ANGELA ELENA BEJU e JULIAN BEJU COMPENDIU DE MATEMATICA (ALGEBRA SI GEOMETRIE) * ¢ Qe EDITURA STIINTIFICA SI ENCICLOPEDICA Bucuresti, 1983 CUVINT INAINTE Aceasta carte conceputa in doud volume isi propune sa prezinte in mod unitar si de o maniera relativ completa ansamblul cunostintelor de matematica din invatamintul liceal. Am dorit in esenta sd oferim elevilor si absolventilor de liceu, tuturor celor interesati, un material de sine statator pentru recapitu- larea, corelarea si consolidarea cunostintelor de matematica. Primul volum este consacrat algebrei si geometriei, iar cel de-al doilea ealeulului diferential si integral, ecuatiilor diferentiale elementare, precum si unor elemente de teoria probabilitatilor. Lucrarea de fata este independenta, in lectura ei nefiind necesara consul- tarea altor manuale. In acest sens la inceput am prezentat fundamentele cunostintelor de matematica pe baza carora am putut apoiaborda in mod natural diversele capitole de matematica. In capitolul intii punctul de plecare fl constituie relatia de incluziune si notiunea de produs cartezian de multimi; pe baza acestora se introduce noti- unea de relatie binara din care deriva apoi relatiile de echivalenta, de ordine, de tip functie si in particular diferite tipuri de legi de compozitie. Operatiile clasice cu multimi (reuniunea, intersectia ete.) sint analizate in contextul legilor de compozitie in multimea A(U). Capitolul se incheie cu studiul mul- timilor finite, cadrul specific al elementelor de analiza combinatorie. Capitolul al doilea este consacrat in intregime studiului structurilor alge- brice fundamentale (grup, inel, corp, spatiu liniar) cu toata problematica afe- renta. O atentie speciala este acordata corpurilor numerice. Pentru constructia lui R n-am ales una din caile traditionale (R. Dedekind sau G. Cantor), ci am preferat sa prezentam o varianta mai apropiat& de nivelul de cunostinte al elevilor, si anume cea a lui K. Weierstrass. Capitolul al treilea trateaza& aspectele algebrice clasice: ecuatil, inecuatil, sisteme de ecuatil, matrici, determinanti, sisteme liniare, polinoame de O nede- terminata, fractii rationale. Am acordat 0 atentie deosebit unor chestiuni aparent elementare dar care coustituie puncte de incercare a cunostintelor la diferite concursuri si examene, cum ar fi proprietatile trinomului de eradul al doilea, ecuatiile si necuatiile cu radicali si altele. Capitolul al patrulea trateaza problematica legat& de geometric si trigonometrie. In ceea ce priveste axiomatizarea seometriei plane am acoptat in mod intentionat o cale diferita de cele clasice ale Ini D. Hilbert si G. D. Birkhoff ; calea lui R. Brisae si A. Doneddu ') ni se pare mai naturala, mai apro- piata de specificul geometriei. Se insista in mod special asupra locului si rostului 1) Vezi bibliografia de la sfirsitul lucrarii. diferitelor grupe de axiome, se analizeaz& in detaliu problematica ma&surarii lungimilor si unghiurilor gi se caracterizeaz& structura vectorialaé si metrica a planului. Pe tot parcursul lucrarii cititorul va intilni exemple, contraexemple si observatii incluse in interiorul paragrafelor la locul cel mai pot:ivit. Fiecare paragraf este insotit de exercitii comentate, fapt ce ajut& in cea mai mare m4sura la formarea unui stil de lucru, la familiarizarea cititorului cu abordarea de pro- bleme noi. Prin exercitiile propuse, ce se gisese de asemenea la sfirsitul fiecarui paragraf (cu indicatii si raspunsuri), cititorul poate sa-si verifice singur gradul in care problematica tratata a fost inteleasd. Data fiiud natura carfii de fata, cititorii cdrora li se adreseaza, am evitat in mod deliberat referirile bibliografice pe parcursul lucrarii. Bibliografia de la sfirsit contine acele lucrari care intr-un fel sau altul au influentat semnificativ prezenta lucrare. Indexul atasat permite localizarea rapid& a nofiunilor si rezultatelor principale. In sfirsit, dorim s& multumim si pe aceasta cale Dr. Stefan Miricd de la Universitatea din Bucuresti, care prin remarcile yi sugestiile facute in faza de manuscris a lucrarii ne-a condus la numeroase imbunatatiri. De asemenea, mulftumim Editurii Stiintifice si Enciclopedice, pentru interesul manifestat in vederea publicdrii acestui compendiu. AUTORII Bucuresti, mai 1983 LISTA DE NOTATII pentru orice — oricare ar fi exista implica daca si numai daca apartine (nu apartine) egal (diferit) multimea formata din elementele 2,4, ... multimea tuturor... cu proprietatea... suma dupé& & de la 1 la n suma dup& toate valorile lui i si 7 pentru care avem ti+j=k produs dupa £ de la 1 la n multimea numerelor naturale multimea numerelor intregi multimea numerelor rationale multimea numerelor rationale pozitive multimea numerelor irationale multimea numerelor reale multimea numerelor reale pozitive multimea numerelor complexe multimea universala multimea vida multimea partilor lui UJ perechea ordonata 2, y n-uplul ordonat 2, %o, ..-, Ln complementara multimii A produsul cartezian al lui A cu B multimea A este inclus&t in mulfimea B reuniunea multimilor A si B intersectia multimilor A si B diferenta multimilor A si B reziduatia multimilor A si B diferenta simetricé a multimilor A 3i B diferenta simetrica dual& a multimilor A si B diagonala produsului cartezian A x A functia f definité pe X cu valoriin Y functia caracteristica a multimii A imaginea multimii A prin functia f imaginea reciproca a multimii B prin functia f cardinalul multimii A combinari de » elemente luate cite k permutari de n obiecte factorial de aranjamente de » elemente luate cite k multimea claselor de resturi modulo p multimea numerelor naturale {1, 2, ..., n} multimea tuturor aplicatiilor bijective ale lui X in ea insasi relatie binara ary x este in relatia r cu y r~i relatia inversa relatiei r <,<,>,2 relatii de ordine xv = y(mod p) x congruent cu y modulo p cm~ y zx congruent cu ¥ ay x divide pe y [| partea intreaga a lui # | | valoarea absoluta a lui xv(£) clasa de echivalenta a lui x A |r multimea cit (factor) (a, b) interval deschis [a, 5] interval inchis [a, 5) interval inchis la stinga si deschis la dreapta (a, 6] interval deschis la stinga si inchis la dreapta intervale nemarginite la dreapta (a, +00), [a, + 00) intervale nemarginite la stinga (— od, a), (— oo, a MAX {Lj, Lo, -- +5 Un} cel mai mare dintre elementele 2, %, ..., Uy cel mai mic dintre elementele 2, Vy, ..., Lp min {X1, Voy o2 oy Ly} sup A marginea superioar4 a multimii A inf A marginea inferioart a multimii A d(x, y) distanta intre xv siy f compus cu g functia invers& functiei f ly | functia identitate a multimii X legi de compozitie +,->* L, T,@, 0,O0,° x simetricul lui « opusul lui x — 2 gah inversul lui # v conjugatul lui x (G, *) multimea G este grup in raport cu (*) multimea J este inel in raport cu (+-) §1(-) (I, +, -) multimea K este corp in raport cu (+) si (-) (Ac, Ty -) K [Vd] extensia pitratica a lui K corespunzitoare elementului d VK spatiul liniar V peste corpul £ —> vector, element al unui spatiu liniar v multimea matricilor cu m linii si » coloane $i cu elementele Mn x n( K) din it M,(K) multimea matricilor patrate cu n lini (coloane) si cu elementele din matricea A de elemente a,, A = [4a,;] simbolul lui Kronecker is simbolul Jui Ricci cu » indici Ekyko.s.Rn matricea unitate din ,,(/) qi, — [345] At transpusa matricii A det A determinantul matricii A permutari o, T e( c) semnul permutaril co numirul inversiunilor permutarii o Invo A[X] inelul polinoamelor in nedeterminanta X cu coeficientii din A orad f cradul polinomului f D‘f derivata formalé de ordinul ke N a polinomului f F,[X] corpul de fractii rationale in nedeterminanta A cu coe- ficientii din K [f,9] cel mai mare divizor comun al polinoamelor f sig U multimea punctelor planulul A, B,C, ... puncte in plan drepte ) AB dreapta determinata de punctele A si B semidrepte opuse de origine A pe dreapta d dh, a’, dy semidreapta inchisa de origine O JA, BL segmentul deschis de extremitati A si B [A, B] segmentul inchis de extremitati A si B [A, Bl segmentul inchis la stinga si deschis la dreapta de extre- mitati A si B JA, B] segmentul deschis la stinga si inchis la dreapta de extre- mitati A si b semiplane opuse de frontiera d Ua, U; U4 semiplan inchis de frontier’ d Ua, drapelul de suport d, FP ~F’ figura & este izometrica cu figura Uu(2) maésura marimii # in raport cu unitatea u Jd, Sol unghiul semidreptelor dy si 5, dts dreapta d este perpendiculara pe dreapta 5 d||8 dreapta d este paraleli cu dreapta 3 | ABI lungimea segmentului [A, B] || ABI] masura lungimii segmentului [A, 6] in raport cu o unitate de lungime AABC = AA’B'C' triunghiul ALC este congruent cu triunghiul A’B’C’ AABC ~ AA’B'C’ triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A’B’C’ d(M, 8) distanta de la punctul Jf la dreapta 6 —> AB vectorul de origine A si extremitate B xA, +B, «C0 unghiurile triunghiului ABC a, 0, ¢ laturile triunghiului ABC K(r) raza cercului circumscris (inseris) triunghiului A BC Capitolul I NOTIUNI FUNDAMENTALE 1.1. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR 1.1.1. ELEMENTE SI MULTIMI Notiunea de multime este una din notiunile fundamentale ale matematicii. {ncercarea dea o definiin sensul strict al cuvintului este apriori sortité esecului deoarece incadrarea acestei notiuni ca un caz particular intr-o alt& notiune mai general4 nu se poate face, notiunea de multime fiind cea mai generald in matematicS. Fondatorul teoriei multimilor Georg Cantor (1845—1918) spunee c& prin mullame se intelege cuprinderea de obiecte diferite, bine deter- minate, ale gindirii sau intuifiel noastre intr-un tot. Experienta fiecaruia dintre noi ne permite sa ilustram aceasté notiune cu diferité exemple ca: multimea zilelor saptaminii; multimea literelor alfabetului limbii romane; multimea cifrelor 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8,9; multimea tipurilor de patrulatere inscriptibile in plan; multimea punctelor unei drepte etc. In cele ce urmeaz&’ vom prezenta citeva elemente din teoria multimilor necesare pentru dezvoltarile ulterioare. Pentru usurinta exprimdrii introducem urmatoarele simboluri (semne) : semnul grafic (VW) va desemna cuvintele pentru orice sau oricare ar fis Ssemnul grafic (3) va desemna cuvintul exista; semnul grafic > va desemna 0 implicatie, adicaé va fi echivalentul cuvintelor rezuliad cd sau deci sau atuncr. Vorbind despre o multime (gindindu-ne la o multime si deci si la obiectele ce 0 alcatuiesc) presupunem ca este adevarata una si numai una dintre urm3- toarele doud afirmatii : — acest obiect apartine multimii ca element al ei; — acest obiect nu apartine multimii ca element al ei. Obiectele ce compun 0 multime data le vom numi elemente ; vom desemna de cbicei elementele prin litere minuscule iar multimile prin litere majuscule. Fie A o multime oarecare. Faptul c& elementul a apartine (este un element al) multimii A va fi notat astfel: a¢ A. Dacd& a nu apartine (nu este un element al) mulfimii A atunci vom folosi notatia: a ¢ A. Daca ae A sia’e A atunci simbolul = intreaceste elemente, adicié a = a’ exprima faptul c& a sia’ desemneazé acelasi element. 1.1.2. INDICAREA MULTIMILOR Exista) doua modalitati principale de a indica (de a da) o multime. Una eonsta in descrierea (insiruirea) complet& a elementelor ce compun mulfti- 11 mea respectiva. De exemplu, multimea A a radacinilor ecuatiei 7? — 44 +3 =0 este formata din elementele 1 si3. De obicei scriem acest lucru sub forma A = = {1,3}, adica insgirind intre acolade elementele respective. Cealalta& modalitate const’ in a indica o proprietate caracteristica a ele- mentelor multimii respective sz: numai a lor. Dac& notiam cu p proprietatea caracteristica a elementelor multimii A, atunci desemn4m multimea A sub forma A = {x|x# are proprietatea p}. De exemplu, dac& A este multimea punctelor cercului de centru O si raza 1, vom scrieA = {P| distantaOP = 1}. Pentru a da enunfurilor si rezultatelor o formaé cit mai general& si in acelasi timp mai simpla, introducem si asa-numita multime vidd, multimea fara nici un element, ce va fi desemnatad prin YU. Astfel, in loc s& spunem ca ecuatia v*-+1=0 nu are radacini reale, vom spune cit multimea radaicinilor reale pentru eeuatia data este multimea vida etc. Indicarea multimilor prin oricare din cele dou& modalitati necesit& o atentie deosebita din cauza ambiguitatii limbajului. Fie, spre exemplu, multimea spectatorilor unui meci de fotbal. Intelegem prin aceasta multimea spectatorilor de pe stadion pe toata durata meciului sall si pe cei ce au plecat sau au venit in timpul desfasurarii lui. Includem si telespectatorii in cazul unei transmisii la televizor? Jucatorii insisi sint inclusi sau nu? Dar arbitrii? ete. De multe ori dificuitatile in indicarea unei multimi nu sint legate numai de ambiguitatile hmbajului. Iata un exemplu. Intr-o clasi cel mai bun elev la matematica este desemnat de profesor sa ajute la rezolvarea unei anumite probleme pe cei ce nu si-o pot rezolva singuri si numai pe acestia. Spirit paitrunzator, acest elev si-a pus problema cum sa procedeze cu sine insusi. Dacd& isi va rezolva problema va trebui ca pe sine sa se includ& in multimea elevilor care isi rezolvi singuri problema, dar el nu avea voie sa4-i ajute pe acestia, deci pe sine. Dac& nu-si va rezolva problema atunci va face parte din multimea celor care nu-si rezolv4 singuri problema si conform indicatiei profesorului va trebui ca cl s&i se ajute si pe sine, deci sa rezolve singur problema. In teoria mulfimilor exist& situatii cind multimi determinate (vezi exem- plul de mai sus) contin contradictii interne. Studierea problemei: ,,in ce conditii se poate ivi o asemenea situatie’’ a condus la cercetari profunde in domeniul logicii. In lucrarea de fat&é vom considera numai multimi precis determinate. Dintre cele mai importante mentionam: N multimea numerelor naturale; Z multimea numerelor intregi; i multimea numerelor irationale; R multimea numerelor reale; C multimea numerelor complexe. Vom presupune c& cititorul este familiarizat cu aceste mulfiml. 1.1.3. RELATIL INTRE MULTIMI Fie A si B doua multimi. DEFINITIA 1. Dacdé orice element al multimit A este un element al mulfimit B, spunem ca A este o parte (sau o submultime) a lui B: notdém acest lucru prin Ac Bsau Boz A. Multimea vida este o parte a oricare: mulfimi. Dacdi A nu este inclusi in B scriem A ¢ B, ceea ce inseamnd ca exista cel putin un element ae A astfel incit a ¢ B. 12 Simbolul c stabileste relatia de incluziune intre multimi si citim semnele grafice A c Bb prin A este inclusa in B, respectiv B >A prin B include pe A. Utilizind simbolurile introduse mai sus, putem scrie definitia 1 si sub forma: 4c B dac&t (V)ae A >ae B. Observatia 1. Din definitia 1 rezulta ct A c A. L&as&im in seama cititorului s& Verifice c& relatia de incluziune este tranzitiva, adicéa daca Ac B si Bc C atunei Ac C. Keemplu 1. Nc Zc QcRc C. LHaemplul 2. {1,3} ¢ {—3, 1, 3, 5} Z. Ezemplul 3. {—3,1,3,5}4 N, deoarece —3 nu este numa&r natural. DEFINITIA 2. Spunem ca multimile A si B stnt egale (coincid sau stint adentice) si scrnem A = B, dacd Ac B si BCA. Observatia 2. Din faptul Ca multimea vida este continuta in orice multime rezulta unicitatea ei. Intr-adevar, dac& existii @ si O’ distinete, din proprie- tatea de multime vid&i a fiecdreia avem Oc @' si O'- G, ceea ce implica — @' conform definitiei 2. Obtinind o contradictie, rezulta proprietatea enuntata. Daca A c B dar BE A, spunem c& A este o parte stricta a lui B. Din dlefinitia 2 rezulta imediat proprietatile relatiei de egalitate: 1) reflexivitatea, adica A = A; 2) simetria, adic’ dack A = B> B= A; 3) tranzitivitatea, adica d = Bsi B=C >A =O. Simbolul 4 pentru multimi, A # B, va indica faptul c& A si B sint dife- rite, adica are loc una din situatiile : AFBsi BEA; Ac B si BE A (adicA A este o parte stricta a lui B) ; BeoAsiA € B (adica B este o parte stricta a lui A). De obicei toate multimile ce intervin intr-un anumit rationament sint submultimi ale unei mulfimi fixe U. In acest caz vom numi multimea U multime universald. De exemplu, toate multimile de numere ce intervin in aritmetica sint submultimi ale multimii numerelor reale R. Fie U o multime universala. Toate submultimile (partile) lui U formeaza Oo noua multime pe care 0 notam cu P( J) sionumim multimea partilor lui U. Prin urmare, Ac U inseamnad Ace AU), cele douk relatii exprimind acelasi lucru, sianume c4 A este o parte a lui U. In particular, Ue A(U). Fie Ae AU). DEFINITIA 3. Vom numi complementara mullimii A tn U gsi 0 vom nota cu GyA, multimes elementelor din U ce nu apartin lui A. Din definitie rezulta c& CyA = {ve U|x ¢ A} este o parte a lui U, adica& GuAe AU). In particular, dact A = U atunci 0, U = G si deci Oe A(U). Mai mult, se observa imediat ci 0yO = U. Prin introducerea notiunii de complementara in multimea P(U), partile iui U se grupeaz& in perechi de tipul A, Cy4; mai mult, (V)ne U, we A sau “NE Du A. Pentru simplitatea scrierii in cele ce urmeaz& vom suprima indicele U Sivom scrie §A in loc de C,A, ori de cite ori nu exist% pericol de confuzie. Proprietat: ale complementarei. PROPRIETATEA 1. Dacéd Ae AU) atune: C(CA) = A. Demonsiratie. Dac&é A = O atunci proprietatea este adevarat& conform celor aratate despre complementara multimii vide. Fie A 4 @, Ac U. Conform 13