(") IC giancarlo pesamosca ~ ~· "O Qj r ~ m o COMPLEMENTI ~~ I DI MATEMATICA ~i ESERCIZI \ (") ~ I la goliardica editrice m "..'. <I> n N' .. La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) • La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) Giancarlo Pesamosca COMPLEMENTI DI MATEMATICA ESERCIZI Ila Edizione riveduta e corretta la goliardica editrice La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) Tutti i diritti riservati La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) INTRODUZIONE Queste dispense presentano una raccolta di esercizi rela tivi alle funzioni analitiche ed alle trasformate di Fourier e di Laplace. Ogni capitolo e' preceduto da una breve nota intro duttiva in cui vengono richia11ati i concetti fonda11.entali re lativi all'argoaaento considerato ed i principali teoremi e pro prieta' che possono risultare utili nello svolgimento degli e sercizi. Gli esercizi proposti sono di varia difficoltai per alcu e' dato lo svolgimento completo, per altri il semplice risul ni tato lasciando lo svolgimento allo studente. La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) Capitolo I LE . FUNZIONI OLOMORFE. INTEGRALI DI FUNZIONI OLOMORFE Tra le funzioni di una Yariabile complessa, grande impor tanza teorica .e pratica banno le funzioni dotate di derivata complessa, ~io~:le funzioni olomorfe.Ricordiamo brev~mente al cune proprieta fondamentali di tali fun~ioni. - Se una funzione .di Tariabile complessa w·"' f(z)-• f(xy) =u(xy) + jv(xy) e' olomorfa in un campo A, essa e' in A parzialmente derivabile rispetto ad x e rispetto ad y, e Tale la "condizione di olo morfia" . 1 1) fz(xy) • 7 f (xy) "'f'(z) 1 J Dalla 1) seguono immediatamente le equazioni di Caucby-Rie mann: La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) • 8 • "\ u •• y - I y li - Una combinazione lineare di funzioni olomorfe in un campo A ~ ancora una funzione olomorfa in A. Il prodotto di piu' funzio11 i. olomorfe in A e' ancora una fun· zione olomorfa in A. f (z) , ·Se f (z), f (z) sono olomorfe in A, il <}UOziente -1-- e una 1 2 f 2 ( z) funzione olomorfa nel campo A privato dei punti in cui si an· nulla f (z). 2 ~icordiamo alcuni semplici esempi di funzioni olomorfe. • La potenza f(z) a zn (e quindi un qualsiasi polinomio in z) ~ una funzione olomorfa in t~tto il piano, e si ba • La funzione esponenziale f( z) a1~1 • ~11(cos y + j sen y) e' olo· morfa in tutto il piano, e si ba • Le funzioni circolari ed iperboliche ej • e•j ej + e·j I I I I z • cos z • ~en 2j 2 e• • e •I e• +e• I sen hz = cos hz • 2 2 essendo combinazioni lineari di esponenziali, sono olomorfe 1n tutto il piano, e si ha La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) - 9 - D sen :r. • cos :r. D cos z "' - sen z Dsen hz •cos hz D cos h:r. "'sen h:r. Se f(:r.) ~una funzione olomorfa 1n un campo A, e C(z0 ,z1 ) ~ una curva generalmente regolare contenuta in A e congiungen te i due punti Zoe z si definisce l'integrale di f(z) este 1, so a e mediante l'integrale di una forma differenziale linea re, e precisamente; Jf (x,y)dx+jf(xy)dy CC10,11> Adottata per la curva C la rappresentazione parametrica si ha quindi per tale integrale: 1 '"[ f[q>(t),'lf(t>J [<P'(t) •jw'Ct)]dt to Se il campo A e' semplicemente connesso, la forma differen ziale fdx +jfdy risulta integrabile in A, e quindi la funzione f(z) ~dotata in A di primitiva F(z). Tale primitiva risulta olomorfa 1n A, avendosi: l Fx = -F "F'(z) = f(z) j y Eserci ..:~ di Complementi di '.tatematica 2 La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])