Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Controlabilidade para alguns modelos da mecânica dos fluidos por Diego Araujo de Souza João Pessoa - PB Março/2014 Controlabilidade para alguns modelos da mecânica dos fluidos por Diego Araujo de Souza † sob orientação do Prof. Dr. Fágner Dias Araruna e sob co-orientação do Prof. Dr. Enrique Fernández Cara Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática - UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Ma- temática. João Pessoa - PB Março/2014 †Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática Área de Concentração: Análise Aprovada em: Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (Orientador) Prof. Dr. Enrique Fernández Cara (Co-Orientador) Prof. Dr. Ademir Fernando Pazoto Prof. Dr. Jose Felipe Linares Ramirez Prof. Dr. Marcelo Moreira Cavalcanti Prof. Dr. Pablo Gustavo Albuquerque Braz e Silva Tese apresentada ao Corpo Docente do Programa Associado de Pós-Graduação em Matemá- tica-UFPB/UFCG,comorequisitoparcialparaobtençãodotítulodeDoutoremMatemática. Março/2014 Resumo Esta tese se preocupa com a controlabilidade de alguns modelos da mecânica dos fluidos, relacionados às equações de Navier-Stokes. O objetivo é provar a existência de controles que conduzemasoluçãodenossosistemadeumestadoinicialprescritoàumestadofinaldesejado em um tempo positivo dado. OsdoisprimeirosCapítulospreocupam-secomacontrolabilidadedosmodelosdeBurgers- α e Leray-α. O modelo de Leray-α é uma variante regularizada do sistema de Navier-Stokes (α é um parâmetro positivo pequeno) que pode também ser visto como um modelo de fluxos turbulentos; o modelo Burgers-α pode ser visto como um modelo simplificado. Nós provamos que as equações de Leray-α e Burgers-α são localmente controláveis a zero, com controles limitados independentes de α. Nós também provamos que, se os dados iniciais são suficien- temente pequenos, o controle nulo das equações de Leray-α (resp. a equação de Burgers-α) converge quando α → 0+ a um controle nulo das equações de Navier-Stokes equations (resp. a equação de Burgers). O terceiro Capítulo preocupa-se com a controlabilidade nula de fluidos incompressíveis invíscidosparaosquaisefeitostérmicossãoimportantes. Eleserãomodeladosatravésdaentão chamada Aproximação de Boussinesq. No caso em que o calor tem difusão zero, adaptando e extendendo algumas idéias de J.-M. Coron [13, 15] e O. Glass [43, 44, 45], nós estabelecemos a controlabilidade exata global simultaneamente do campo velocidade e da temperatura para os caso 2D e 3D. Quando o coeficiente de difusão do calor é positivo, nós apresentamos alguns resultadosadicionaissobreacontrolabilidadeexataparaocampovelocidadeecontrolabilidade nula local para a temperatura. OquartoCapítuloédedicadoàprovaracontrolabilidadeexatalocalàstrajetóriasparaum sistema acoplado, do tipo Boussinesq, com um número reduzido de controles. Nesse sistema, asvariáveisdesconhecidassãoocampovelocidadeeapressãodofluido(y,p),atemperaturaθ eumavariavéladicionalcquepodeservistacomoaconcentraçãodeumsolutocontaminante. Nósprovamosváriosresultados,queessencialmentemostramqueésuficienteatuarlocalmente no espaço sobre as equações satisfeitas por θ e c. Palavras-chave: desigualdade de Carleman; controlabilidade nula; sistema Burgers-α; sis- tema de Boussinesq invíscido; sistema Leray-α; sistemas acoplados do tipo Boussinesq. Abstract This thesis deals with the controllability of some fluid mechanic models, related to the Navier-Stokes equations. The goal is prove the existence of controls that drive the solution of our system from a prescribed initial state to a desired final state at a given positive time. The two first Chapters deal with the controllability of the Burgers-α and Leray-α models. The Leray-α model is a regularized variant of the Navier-Stokes system (α is a small positive parameter) that can also be viewed as a model for turbulent flows; the Burgers-α model can be viewed as a related toy model. We prove that the Leray-α and Burgers-α equations are locally null controllable, with controls bounded independently of α. We also prove that, if the initial data are sufficiently small, the control of the Leray-α equations (resp. the Burgers-α equation) converge as α → 0+ to a null control of the Navier-Stokes equations (resp. the Burgers equation). ThethirdChapterdealswiththeboundarycontrollabilityofinviscidincompressiblefluids for which thermal effects are important. They will be modeled through the so called Boussi- nesq approximation. In the zero heat diffusion case, by adapting and extending some ideas from J.-M. Coron [13, 15] and O. Glass [43, 44, 45], we establish the simultaneous global exact controllability of the velocity field and the temperature for 2D and 3D flows. When the heat diffusion coefficient is positive, we present some additional results concerning exact controllability for the velocity field and local null controllability of the temperature. The fourth Chapter is devoted to prove the local exact controllability to the trajectories for a coupled system, of the Boussinesq kind, with a reduced number of controls. In the state system, the unknowns are the velocity field and pressure of the fluid (y,p), the temperature θ and an additional variable c that can be viewed as the concentration of a contaminant solute. We prove several results, that essentially show that it is sufficient to act locally in space on the equations satisfied by θ and c. Keywords: Carleman inequality; null controllability; Burgers-α system; inviscid Boussinesq system; Leray-α system; coupled systems of Boussinesq type. Agradecimentos - Aos meus Pais (Antonio e Antonia) e aos meus irmãos (Denis, Darielson e Daniele), por sempre acreditarem em mim, pelos incentivos e por todo o amor que temos compartido. - Aos amigos de longa data, que hoje em dia são parte de minha família: Felipe (Filipão), José Francisco (Zé), Maurício (Maurição), Roberto (Robertim) e Pitágoras (Pita). - Ao professor Marcondes Rodrigues Clark que sempre foi excelente orientador, conse- lheiro, incentivador, um bom amigo e um exemplo a seguir. - Ao professor Fágner Dias Araruna, orientador desta Tese, por abrir as portas do mundo para mim, pela paciência, pela confiança, pela amizade, por apresentar temas bastante motivadores a todos os seus alunos. Muito obrigado! - Ao professor Enrique Fernández Cara, co-orientador desta Tese, pela excelente assistên- cia dada durante os dois anos que estive em Sevilha, permitindo reforçar ainda mais os resultados desta tese. Muito obrigado! - Aos professores da pós-graduação da UFPB, que acreditando na minha dedicação e trabalho, incentivaram-me e sempre me ajudaram de alguma forma. Especialmente, aos professores: Daniel Marinho Pellegrino, Everaldo Souto de Medeiros e João Marcos Bezerra do Ó. - À CAPES pelo apoio financeiro. Dedicatória À minha família e aos meus amigos. Sumário Introdução i 1 On the control of the Burgers-alpha model 1 1.1 Introduction and main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Controllability of the Burgers-α model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Large time null controllability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Controllability in the limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Additional comments and questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 A boundary controllability result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.2 No global null controllability? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.3 The situation in higher spatial dimensions. The Leray-α system . . . . 16 2 Uniform local null control of the Leray-α model 19 2.1 Introduction. The main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 The Stokes operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Well-posedness for the Leray-α system . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Carleman inequalities and null controllability . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 The distributed case: Theorems 6 and 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 The boundary case: Theorems 7 and 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Additional comments and questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1 Controllability problems for semi-Galerkin approximations . . . . . . . 42 2.5.2 Another strategy: applying an inverse function theorem . . . . . . . . 43 2.5.3 On global controllability properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.4 The Burgers-α system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.5 Local exact controllability to the trajectories . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.6 Controlling with few scalar controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.7 Other related controllability problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 On the boundary controllability of incompressible Euler fluids with Bous- sinesq heat effects 47 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ix 3.2 Preliminary results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Construction of a trajectory when N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Construction of a trajectory when N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Proof of theorem 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Proof of Proposition 9. The 2D case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Proof of theorem 2 - Tridimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Additional Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 On the control of some coupled systems of the Boussinesq kind with few controls 73 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2 A preliminary result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Proof of theorem 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4 Proof of Theorem 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.5 Proof of Theorem 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.6 Final comments and questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6.1 The case N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6.2 Nonlinear F and geometrical conditions on O . . . . . . . . . . . . . . 93 4.6.3 Generalizations to coupled systems with more unknowns . . . . . . . . 93 4.6.4 Local null controllability without geometrical hypotheses . . . . . . . . 94 4.7 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Referências 97 x