elon lãgesiima curso de análise volume 1 R or-Q-K L697c Lima, Elon Lages Curso de análise; v.1. 12.ed. -- Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2009. 431 p.; ilust.; (Projeto Euclides) Bibliografia. ISBN 978-85-244-0118-3 1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série. 76-1001 17. CDD-517 18. -515 elon lages lima curso de análise volume 1 Décima segunda edição (quarta impressão) impa U 259 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright C) 2009 by Elon Lages Lima Direitos reservados, 2009 pela Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RI Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda. Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima (Editor) S. Colher Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima • Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez • Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hanig • Espaços Métricos - Elon Lages Lima • Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo • Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellingion C. de Melo • Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves • Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan SiM011, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski • Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho • Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo • Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor • Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James • Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima • Teoria Ergódica - Ricardo Man-é • Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler • Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer • Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael lório Jr. e Valéria lório • Atgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain • Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima • Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto • Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain • Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani • Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior • Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard • Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br Prefácio da primeira edição — What is jan, Mr. Armstrong? — My dear lady, as long as you have to ask that question, you will never know it. Esta é a primeira parte de um Curso de Análise. Nela se estudam as funções reais de urna variável real. A teoria é apresentada desde o começo. Não se faz uso de resultados que não sejam estabelecidos no texto. Todos os conceitos introduzidos são amplamente ilustrados por meio de exemplos. Apesar disso, é conveniente que os leitores deste livro pos- suam experiência equivalente à de dois semestres de Cálculo. Assim, terão alguma familiaridade com os aspectos computa- cionais mais simples e com a interpretação intuitiva de certas noções como limites, continuidade, derivadas, integrais e séries. Essas idéias constituem os temas fundamentais do curso. Elas são tratadas de modo auto-suficiente, mas a ênfase é colocada na conceituação precisa, no encadeamento lógico das proposições e na análise das propriedades mais relevantes dos objetos estuda- dos. As manipulações elementares e rotineiras com limites, deri- vadas, integrais, etc., embora necessárias, são deixadas de la- do, pois as supomos suficientemente exercitadas nos cursos de Cálculo. Isso não significa que menosprezemos os exercícios. Pelo con- trário, este livro contém várias centenas deles. Ler os enunciados de todos e resolver quantos puder é uma tarefa essencial do leitor. Matemática não se aprende passivamente. Os exercícios ensinam a usar conceitos e proposições, des- fazem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente idéias novas, dão oportunidade para explorar as fronteiras da validez das teorias expostas no texto e reconhecer a necessidade das hipóteses, apresentam aplicações dos teoremas demonstrados e informam o leitor sobre resultados adicionais, alguns dos quais não figuram no texto apenas por uma questão de gosto. Ao estudar o livro, o aluno está sendo conduzido pela mão do autor. Os exercícios lhe fornecem o ensejo de caminhar mais solto e, assim, ir ganhando independência. Para quem está con- vencido da importância de resolver os exercícios deste livro, um esclarecimento: eles variam muito em seus graus de dificuldade. Não se desencoraje se não conseguir resolver alguns (ou muitos) deles. É que vários são difíceis mesmo. Volte a eles depois, quando tiver lido mais do livro e se sentir mais confiante. Acho, porém, que incluí exercícios "resolvíveis" em número suficiente para satisfazer o amor-próprio de cada leitor. No final do livro, há uma lista de referências bibliográficas. Elas contêm material relacionado com os assuntos aqui tratados. A lista é bastante seletiva, refletindo fortemente meu gosto pes- soal. Nela foram incluídos os livros que, no meu entendimento, melhor servem como leitura colateral, esclarecendo, completan- do ou abordando sob outros aspectos os temas estudados neste livro. Ao adotar este livro num curso, o professor deve considerar a possibilidade de omitir o Cap. I, que contém apenas generali- dades sobre conjuntos e funções. Se os alunos já estudaram antes estas coisas, o curso' pode iniciar pelo Cap. II, servindo o Cap. I apenas para recordar certas definições, se necessário. Também o Cap. II pode ser omitido, se os alunos já tiverem aprendi- • do a teoria dos números naturais e as diferenças entre conjunto finito, enumerável e não-enumerável (num curso de Álgebra, por exemplo). Assim, para alunos com tal experiência, a leitura deste livro pode começar no Cap. III, onde são introduzidos os números reais. Uma palavra ao leitor: não se lê um livro de Matemática co- mo se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão para reescrever, com suas próprias palavras, cada definição, o enunci- ado de cada teorema, verificar os detalhes às vezes omitidos nos exemplos e nas demonstrações e resolver os exercícios referen- tes a cada tópico estudado. É conveniente, também, desenhar figuras, (principalmente gráficos de funções) a fim de atribuir significado intuitivo aos raciocínios do texto. Embora as figu- ras não intervenham diretamente na argumentação lógica, elas servem de guia à nossa imaginação, sugerem idéias e ajudam a entender os conceitos. Ao terminar, tenho o prazer de registrar meus agradecimen- tos a várias pessoas, que contribuíram para tornar mais claro o texto em alguns pontos, e livrá-lo de erros em outros: meu colega Manfredo P. do Carmo, com espírito às vezes oposicionista, me obrigou a -defender minha posição, quando isso era possível, e a ceder às suas críticas, quando procedentes; o Professor Renato Pereira Coelho, com paciência invulgar, apontou vários deslizes e pontos obscuros, que procurei corrigir. Sou também grato a di- versos alunos do IMPA que leram a versão preliminar e notaram erros. Não podendo mencionar cada um, agradeço entre eles a Paulo Villela e Maria Lúcia Campos. Finalmente, sou grato a Solange de Azevedo, que resolveu os exercícios e corrigiu alguns dos seus enunciados. Rio de Janeiro, agosto de 1976. ELON LAGES LIMA Observação. As citações bibliográficas são feitas no texto colo- cando-se o nome do autor entre colchetes. Assim, por exemplo, [Hardy] significa uma referência ao livro de G.H. Hardy que cons- ta da lista na página 339. Prefácio da sexta edição As cinco edições posteriores diferem da primeira pela correção de vários erros tipográficos, pela modificação de dois ou três trechos obscuros e pelo acréscimo de alguns exercícios. Manifesto de• público meu agradecimento aos leitores que me chamaram a atenção para esses pontos, destacando em especial os professores °elide Dotto, Claus Doering, Carlos Ivan Simonsen Leal e Lino Sanabria. Agradeço ainda a boa acolhida que o livro recebeu dos meus colegas que o adotaram. Espero que ele continue a gozar da mesma confiança e merecer a colaboração desinteressada e cons- trutiva sob a forma de sugestões, críticas e reparos, com vistas a aperfeiçoamentos posteriores. Rio de Janeiro, julho de 1989. ELON LAGES LIMA Prefácio da décima primeira edição A principal mudança nesta edição é de ordem gráfica. Todo o texto foi digitado eletronicamente. Isto ensejou a oportunidade de incluir novas correções, especialmente algumas apontadas pelo Professor Florêncio Guimarães, além da cuidadosa revisão feita por Dayse Pastore e Priscilla Pomateli, a quem agradeço aqui. A nova diagramação foi feita por Rogério Trindade. Rio de Janeiro, 7 de janeiro de 2004. ELON LAGES LIMA Conteúdo I Conjuntos e Funções 1 1 Conjuntos 2 2 Operações entre conjuntos 6 3 Funções 13 4 Composição de funções 20 5 Famílias 23 Exercícios 28 II Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 32 1 Números naturais 34 2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução 39 3 Conjuntos finitos e infinitos 42 4 Conjuntos enumeráveis 48 5 Conjuntos não-enumeráveis 51 Exercícios 54 III Números Reais 59 1 Corpos 61 2 Corpos ordenados 65 3 Números reais 75 Exercícios 87 IV Seqüências e Séries de Números Reais 99 1 Seqüências 100 2 •Limite de uma seqüência 107 3 Propriedades aritméticas dos limites 115 4 Subseqüências 120 5 Seqüências de Cauchy 125 6 Limites infinitos 129 7 Séries numéricas 133 Exercícios 153 V Topologia da Reta ................................ 161 1 Conjuntos abertos ................................. 162 2 Conjuntos fechados ................................ 169 3 Pontos de acumulação ..............................175 4 Conjuntos compactos .............................. 180 Exercícios ............................................... 186 VI Limites de Funções ............................... 195 1 Deñníção e propriedades do limíte ........ .- ......... 196 2 Exemplos de límites ................................ 202 3 Limítes laterais .................................... 205 4 Límítes no ínñníto, límítes m'ñnítos, expressões índe- termínadas ......................................... 208 5 Valores de aderêncía de uma função; 1m°1 sup e lím ínf 213 Exercícios ............................................... 217 VII Funções Contínuas .............................. 222 1 A noção de função contmua ........................ 222 2 Descontínuídades .................................. 229 3 Funções contínuas em íntervalos .................... 234 4 Fu+nções contínuas em conjuntos Compactos ......... 238 5 Contínuídade uniforme ............................. 240 Exercfcios ............................................... 245 VIII Derivadas ....................................... 255 1 Deñníção e propriedades da derívada num ponto . . . . 255 2 anções deríváveis num intervalo ................... 268 3 Fórmula de Taylor ................................. 277 4 Série de Taylor, funções analíticas .................. 288 Exercícíos ..................................... ......... 292 IX Integral de Riemann ............................. 302 1 Integral superíor e integral ínferíor .................. 304 2 qunções 1n'teg1'áveís ................................ 313 3 O Teorema Fu<ndamental do Cálculo ................ 321 4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral .............. 326 5 A íntegral como límíte de somas . . . . _. ............... 331