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Contre-exemples au principe de Hasse pour les courbes de Fermat Alain Kraus Abstract. Let p be an odd prime number. In this paper, we are concerned with 6 the behaviour of Fermat curves defined over Q given by equations axp + byp + czp = 0, 1 0 with respect to the local-global Hasse principle. It is conjectured that there exist infinitely 2 many Fermat curves of exponent p which are counterexamples to the Hasse principle. It is n a consequence of the abc-conjecture if p 5. Using a cyclotomic approach due to H. Cohen a ≥ J and Chebotarev’s density theorem, we obtain a partial result towards this conjecture, by 8 proving it for p 19. 2 ≤ ] T AMS Mathematics Subject Classification : 11D41 N Keywords : Fermat curves - Counterexample to the Hasse principle. . h t a m Introduction [ Soit p 3 un nombre premier. Une courbe de Fermat C/Q d’exposant p est définie 1 ≥ v par une équation de la forme 8 axp +byp +czp = 0, 9 6 7 ou` a,b,c sont des entiers rationnels non nuls. On s’intéresse dans cet article au comporte- 0 ment de ces courbes vis-à-vis du principe de Hasse. Adoptons la terminologie en vigueur . 1 selon laquelle C présente une obstruction locale en un nombre premier ℓ si C(Q ) est vide. 0 ℓ 6 On dit que la courbe C contredit le principe de Hasse si elle ne présente aucune obstruction 1 : locale et si C(Q) est vide. La place à l’infini n’intervient pas ici car C(R) est non vide. v Xi Si a,b,c ne vérifient pas de relation linéaire non triviale à coefficients dans (cid:8) 1,0,1(cid:9), − r il est très fréquent que C possède au moins une obstruction locale ([H-K]).On se préoccupe a ici du problème d’expliciter des courbes de Fermat contredisant le principe de Hasse. A` ma connaissance, l’état de ce problème est le suivant. Historiquement, le premier exemple qui a été découvert à ce sujet est la courbe d’équation 3x3 +4y3 +5z3 = 0, explicitée par E. S. Selmer en 1951 ([Se]). Par ailleurs, il figure dans [H-K] des exemples de courbes de Fermat contredisant ce principe pour tout p au moins 5 plus petit que 100. Ils ont été obtenus par des techniques modulaires liées aux représentations galoisennes des points de torsion des courbes elliptiques. H. Cohen a également obtenu de tels exemples pour p 11 par une approche cyclotomique ([Co-2], cor. 6.4.11). Cela étant, on ne sait ≤ 1 pas démontrer que pour tout p, il existe une courbe de Fermat d’exposant p contredisant le principe de Hasse. Néanmoins, certains résultats établis dans [H-K] rendent plausible la conjecture suivante : Conjecture. Pour tout nombre premier p 3, il existe une infinité de courbes de Fermat ≥ d’exposant p, deux à deux non Q-isomorphes, contredisant le principe de Hasse. C’est une conséquence de la conjecture abc pour p 5 (loc. cit., prop. 5.1). Le nombre ≥ premier p étant donné, on obtient ici un critère impliquant cet énoncé pour l’exposant p. Cela permet d’en déduire cette conjecture pour p 19. La méthode que l’on utilise repose ≤ sur l’approche cyclotomique présentée par H. Cohen dans [Co-2], ainsi que sur le théorème de densité de Chebotarev. Ellepermet par ailleurs, pour p 19, d’expliciter de nombreuses ≤ courbes de Fermat d’exposant p contredisant le principe de Hasse. Tous les calculs numériques que ce travail a nécessités ont été effectués avec le logiciel de calcul Pari ([Pa]). Je remercie D. Bernardi pour lesremarques dont ilm’a fait part concernant cet article. ´ I. Enoncé des résultats Soient p 3 un nombre premier et c 2 un entier sans puissances p-ièmes. Pour tout ≥ ≥ nombre premier ℓ, distinct de c, désignons par C /Q la courbe d’équation ℓ xp +ℓyp +czp = 0. Posons K = Q(cid:0)√p c(cid:1) et notons : . O son anneau d’entiers, K . f l’indice de Z(cid:2)√p c(cid:3) dans OK, . Cl le groupe des classes de K, K . h le nombre de classes de K. K On supposera dans toute la suite que p divise h . Notons par ailleurs : K . e l’exposant du groupe abélien Cl , K . r la valuation p-adique de e, . N le nombre de copies de Z/prZ intervenant dans la décomposition primaire de Cl , K . S l’ensemble des nombres premiers ℓ 1 mod. p, ne divisant pas f, tels que la courbe 6≡ C /Q ne présente aucune obstruction locale. ℓ Pour tout ℓ S, il existe un unique idéal premier de O au-dessus de ℓ de degré K ∈ résiduel 1 (lemme 1). . S le sous-ensemble de S formé des nombres premiers ℓ tels que la condition suivante 0 soit satisfaite : e soit q l’idéal premier de OK au-dessus de ℓ de degré résiduel 1. L’idéal qp n’est pas principal. 2 Théorème. Supposons que les deux conditions suivantes soient remplies : 1) on a cp−1 1 mod. p2. 6≡ 2) p divise h . K Alors, pour tout ℓ S la courbe C /Q est un contre-exemple au principe de Hasse. Si 0 ℓ ∈ S a une densité strictement plus grande que 1 , l’ensemble S est infini, auquel cas la pN 0 conjecture est vraie pour l’exposant p. Corollaire. Supposons que (p,c) soit l’un des couples suivants : (3,921), (5,19), (7,13), (11,373), (13,103), (17,1087), (19,37). Alors, S est infini. En particulier, la conjecture est vraie pour p 19. 0 ≤ Remarque 1. L’énoncé du théorème permet d’obtenir de nombreux contre-exemples au principe de Hasse. A` titre indicatif, pour (p,c) = (5,19), on a h = 5 et il y a 72 classes K de nombres premiers ℓ modulo 275 qui sont dans S. Pour chaque nombre premier ℓ dans l’une de ces classes, si ℓ est dans S , alors C est donc un contre-exemple au principe de 0 ℓ Hasse. Par exemple, l’ensemble des nombres premiers congrus à 7 modulo 275 est l’une de ces classes. Il y a 48 nombres premiers plus petits que 105 congrus à 7 modulo 275, et il y en a 31 qui sont dans S . Le plus petit d’entre eux est 1657 et le plus grand est 95707. 0 Remarque 2. Si l’on essaye d’étendre l’énoncé du corollaire avec des nombres premiers p 23, cela devient, a priori, nettement plus couteux numériquement. Par exemple, ≥ afin de pouvoir conclure pour p = 23, il semble qu’il faille disposer de valeurs de c pour lesquelles Cl contienne un sous-groupe isomorphe à Z/23Z Z/23Z. K × II. Démonstration du théorème Commenons par établir trois lemmes préliminaires. Lemme 1. Soit ℓ un nombre premier ne divisant pas f tel que ℓ 1 mod. p. Il existe un 6≡ unique idéal premier de O au-dessus de ℓ de degré résiduel 1. K Démonstration : Posons F = Xp c. La condition ℓ 1 mod. p entraˆıne que 1 est − 6≡ la seule racine p-ième de l’unité dans F , donc le morphisme F∗ F∗ qui à x associe xp ℓ ℓ → ℓ est bijectif. Par suite, F a une unique racine dans F . Parce que ℓ ne divise pas f, cela ℓ entraˆıne le résultat ([Co-1], th. 4.8.13). Lemme 2. Soit ℓ un nombre premier ne divisant pas cf tel que ℓ 1 mod. p. Alors, ℓ est ≡ inerte ou totalement décomposé dans K. Démonstration : Les racines p-ièmes de l’unité sont dans F car p divise ℓ 1. Si le ℓ − polynôme F = Xp c n’a pas de racines dans F , alors F est irréductible modulo ℓ et ℓ − 3 ℓ est donc inerte dans K. Sinon, F a toutes ses racines dans F , donc possède p racines ℓ distinctes dans F (ℓ ne divise pas c) et ℓ est totalement décomposé dans K. ℓ Lemme 3. La densité des nombres premiers totalement décomposés dans K est 1 . p(p−1) Démonstration : Un nombre premier est totalement décomposé dans K si et seulement si il est totalement décomposé dans la clôture galoisienne de K, qui est de degré p(p 1) − sur Q, d’ou` l’assertion ([Ne], chap. V, cor (6.5)). 1) Considérons alors un nombre premier ℓ S . Vérifions que C (Q) est vide, ce qui 0 ℓ ∈ établira que C /Q est un contre-exemple au principe de Hasse. On utilise pour cela le ℓ théorème 6.4.8 de [Co-2]. Ses deux premières conditions sont par hypothèse satisfaites. De plus, ℓ ne divise pas f. Il en résulte que le seul diviseur convenable de ℓO , au sens de la K définition 6.4.6 de loc. cit., est l’idéal premier q de O au-dessus de ℓ de degré résiduel K e 1 (lemme 1). L’idéal qp n’étant pas principal, et ℓ étant distinct de c, cela entraˆıne notre assertion. 2) Supposons S de densité strictement plus grande que 1 . Démontrons que S est pN 0 infini et par suite que la conjecture est vraie pour l’exposant p. Proposition 1. Soit A un ensemble de nombres premiers non congrus à 1 modulo p. Soit B l’ensemble des idéaux premiers de O de degré résiduel 1 au-dessus d’un nombre K premier de A. Alors, si A a une densité, il en est de même de B et elles sont égales. Démonstration : Pour tout idéal premier p de OK, notons Np sa norme sur Q et degp son degré résiduel. Si p est au-dessus du nombre premier ℓ, on a Np = ℓdegp. Supposons A de densité d. Pour tout x > 0 posons (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) u(x) = (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12). (cid:12)(cid:12)(cid:8)p Np x(cid:9)(cid:12)(cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) Il s’agit d’établir que u(x) a une limite égale à d quand x tend vers l’infini. On a (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u(x) = (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12) .(cid:12) | ≤ (cid:12). (cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12) (cid:12)(cid:8)p Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) D’après les lemmes 1 et 2, il existe une constante c telle que l’on ait 1 (cid:12)(cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12)(cid:12) = (cid:12)(cid:12)(cid:8)ℓ ℓ x, ℓ 1 mod. p(cid:9)(cid:12)(cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) (cid:12) | ≤ 6≡ (cid:12) + p.(cid:12)(cid:8)ℓ ℓ x, ℓ totalement décomposé dans K(cid:9)(cid:12)+c . (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) | ≤ (cid:12) 4 Notons π(x) le nombre des nombres premiers plus petits que x et posons (cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) v(x) = (cid:12) | ≤ (cid:12). π(x) D’après le théorème de Dirichlet et le lemme 3, la fonction v(x) a une limite quand x tend vers l’infini, qui vaut ainsi p 2 1 − +p. = 1. p 1 p(p 1) − − On écrit alors que l’on a (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12) = (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12). . (cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12) π(x) v(x) (cid:12) (cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) Les nombres premiers de A étant non congrus à 1 modulo p, il existe une constante c telle 2 que l’on ait (lemme 1) (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) = (cid:12)(cid:8)ℓ ℓ x, ℓ S(cid:9)(cid:12)+c . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12) (cid:12) | ≤ ∈ (cid:12) Puisque A est de densité d, on obtient (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) lim (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12) = d. x→∞ π(x) Par suite, on a (cid:12)(cid:8)p B Np x(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) lim (cid:12) ∈ | ≤ (cid:12) = d. x→∞ (cid:12)(cid:8)p Np x, degp = 1(cid:9)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) | ≤ (cid:12) L’ensemble des idéaux premiers de O de degré 1 étant de densité 1, la limite de u(x) vaut K donc d, d’ou` le résultat. Remarque 3. L’énoncé de la proposition 1 est faux si on enlève l’hypothèse hhnon congrus à 1 modulo pii, comme on le constate en prenant pour A l’ensemble des nombres premiers inertes dans K. En effet, d’après les lemmes 1 et 2 ainsi que le théorème de Dirichlet, la densité des nombres premiers totalement décomposés dans K ou inertes dans K est 1 . La densité des nombres premiers inertes est donc 1 1 = 1. p−1 p−1 − p(p−1) p e Proposition 2. Soit S1 l’ensemble des idéaux premiers q de OK tels que qp soit principal. Alors, S a une densité égale à 1 . 1 pN 5 Démonstration : Un idéal premier q de O appartient à S si et seulement si l’ordre K 1 de la classe de q dans Cl n’est pas divisible par pr. Le nombre d’éléments de Z/prZ qui ne K sont pas d’ordre pr est pr−1. Ainsi, dans un produit de N copies de Z/prZ, il y a pN(r−1) éléments dont l’ordre n’est pas divisible par pr. Le nombre d’éléments de Cl d’ordre non K divisible par pr est donc h h pN(r−1) K = K. prN pN Par ailleurs, il y une densité de 1 d’idéaux premiers de O dans chaque classe d’idéaux h K K de K, d’ou` le résultat. Fin de la démonstration du théorème. D’après la proposition 1, utilisée avec A = S, et l’hypothèse faite sur S, l’ensemble T des idéaux premiers de O de degré 1 au- K dessus d’un nombre premier de S, est de densité strictement plus grande que 1 . D’après pN e la proposition 2, il existe donc une infinité d’idéaux premiers q de T tels que qp ne soit pas principal. Cela entraˆıne que S est infini. 0 ′ Il reste à remarquer que si ℓ et ℓ sont deux nombres premiers distincts, ne divisant pas ′ c, la jacobienne de C a bonne réduction en ℓ mais pas en ℓ, et de même pour C . En ℓ ℓ′ particulier, les courbes C et C ne sont pas Q-isomorphes, d’ou` le théorème. ℓ ℓ′ III. Démonstration du corollaire Soit p un nombre premier fixé. Suivant la terminologie adoptée dans le paragraphe 3 de [H-K], ondira qu’unnombre premier q est exceptionnel pour p, si on a q = pet s’il existe 6 a,b,c non nuls dans F tels que la courbe de Fermat d’équation axp + byp + czp = 0 ne q possède pas de points rationnels sur F . D’après les travaux de Weil, les nombres premiers q 2 exceptionnels pour p sont plus petits que (cid:0)(p 1)(p 2)(cid:1) ([We]). En particulier, ils sont − − explicitables. Par ailleurs, ils sont congrus à 1 modulo p. Afin d’établir qu’une courbe C ℓ n’a pas d’obstructions locales, il suffit de vérifier que pour tout nombre premier q divisant pℓc ou qui est exceptionnel pour p, l’ensemble C (Q ) est non vide. On a utilisé pour cela ℓ q le lemme 3.1 de [H-K]. Pour chaque couple (p,c), notons d la densité de l’ensemble S correspondant. 1) Supposons (p,c) = (3,921). On a c2 1 mod. 9 et le groupe des classes du corps 6≡ K = Q(cid:0)√3 921(cid:1) est isomorphe à Z/3Z Z/3Z. On a ainsi N = 2. Il n’y a pas de nombres × premiers exceptionnels pour p = 3. Par suite, C n’a pas d’obstructions locales si et seule- ℓ ment si C (Q ), C (Q ) et C (Q ) sont non vides. Soit ℓ un nombre premier congru à 2 ℓ 3 ℓ ℓ ℓ 307 modulo 3. On vérifie que C (Q ) est non vide si et seulement si on a ℓ 3 ℓ 2,5,8 mod. 9. ≡ L’ensemble C (Q ) est non vide, car tout élément de F est un cube dans F . Par ailleurs, ℓ ℓ ℓ ℓ on trouve 102 classes de nombres premiers ℓ modulo 307 pour lesquelles C (Q ) est non ℓ 307 6 vide. On obtient ainsi 306 classes de nombres premiers ℓ modulo 2763 pour lesquelles C ℓ n’a pas d’obstructions locales. En notant ϕ la fonction indicatrice d’Euler, on en déduit que l’on a 306 1 d = = . ϕ(2763) 6 On a d > 1, d’ou` le résultat dans ce cas. 9 2) Supposons (p,c) = (5,19). On a c4 1 mod. 25 et h = 5, en particulier N = 1. K 6≡ Soit ℓ un nombre premier non congru à 1 modulo 5 et distinct de 5. Parce que 11 est le seul nombre premier exceptionnel pour p = 5, la courbe C n’a pas d’obstructions locales ℓ si et seulement si C (Q ),C (Q ),C (Q ),C (Q ) ℓ 5 ℓ ℓ ℓ 19 ℓ 11 ne sont pas vides. Tel est le cas de C (Q ) et de C (Q ) car tout élément de F et de F ℓ ℓ ℓ 19 ℓ 19 est une puissance 5-ième. On constate que C (Q ) est non vide si et seulement si on a ℓ 5 ℓ 7,8,9,12,13,17,18,19,24 mod. 25. ≡ Par ailleurs, C (Q ) est non vide si et seulement si on a ℓ 11 ℓ 1,2,3,4,7,8,9,10 mod. 11. ≡ On obtient ainsi 72 classes de nombres premiers ℓ modulo 275 pour lesquelles C /Q n’a ℓ pas d’obstructions locales. Il en résulte que l’on a 9 d = . 25 On a d > 1, d’ou` le résultat. 5 Pour chaque couple (p,c) considéré ci-dessous, on présente les résultats numériques dans des tableaux à deux entrées q et N , qui se lisent de la faon suivante. L’entier q q parcourt la réunion de (cid:8)p(cid:9) et de l’ensemble des nombres premiers exceptionnels pour p. L’entier N est le nombre de classes de nombres premiers ℓ modulo p2, avec ℓ 1 mod. p, p 6≡ pour lesquelles C (Q ) est non vide. Si q = p, N est le nombre de classes de nombres ℓ p q 6 premiers ℓ modulo q pour lesquelles C (Q ) est non vide. ℓ q Par ailleurs, c est premier, on a c 1 mod. p et cp−1 1 mod. p2. Pour tout nombre 6≡ 6≡ premier ℓ 1 mod. p et distinct de p, C (Q ) est non vide. De même, C (Q ) est non vide. ℓ ℓ ℓ c 6≡ On obtient les résultats suivants. 3) Pour (p,c) = (7,13) : on a h = 7, K q 7 29 43 71 N 25 16 30 60 q 7 d’ou` 25 16 30 60 500 1 d = × × × = > . ϕ(49 29 43 71) 2401 7 × × × 4) Pour (p,c) = (11,373) : Cl est isomorphe à Z/11Z Z/11Z. On obtient K × q 11 23 67 89 199 419 N 54 8 66 56 162 380 q d’ou` 13608 1 d = > . 161051 121 5) Pour (p,c) = (13,103) : on a h = 13, K q 13 53 79 131 157 313 547 N 99 24 78 80 108 240 546 q d’ou` 35640 1 d = > . 371293 13 6) Pour (p,c) = (17,1087) : on a h = 17, K q 17 103 137 239 307 409 443 613 647 919 953 1021 1123 1429 N 165 102 56 168 252 360 416 612 608 918 952 1020 1056 1428 q d’ou` 745113600 1 d = > . 6975757441 17 7) Pour (p,c) = (19,37) : on a h = 19, K q 19 191 229 419 457 571 647 761 1103 1597 N 187 100 144 374 312 450 646 720 986 1512 q d’ou` 22762911600 1 d = > . 322687697779 19 Cela termine la démonstration du corollaire. 8 Bibliographie [Co-1] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer GTM 138, 1993. [Co-2] H. Cohen, Number Theory Volume I : Tools and Diophantine Equations, Springer GTM 239, 2007. [H-K] E. Halberstadt et A. Kraus, Courbes de Fermat : résultats et problèmes, J. reine angew. Math. 548 (2002), 167-234. [Ne] J. Neukirch, Class field Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag 280, 1986. [Pa] C. Batut, D. Bernardi, K. Belabas, H. Cohen et M. Olivier, PARI-GP, version 2.7.3, Université de Bordeaux I, (2015). [Se] E. S. Selmer, The Diophantine equation ax3 +by3 +cz3 = 0, Acta Math. 85 (1951), 203-362. [We] A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s’en déduisent, Hermann, 1948. 28 janvier 2016 Alain Kraus Université de Paris VI, Institut de Mathématiques de Jussieu 4 Place Jussieu, 75005 Paris, France e-mail : [email protected] 9