :L]deg(∆). L 1.2. Definition. Eine Matrixdarstellung von G des Grades n u¨ber K ist ein Homomorphismus Λ von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(n,K) aller invertierbaren n×n-Matrizen mit Koeffizienten in K. Bemerkung. (i) Ist ∆ eine Darstellung von G auf den K-Vektorraum V und b ,...,b eine Basis von V, so erh¨alt 1 n man eine Matrixdarstellung Λ : G → GL(n,K), indem man jedem g ∈ G die Matrix Λ(g) von ∆(g) ∈ GL(V) bzgl. b ,...,b zuordnet. Ist also (∆(g))(b ) = (cid:80)n λ (g)b mit λ ∈ K fu¨r 1 n j i=1 ij i ij i,j =1,...,n, so ist Λ(g)=(λ (g)). ij (ii) Ist umgekehrt Λ : G → GL(n,K) eine Matrixdarstellung, so erh¨alt man eine Darstellung ∆ von G auf den K-Vektorraum V = Kn×1 = Mat(n,1,K), indem man jedem g ∈ G die Abbildung ∆(g):V →V, v (cid:55)→Λ(g)v zuordnet. LineareDarstellungenundMatrixdarstellungenentsprechensichalsowielineareAbbildungenund Matrizen. Begriffe wie Kern“, treu“, usw. u¨bertragen sich daher auf Matrixdarstellungen. ” ” (iii) Sei Λ:G→GL(n,K) eineMatrixdarstellung und α:K →L ein Homomorphismus von K¨orpern. Dann ist GL(n,K) → GL(n,L), (κ ) (cid:55)→ (α(κ )) ein Homomorphismus von Gruppen, den wir ij ij wieder mit α bezeichnen. Wir erhalten so eine neue Matrixdarstellung α◦Λ : G → GL(n,K) → GL(n,L). Ist K ein Teilk¨orper von L und α : K → L die Inklusionsabbildung, so schreibt man ΛL statt α ◦ Λ und sagt: ΛL entsteht durch Skalarerweiterung aus Λ. Ist K = L und α ein K¨orperautomorphismus,soschreibtmanαΛstattα◦ΛundnenntαΛalgebraisch konjugiertzuΛ. Beispiel. Gegeben sei eine Operation von G auf einer endlichen Menge Ω und die entsprechende Dar- stellung∆:G→GL(KΩ).Wirhabengesehen,daßmanΩalsBasisvonKΩauffassenkann.Bzgl.dieser Basis wird jedes ∆(g) durch eine Permutationsmatrix Λ(g) beschrieben, d.h. in jeder Zeile und Spalte von Λ(g) steht genau eine 1 und sonst lauter Nullen. 1.3. Definition. (i) Darstellungen Γ,∆ von G auf den K-Vektorr¨aumen V,W nennt man ¨ahnlich (Γ ∼ ∆), falls eine lineare Bijektion f :V →W existiert mit f ◦Γ(g)=∆(g)◦f fu¨r alle g ∈G. Γ(g) (cid:47)(cid:47) V V f f (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15) ∆(g) (cid:47)(cid:47) W W (ii) Matrixdarstellungen Θ : G → GL(m,K), Λ : G → GL(n,K) nennt man ¨ahnlich (Θ ∼ Λ), falls m=n ist und ein A∈GL(n,K) existiert mit AΘ(g)=Λ(g)A fu¨r alle g ∈G. Bemerkung. (i) ∼ ist eine A¨quivalenzrelation. (ii) WiemansichinderGruppentheorieinderRegelfu¨rGruppennurbisaufIsomorphieinteressiert, so interessiert man sich in der Darstellungstheorie fu¨r Darstellungen nur bis auf A¨hnlichkeit. (iii) Sind Γ : G → GL(V) und ∆ : G → GL(W) ¨ahnliche Darstellungen und sind b ,...,b und 1 n c ,...,c BasenvonV bzw.W,sosinddieentsprechendenMatrixdarstellungenΘundΛ¨ahnlich; 1 n ist n¨amlich f :V →W eine lineare Bijektion und f◦Γ(g)=∆(g)◦f fu¨r alle g ∈G, und ist A die Matrix von f bzgl. b ,...,b und c ,...,c , so ist AΘ(g) = Λ(g)A fu¨r alle g ∈ G. Insbesondere 1 n 1 n sind je zwei Matrixdarstellungen zu einer festen Darstellung aber zu verschiedenen Basen ¨ahnlich. (iv) Umgekehrt sind fu¨r ¨ahnliche Matrixdarstellungen Θ,Λ : G → GL(n,K) die entsprechenden Dar- stellungen Γ,∆ : G → GL(Kn×1) ¨ahnlich. A¨hnlichkeitsklassen von Darstellungen und A¨hnlich- keitsklassen von Matrixdarstellungen entsprechen sich also. 1.4. Definition. Sei ∆ eine Darstellung der Gruppe G auf einem K-Vektorraum V. Einen Untervektor- raum U von V nennt man ∆-invariant, falls (∆(g))(u)∈U fu¨r alle g ∈G, u∈U. 6 1. DARSTELLUNGEN Bemerkung. Man erh¨alt dann Darstellungen Γ : G → GL(U), Θ : G → GL(V/U), indem man jedem g ∈GdieEinschr¨ankungΓ(g):U →U von∆(g)bzw.diedurch∆(g)induzierteAbbildungΘ(g):V/U → V/U, v+U (cid:55)→(∆(g))(v)+U zuordnet. Man nennt Γ eine Teildarstellung und Θ eine Faktordarstellung von ∆. W¨ahlt man eine Basis b ,...,b von U und erg¨anzt man diese zu einer Basis b ,...,b von V, 1 m 1 n so gilt fu¨r die entsprechende Matrixdarstellung ∆˜ von G (cid:18) Γ˜(g) ∗ (cid:19) ∆˜(g)= 0 Θ˜(g) fu¨r g ∈ G; dabei ist Γ˜ die Matrixdarstellung zu Γ bzgl. b ,...,b und Θ˜ die Matrixdarstellung von Θ 1 m bzgl. der Basis b +U,...,b +U von V/U. m+1 n Beispiel. Operiert G auf einer endlichen Menge Ω und ist ∆ : G → GL(KΩ) die entsprechende Dar- (cid:80) stellung, so ist der von b := ω aufgespannte Untervektorraum U von KΩ ∆-invariant, und die ω∈Ω entsprechende Teildarstellung Γ : G → GL(U) ist zur trivialen Darstellung ¨ahnlich; denn fu¨r g ∈ G ist (∆(g))(b)=(cid:80) gω =b. ω∈Ω (cid:12) 1.5. Satz (Maschke). Sei char(K) (cid:54)(cid:12) |G| (z.B. char(K) = 0), ∆ eine Darstellung von G auf einen K-Vektorraum V und U ein ∆-invarianter Untervektorraum von V. Dann existiert ein ∆-invarianter Untervektorraum W von V mit V =U ⊕W. Beweis. Wirw¨ahlenzun¨achsteinenbeliebigenUntervektorraumX vonV mitV =U⊕X undbezeichnen mit h:V →V die entsprechenden Projektion auf U. Dann setzen wir 1 (cid:88) g := ∆(x−1)◦h◦∆(x) |G| x∈G und W :=Ker(g). Fu¨r u∈U ist also 1 (cid:88) 1 (cid:88) g(u)= (∆(x−1)◦h◦∆(x))(u)= (∆(x−1)◦∆(x)) (u)=u. |G| |G| (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) x∈G x∈G =∆(x−1x)=∆(1)=idV Insbesondere ist U ∩W =0. Fu¨r v ∈V ist g(v)∈U, also g(v−g(v))=g(v)−g(g(v))=g(v)−g(v)=0, d.h.v−g(v)∈W undv =g(v)+(v−g(v))∈U+W.FolglichistV =U⊕W.Fu¨rw ∈W undy ∈Gist (cid:32) (cid:33) 1 (cid:88) (g◦∆(y))(w) = ∆(x−1)◦h◦∆(xy) (w) |G| x∈G (cid:32) (cid:32) (cid:33)(cid:33) 1 (cid:88) = ∆(y)◦ ∆(y−1x−1)◦h◦∆(xy) (w) |G| x∈G (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) =g = (∆(y)◦g)(w) = (∆(y))(0) = 0, also (∆(y))(w)∈Ker(g)=W. Folglich ist W ∆-invariant. (cid:3) Bemerkung. W¨ahlt man eine Basis b ,...,b von U und eine Basis d ,...,d von W, so gilt fu¨r die 1 m 1 n Matrixdarstellung ∆˜ bzgl. der Basis b ,...,b ,d ,...,d von V: 1 m 1 n (cid:18) Γ˜(g) 0 (cid:19) ∆˜(g)= 0 Θ˜(g) fu¨r g ∈ G; dabei sind Γ und Θ die entsprechenden Teildarstellungen zu U bzw. W und Γ˜ und Θ˜ die zugeh¨origen Matrixdarstellungen. Folglich gilt ∆∼Γ⊕Θ. 1.6. Definition. Eine Darstellung ∆ von G auf einen K-Vektorraum V (cid:54)=0 nennt man irreduzibel, falls außer 0 und V keine ∆-invarianten Untervektorr¨aume existieren. 1. DARSTELLUNGEN 7 (cid:12) Bemerkung. Der Satz von Maschke besagt, daß im Fall charK (cid:54)(cid:12) |G| jede Darstellung von G zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen ¨ahnlich ist. Man kennt also alle Darstellungen von G, wenn man nur die irreduziblen Darstellungen kennt. Beispiel. Darstellungen vom Grad 1 sind immer irreduzibel. 1.7. Satz (Schurs Lemma). Seien Γ : G → GL(V), ∆ : G → GL(W) irreduzible Darstellungen und f :V →W linear mit ∆(g)◦f =f ◦Γ(g) fu¨r alle g ∈G. Ist f (cid:54)=0, so ist f bijektiv. Beweis. Fu¨r g ∈G und x∈Ker(f) ist (f ◦Γ(g))(x)=(∆(g)◦f)(x)=(∆(g))(0)=0, also (Γ(g))(x)∈Ker(f). Daher ist Ker(f) ein Γ-invarianter Untervektorraum von V. Analog ist Bild(f) ein ∆-invarianter Untervektorraum von W. Ist f (cid:54)=0, so ist also Ker(f)=0 und Bild(f)=W wegen der Irreduzibilit¨at von Γ und ∆. (cid:3) Bemerkung. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist also Γ∼∆. 1.8. Definition. Fu¨r jede Darstellung ∆:G→GL(V) setzt man C(∆):={f ∈End(V):∆(g)◦f =f ◦∆(g) fu¨r alle g ∈G}. Fu¨r jede Matrixdarstellung Λ:G→GL(n,K) setzt man analog C(Λ):={A∈Mat(n,K):Λ(g)◦A=A◦Λ(g) fu¨r alle g ∈G}. Bemerkung. (i) Ist Λ eine Matrixdarstellung zu ∆ und einer Basis b ,...,b von V, so besteht C(Λ) aus den 1 n Matrizen der Elemente in C(∆) bzgl. b ,...,b . 1 n (ii) C(∆),C(Λ) sind K-Vektorr¨aume und Ringe. (iii) Falls ∆ und Λ irreduzibel sind, so sind C(∆) und C(Λ) nach Schurs Lemma Schiefk¨orper. (iv) Ist L ⊇ K eine K¨orpererweiterung, so ist C(Λ) = C(ΛL) ∩ Mat(n,K) und dim C(ΛL) = L dim C(Λ);dennmankannC(Λ)alsK-L¨osungsraumdeslinearenhomogenenGleichungssystems K Λ(g)X − XΛ(g) = 0 (g ∈ G) ansehen, und C(ΛL) ist dann der L-L¨osungsraum des gleichen Gleichungssystems. (cid:12) Satz. Sei char(K)(cid:54)(cid:12)|G|, ∆ eine Darstellung von G auf einen K-Vektorraum V und C(∆) Schiefk¨orper. Dann ist ∆ irreduzibel. Beweis. Ist ∆ reduzibel, so existieren nach Maschke ∆-invariante Untervektorr¨aume U (cid:54)= 0,W (cid:54)= 0 von V mitV =U⊕W.DieProjektionenaufU bzw.W liegendanninC(∆),sindabernichtinvertierbar. (cid:3) Beispiel. IstK algebraischabgeschlossenund∆irreduzibel,soistC(∆)=Kid .Istn¨amlichf ∈C(∆) V beliebig und λ ∈ K Eigenwert von f, so ist auch f −λid ∈ C(∆), aber f −λid nicht invertierbar. V V Nach Bemerkung (iii) ist also f −λid =0, d.h. f =λid ∈Kid . V V V KAPITEL 2 Zerf¨allungsk¨orper Sei G Gruppe und K K¨orper. 2.1. Bemerkung. Sei L⊇K eine K¨orpererweiterung. Es kann vorkommen, daß eine Matrixdarstellung ∆:G→GL(n,K) irreduzibel ist, aber nicht ∆L :G→GL(n,K)→GL(n,L) (vgl. Aufgabe 5). Definition. Eine Matrixdarstellung ∆ : G → GL(n,K) heißt absolut irreduzibel, falls ∆L fu¨r jede K¨orpererweiterung L⊇K irreduzibel ist. Satz. Ist die Matrixdarstellung ∆ : G → GL(n,K) absolut irreduzibel, so ist C(∆) = K1 . Im Fall n (cid:12) charK (cid:54)(cid:12)|G| gilt auch die Umkehrung. Beweis. Sei ∆ absolut irreduzibel und K der algebraische Abschluß von K. Dann ist ∆K irreduzibel, also C(∆K)=K1 nach Beispiel 1.8. Folglich ist C(∆)=C(∆K)∩Mat(n,K)=K1 . n n (cid:12) Sei umgekehrt charK (cid:54)(cid:12)|G|, C(∆)=K1n und L⊇K eine K¨orpererweiterung. Dann ist dimLC(∆L)= dim C(∆)=1. Wegen L1 ⊆C(∆L) ist C(∆L)=L1 ∼=L. Nach Satz 1.8 ist ∆L irreduzibel. (cid:3) K n n 2.2. Satz. Fu¨r jede irreduzible Darstellung ∆ von G u¨ber K gilt: (i) Ist ∆ treu, so ist Z(G) zyklisch. (ii) Ist G abelsch und ∆ absolut irreduzibel, so ist deg(∆)=1. Beweis. (i) Wegen Z(G)∼=∆(Z(G))⊆C(∆) erzeugen die Elemente ∆(g) (g ∈Z(G)) eine endliche K¨orperer- weiterung L⊇Kid ∼=K. Als endliche Untergruppe von L× ist dann ∆(Z(G)) zyklisch. V (ii) Fu¨r g ∈G ist ∆(g)∈C(∆)=Kid . Da ∆ irreduzibel ist, folgt deg(∆)=1. (cid:3) V 2.3. Definition. Man nennt K einen Zerf¨allungsk¨orper fu¨r G, falls jede irreduzible Matrixdarstellung von G u¨ber K absolut irreduzibel ist. (cid:12) Bemerkung. Im Fall charK (cid:54)(cid:12) |G| bedeutet das: C(∆) = K1n fu¨r jede irreduzible Matrixdarstellung (cid:12) ∆:G→GL(n,K). (Dies gilt auch im Fall charK (cid:12)|G|, wird aber anders bewiesen.) (cid:12) Beispiel. Algebraisch abgeschlossene K¨orper K mit charK (cid:54)(cid:12)|G| sind stets Zerf¨allungsk¨orper. Wichtig- stes Beispiel ist C. H¨aufig interessiert man sich fu¨r kleinere“ Zerf¨allungsk¨orper. ” 2.4. Satz. Seien Λ : G → GL(m,K), Θ : G → GL(n,K) irreduzible Matrixdarstellungen und Λ(g) = (λ (g)), Θ(g)=(ϑ (g)) fu¨r g ∈G. Dann gilt fu¨r alle i,j,k,l: ij ij (i) Sind Λ und Θ nicht ¨ahnlich, so ist (cid:88) λ (g)ϑ (g−1)=0. ij kl g∈G (cid:12) (cid:12) (ii) Ist Λ absolut irreduzibel und charK (cid:54)(cid:12)|G|, so ist charK (cid:54)(cid:12)m und (cid:88) |G| λ (g)λ (g−1)= δ δ . ij kl m il jk g∈G 8 2. ZERFA¨LLUNGSKO¨RPER 9 Beweis. SeiE ∈Mat(m,n,K)dieMatrix,dieanderStelle(j,k)eine1undsonstlauterNullenenth¨alt, jk und sei   (cid:88) (cid:88) Fjk := Λ(g)EjkΘ(g−1)= λij(g)ϑkl(g−1):i=1,...,m, l=1,...,n. g∈G g∈G Fu¨r h ∈ G ist dann Λ(h)F Θ(h−1) = F , d.h. Λ(h)F = F Θ(h). Sind Λ und Θ nicht ¨ahnlich, so ist jk jk jk jk F =0 nach Schur, und (i) ist bewiesen. jk Sei also Λ = Θ absolut irreduzibel. Dann ist F ∈ C(Λ) = K1 , also F = α 1 fu¨r ein α ∈ K. jk m jk jk m jk Folglich gilt fu¨r i,l=1,...,n: (cid:88) (cid:88) α δ = λ (g)λ (g−1) = λ (h−1)λ (h) jk il ij kl ij kl g∈G h∈G (cid:88) = λ (h)λ (h−1) = α δ . kl ij li kj h∈G Daher ist α = 0 fu¨r i (cid:54)= l und α = α fu¨r alle i,j. Mit α := α ist α = αδ . Fu¨r i = 1,...,m ist li jj ii 11 jk jk ferner m (cid:88)(cid:88) (cid:88) mα= λ (g)λ (g−1)= 1 =|G|1 ij ji K K j=1g∈G g∈G wegen Λ(g)Λ(g−1)=1m fu¨r g ∈G. Daher ist charK (cid:54)(cid:12)(cid:12)m und α= |mG|. (cid:3) 2.5.Bemerkung. Fu¨rjedeK¨orpererweiterungL⊇K bildendieFunktionenG→LeinenL-Vektorraum F(G,L) der Dimension |G|. Satz. Seien Λ : G → GL(d ,K),...,Λ : G → GL(d ,K) paarweise nicht¨ahnliche absolut irreduzible 1 1 r r (cid:12) Matrixdarstellungen von G, sei charK (cid:54)(cid:12)|G| und Λs(g)=(λsij(g)) fu¨r s=1,...,r und g ∈G. Fu¨r jeden Erweiterungsk¨orper L ⊇ K sind dann die Funktionen λs : G → L (i,j = 1,...,d , s = 1,...,r) linear ij s unabh¨angig u¨ber L; insbesondere ist (cid:80)r d2 ≤ |G|. Daher gibt es bis auf A¨hnlichkeit nur endlich viele s=1 s absolut irreduzible Matrixdarstellungen von G u¨ber K. Beweis. Gegeben seien Elemente αs ∈ L mit (cid:80)r (cid:80)ds αs λs = 0. Fu¨r g ∈ G, k,l = 1,...,d , t = ij s=1 i,j=1 ij ij t 1,...,r gilt dann nach 2.4: (cid:88)(cid:88)r (cid:88)ds (cid:88)dt (cid:88) |G| 0= αs λs (g)λt (g−1)= αt λt (g)λt (g−1)=αt . ij ij kl ij ij kl lk d t g∈Gs=1i,j=1 i,j=1g∈G (cid:3) 2.6. Definition. Sei Λ : G → GL(n,K) eine Matrixdarstellung und L ⊆ K ein Teilk¨orper. Man nennt Λ realisierbar u¨ber L, falls es eine Darstellung Θ:G→GL(n,L) gibt mit Λ∼ΘK. (cid:12) Satz. Sei K ein Zerf¨allungsk¨orper fu¨r G mit charK (cid:54)(cid:12) |G| und L ⊆ K ein Teilk¨orper. L¨aßt sich jede irreduzible Matrixdarstellung Λ : G → GL(n,K) u¨ber L realisieren, so ist auch L ein Zerf¨allungsk¨orper fu¨r G. Beweis. Seien Θ : G → GL(d ,L),...,Θ : G → GL(d ,L) Matrixdarstellungen mit der Eigenschaft, 1 1 r r daß ΘK,...,ΘK bis auf A¨hnlichkeit alle irreduziblen Matrixdarstellungen von G u¨ber K sind. Fu¨r s = 1 r 1,...,rundg ∈GseiΘ (g)=(ϑs (g)).DannistC(Θ )=C(ΘK)∩Mat(n,L)=K1 ∩Mat(n,L)=L1 , s ij s s ds ds also Θ absolut irreduzibel. Sei Θ : G → GL(n,L) eine beliebige irreduzible Matrixdarstellung, und sei s Θ(g) = (ϑ (g)) fu¨r g ∈ G. Da ΘK zu einer direkten Summe von einigen ΘK ¨ahnlich ist, ist ϑ eine ij s 11 K-Linearkombination der Funktionen ϑs (i,j = 1,...,d , s = 1,...,r). Nach 2.4(i) ist also Θ zu einer ij s der Darstellungen Θ ,...,Θ ¨ahnlich. (cid:3) 1 r (cid:12) 2.7. Satz. Im Fall charK (cid:54)(cid:12) |G| existiert eine endliche K¨orpererweiterung L von K, so daß L ein Zerf¨allungsk¨orper fu¨r G ist.