CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES: COMPLETACIÓN DE LA ESTRUCTURA TOPOLÓGICA VIVIANA ANDREA PATIÑO MUÑOZ UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA (3487) SANTIAGO DE CALI 2013 CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES: COMPLETACIÓN DE LA ESTRUCTURA TOPOLÓGICA VIVIANA ANDREA PATIÑO MUÑOZ. Trabajo de grado presentado para optar al título de: Licenciado en Matemática y Física Director GUILLERMO ORTIZ RICO. UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA Y FÍSICA (3487) SANTIAGO DE CALI 2013 DEDICATORIA Dedico este trabajo de grado principalmente a mi familia y en especial a mi hijo Juan Pablo que fue el motor fundamental para querer lograr esta meta tan importante en mi vida. De igual forma se lo dedico a mi compañero y amigo Julián Getial Getial que aunque se ha ido a un viaje sin regreso en esta vida fue el principal gestor y motivador de este trabajo. También se lo dedico a mi director de tesis Guillermo Ortiz, que aunque muchas veces quise dejar este sueño, él siempre estuvo ahí con sus buenos consejos para decirme que todo en la vida es posible y que aunque haya dificultades lo que se empieza hay que terminarlo por que vale la pena. AGRADECIMIENTOS Agradezco principalmente a Dios por permitirme vivir esta experiencia y haber puesto sobre mí tantas bendiciones. A todos mis profesores que con su conocimiento lograron que me formara como profesional. A mis compañeros de estudio que con su acompañamiento continuo fueron un peldaño para poder culminar este logro en mi vida. A mi director de tesis Guillermo Ortiz por su paciencia y dedicación. Al Instituto de Educación y Pedagogía por permitir que me formara como licenciada en matemáticas y física. A la Universidad del Valle por esta oportunidad tan grande en mi vida. CONTENIDO INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 2 CAPÍTULO I .............................................................................................................................................. 8 LOS NÚMEROS REALES: ASPECTOS HISTÓRICOS Y EPISTEMOLÓGICOS ............................... 8 1. REVISIÓN HISTÓRICA DE LA CONSTRUCCIÓN DE ................................................................................... 8 1.1 SOBRE LAS CONSTRUCCIONES DE CANTOR Y DEDEKIND ..................................................................... 10 1.1.2 La construcción de Dedekind .............................................................................................. 10 1.1.3 La construcción de Cantor .................................................................................................. 13 1.2 SOBRE LA COMPLETEZ DE HILBERT ................................................................................................... 14 CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................................ 20 PRELIMINARES TOPOLÓGICOS Y ALGEBRAICOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE ........... 20 2.1 PRELIMINARES TOPOLÓGICOS ........................................................................................................... 20 2.1.1 Que es la topología? ........................................................................................................... 20 2.1.2 La noción de vecindad ......................................................................................................... 22 2.1.3 Espacios Topológicos .......................................................................................................... 23 2.1.4 Funciones continuas ............................................................................................................ 30 2.1.5 Teoremas Elementales de Extensión .................................................................................... 32 2.2 PRELIMINARES ALGEBRAICOS ............................................................................................................ 35 2.2.1 Anillos y cuerpos .................................................................................................................. 35 2.2.2 Construcción de cocientes ................................................................................................... 36 CAPÍTULO 3 ............................................................................................................................................ 41 LA CONSTRUCCIÓN DE LOS REALES POR THOMAS BLYTH ..................................................... 41 3.1 CAMPOS ORDENADOS ARQUIMEDIANOS ............................................................................................. 41 CAPÍTULO 4 ............................................................................................................................................ 62 LOS REALES MEDIANTE COMPLETACIÓN DE UN GRUPO TOPOLÓGICO .............................. 62 4.1 ESTRUCTURAS UNIFORMES ................................................................................................................ 65 4.1.1 Topología de un espacio uniforme ....................................................................................... 66 4.1.2 Una importante caracterización de Hausdorff ..................................................................... 67 4.1.3 Funciones uniformes continuas ............................................................................................ 67 4.1.4 Espacios uniformes completos ............................................................................................ 68 4.1.5 Filtro minimal de Cauchy..................................................................................................... 70 4.1.6 La completación de un espacio uniforme ............................................................................. 70 4.2 UNIFORMIDAD DE GRUPOS TOPOLÓGICOS .......................................................................................... 72 4.3 A MANERA DE CONCLUSIÓN ............................................................................................................... 73 CONCLUSIONES .................................................................................................................................... 75 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 77 RESUMEN Nosotros presentamos una reconstrucción detallada de la estructura de los números reales al estilo de Cantor con sucesiones de Cauchy. En esta reconstrucción seguimos los lineamientos del texto Lattices and Ordered Algebraic Structures de Thomas Blyth (2005) que centra su presentación colocando las estructuras algebraicas y de orden al mismo nivel; lo que contrasta con las habituales presentaciones que se centran solamente en la estructura algebraica. Sin embargo es notoria la no inclusión de la estructura topológica. En contraste comentamos en forma muy general, no detallada, la construcción de los números reales de Bourbaki a fin de exhibir la relevancia e importancia de la estructura topológica. Esperamos que este trabajo aporte a la reflexión y aprendizaje de los números reales que habitualmente son presentados en una forma axiomática que se centra principalmente en la estructura algebraica, algo de la de orden, pero la topológica queda en cierto grado oculta en un axioma de completitud. En este sentido nuestro trabajo, centrado en los números reales, constituye un llamado a un mayor acercamiento a las estructuras topológicas en la formación de futuros licenciados. Este llamado tiene su sustento en que estas estructuras intervienen en las matemáticas básicas universitarias a través de conceptos como densidad, convergencia y continuidad. Palabras claves: Números Reales, Topología, Completez, Estructura Algebraica, Estructura de Orden, Estructura Topológica, Estructura Uniforme, Filtro. INTRODUCCIÓN Este trabajo de grado de carácter exploratorio y descriptivo se inscribe dentro de la 1 línea de investigación de Historia y Epistemología de las matemáticas , el cual tiene como propósito general mostrar la relevancia de la estructura topológica en la construcción de los números reales y de igual manera el de exponer mediante un estudio histórico y epistemológico la problemática que subyace alrededor de su pre sentación axiomática, tema de gran interés y actualidad en la comunidad matemática. Para esto se realiza un análisis y aportes en torno a una de las dos formas de presentar este conjunto numérico y es a través de una construcción formal y rigurosa, partien do de un conjunto de naturaleza cualquiera con estructura algebraica y ordenada donde los números reales son un caso particular de este. 2 En las presentaciones axiomáticas tradicionales de los libros de texto de cálculo en enseñanza media y primeros semest res de universidad, tal como lo indica Puerto (2011), se aborda el sistema de los números reales haciendo una descripción más o menos completa señalando ciertas reglas y propiedades que no son discutidas con un sentido crítico, ocultando conceptos y proced imientos fundamentales en su caracterización como sistema numérico completo, quedando sin analizar propiedades 3 esenciales, tales como densidad y continuidad. El axioma de completez expresado 1 Línea perteneciente al grupo de Historia de las Matemáticas, adscripta al instituto de educación y pedagogía de la Universidad del Valle, Cali - Colombia. Siendo su objetivo principal el realizar estudios sobre la génesis, evolución y consolidación de un concepto o teoría matemática. 2 Sobre esto puede verse en (Apostol, 1988; Rudin, 1980 & Spivak, 1978) en donde se observa la similitud en la forma en que son expuestos el conjunto de los números reales, adoptándose un punto de vista no constructivista, ten iéndolos como objetos indefinidos que satisfacen ciertas propiedades llamados axiomas que son clasificados en Axiomas de Cuerpo, de orden y el supremo llamado también de completez. 3 El axioma de completez nos dice que si un conjunto está acotado superiorm ente entonces existe un elemento (que puede o no pertenecer al conjunto) que lo acota, este axioma desempeña un 2