I • • 11 Collected Works of Charles François Sturm Jean-Claude Pont (Editor) In collaboration with Flavia Padovani Birkhäuser Basel · Boston · Berlin Editor: Prof. Jean-Claude Pont 28, chemin de Chantevent 3960 Sierre Switzerland Library of Congress Control Number: 2008920492 Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek. Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the Internet at http://dnb.ddb.de ISBN 978-3-7643-7989-6 Birkhäuser Verlag AG, Basel - Boston - Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, re-use of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in other ways, and storage in data banks. For any kind of use permission of the copyright owner must be obtained. © 2009 Birkhäuser Verlag AG Basel · Boston · Berlin P.O. Box 133, CH-4010 Basel, Switzerland Part of Springer Science+Business Media Printed on acid-free paper produced from chlorine-free pulp. TCF ∞ Cover illustration (letter): Staatsbibliothek zu Berlin. Preussischer Kulturbesitz. Zentralkartei der Autographen Printed in Germany ISBN 978-3-7643-7989-6 e-ISBN 978-3-7643-7990-2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 www.birkhauser.ch Contents Préface................................................................ ix Jean-Claude Pont and Isaac Benguigui Charles François Sturm: notice biographique...................... 1 Hourya Benis Sinaceur L’œuvre algébrique de Charles François Sturm.................... 13 Jesper Lützen and Angelo Mingarelli Charles François Sturm and Differential Equations................ 25 Eisso J. Atzema Charles François Sturm’s Writings on Optics...................... 49 Patricia Radelet-De Grave Mécanique........................................................ 67 Jean-Claude Pont Compressibilité des liquids et vitesse du son....................... 111 Works of Charles François Sturm Solution du problème de dynamique énoncé à la page 180 du présent volume (1822/23)................................................. 117 Solution partielle du problème de géométrie énoncé à la page 288 du XIIe volume du présent recueil (1822/23)......................... 132 Démonstration d’un théorème de géométrie, énoncé à la page 248 du précédent volume (1823/24)....................................... 137 Démonstration de deux théorèmes de géométrie, énoncés à la page 248 du XIIIe volume des Annales (1823/24)........................... 141 Recherches analitiques, sur une classe de problèmes de géométrie dépendant de la théorie des maxima et minima (1823/24)......... 148 Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés à la page 63 du présent volume (1823/24)...................................... 157 Autre démonstration du même théorème (1823/24)..................... 165 vi Contents Solution du dernier des quatre problèmes de géométrie proposés à la page 304 du précédent volume (1823/24).......................... 174 Solution du problème de statique énoncé à la page 28 du présent volume (1823/24)......................................................... 181 Addition à l’article inséré à la page 286 du présent volume (1823/24)... 190 Démonstration des quatre théorèmes sur l’hyperbole énoncés à la page 268 du précédent volume (1824/25)............................... 192 Recherches sur les caustiques (1824/25)................................ 197 Théorèmes sur les polygones réguliers (1824/25)........................ 212 Recherches analitiques sur les polygones rectilignes plans ou gauches, renfermant la solution de plusieurs questions proposées dans le présent recueil (1824/25).......................................... 219 Recherches d’analise sur les caustiques planes (1825/26)................ 256 Mémoire sur les lignes du second ordre, première partie (1825/26)...... 267 Mémoire sur les lignes du second ordre, deuxième partie (1826/27)..... 297 Analyse d’un Mémoire sur la résolution des équations numériques (1829) 323 Extrait d’un mémoire de M. Sturm, présenté à l’Académie des sciences (1829)............................................................ 328 Note présentée à l’Académie par M. Ch. Sturm (1829).................. 333 Extrait d’un Mémoire sur l’intégration d’un système d’équations différentielles linéaires, présenté à l’Académie des sciences (1829).. 334 Rapport de M. Cauchy sur le Mémoire de M. Sturm intitulé. Résumé d’une nouvelle théorie relative à une classe de fonctions transcendantes (1830)............................................. 343 Mémoire sur la résolution des équations numériques (1835)............. 345 Mémoiresurles Équationsdifférentielleslinéairesdusecondordre(1836) 392 Démonstration d’un Théorème de M. Cauchy, relatif aux racines imaginaires des Équations (1836)................................. 474 Autres démonstrations du même Théorème (1836)..................... 486 Mémoire sur une classe d’Équations à différences partielles (1836)...... 505 Note sur un théorème de M. Cauchy relatif aux racines des équations simultanées (1837)................................................ 578 Extrait d’un Mémoire sur le développement des fonctions en séries dont les différents termes sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle linéaire, contenant un paramètre variable (1837)............................................................ 584 Contents vii Mémoire sur la compression des liquides (1838)......................... 589 Mémoire sur l’Optique (1838).......................................... 671 Note de M. Sturm, relative au Mémoire de M. Libri inséré dans le précédent Compte rendu (1839)................................... 700 Réponse de M. Libri à la Note de M. Sturm (1839)..................... 701 Mémoire sur quelques propositions de mécanique rationnelle (1841)..... 704 Note de M. Sturm à l’occasion de l’article précédent (1841)............. 711 Note de M. Sturm à l’occasion de l’article précédent (1842)............. 718 Note sur un Mémoire de M. Chasles (1842)............................. 721 Démonstration d’un Théorème d’algèbre de M. Sylvester (1842)........ 732 Mémoire sur la théorie de la vision (1845).............................. 746 Note sur l’intégration des équations générales de la dynamique (1848).. 780 Sur le mouvement d’un corps solide autour d’un point fixe (1851)...... 789 Bibliographic References Bibliographie des ouvrages de Charles François Sturm.................. 803 Bibliographie des principaux articles/ouvrages sur Charles François Sturm............................................................ 807 Préface Charles François Sturm est né à Genève le 29 septembre 1803. Ses œuvres, sans êtreabondantes,contiennentdespiècesdechoix,enparticulierlethéorèmesurles racines des équations algébriques, qui a fait sa jeune célébrité, ainsi que la théorie ditede«Sturm–Liouville»pourleséquationsdifférentiellesdusecondordre.Pour célébrerlebicentenairedesanaissance,l’UniversitédeGenève,parl’intermédiaire delaSectiondePhysiqueetdel’UnitéHistoireetPhilosophiedesSciences,aorga- nisé en son honneur un important colloque international (15–19 septembre 2003). Deux parties constituaient ce colloque. L’une d’elles, la seconde, était consa- crée aux aspects modernes et actuels de la théorie de Sturm–Liouville. Dirigée par Werner Amrein, Andreas Hinz et David Pearson, elle a fait l’objet d’un ou- vrageparuchezBirkhäuseren2005,sousletitreSturm-LiouvilleTheory.Pastand Present.Unepléiadedemathématiciens,spécialistesdelathéoriedeSturm–Liou- ville, ont, à cette occasion, fait le point sur les développements intervenus dans ce domaineaucoursdu20esiècle,ainsiquesursesapplicationsensciencesnaturelles, particulièrement en physique. Dans la première partie du colloque, des historiens des mathématiques, re- présentant les diverses facettes de l’œuvre de Sturm, ont traité des aspects histo- riques de cette œuvre et du contexte dans lequel elle s’est inscrite. Cette partie étaitconçuecommeprolégomèneàlapublicationdesœuvrescomplètesducélèbre Genevois, les communications des intervenants servant de chapeaux aux divers champs où il a laissé son nom. La conservation de la production des grands hommes relève du souci plus général de la sauvegarde du patrimoine, qui façonne le visage d’une civilisation et fait sa grandeur. Dansnotreprésentationdel’ensembledestravauxdeCharlesFrançoisSturm, nous avons maintenu l’ordre chronologique des publications, et les chapeaux qui introduisent les divers champs ont été regroupés en tête. Les champs concernés sont, pour l’essentiel, les suivants: Mathématique élé- mentaire (théorie des polygones, trigonométrie, géométrie analytique, géométrie projective, sections coniques, etc.), Algèbre, Analyse, Mécanique, Optique (caus- tique, optique physiologique), Théorie de la chaleur (compressibilité des liquides, vitesse du son dans l’eau). Laprésentepublicationetlecolloqueontpubénéficierdelagénérositéoude l’appui de diverses instances genevoises que nous remercions ici: Société de phy- siqueetd’histoirenaturelle,Sociétéacadémique,FacultédesSciencesetSectionde x Préface physique de l’Université. Nos remerciements vont aussi à l’Académie des Sciences de Paris pour sa participation active à notre colloque à la Bibliothèque publique et universitaire de Genève, qui a procédé à la numérisation des œuvres de Sturm et,last but not least,auxEditionsBirkhäuserquiontassurécettepublicationavec leur compétence habituelle. Sierre, avril 2008 Jean-Claude Pont Collected Works of Charles François Sturm Jean-ClaudePont(ed.),incoll.withFlaviaPadovani,1–11 (cid:2)c 2009BirkhäuserVerlagBasel/Switzerland Charles François Sturm: notice biographique Jean-Claude Pont et Isaac Benguigui «DeuxbeauxMémoiressurladiscussiondeséquationsdifférentiellesetàdifférences partielles, propresauxgrandsproblèmesde la Physiquemathématique,ontété du moinspubliésenentier,grâceàmoninsistance.»Lapostéritéimpartiale,lesplacera à côté des plus beaux Mémoires de Lagrange. «Voilà ce que j’ai dit et imprimé il yavingtans[Mémoiresluàl’AcadémiedesSciencesparLiouville,le14décembre 1836],etcequejerépètesanscraindrequ’aujourd’huipersonneviennemereprocher d’être trop hardi». Liouville, dans le discours prononcé sur la tombe de Sturm, le jeudi 20 décembre 1855 (Cité dans Prouhet, Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique, t.1 p.XXV).1 Remarques liminaires Pourl’essentiel,cettenoticebiographiquereprendcelleclassiquedeProuhet,com- plétéeparSpeziali;lesSouvenirsetmémoires deJeanDanielColladonconstituent aussiuneprécieusesourced’informations.Enl’absencedematériauxvéritablement nouveaux (si l’on excepte une lettre de Sturm à Lejeune-Dirichlet), nous avons dû nous contenter d’une restructuration et d’une épuration des documents existants. La correspondance et les papiers de Sturm semblent avoir disparu corps et bien (voir toutefois l’article de Neuenschwander). On peut s’en étonner connaissant la profonde amitié qui le liait à Liouville, décédé un quart de siècle plus tard et qui entretenait les meilleures relations avec la sœur de Charles François.2 Voici à ce propos un passage de l’éloge funèbre prononcé par Liouville (Cité dans Prouhet): «Mais, bien qu’il y ait de quoi suffire à plus d’une réputation dans cet ensemble de découvertes solidement fondées et que le temps respectera, 1Lesréférencesfigurentdansla«Bibliographiedesbiographies». 2Loriadonnedeuxindications,maissansréférences: «Malheureusementdanslespapiersqu’ilalaissés,onn’apastrouvéletextecompletdeces mémoires,nimêmequelqueslignescapablesdecomblercettelacune(etcen’estpaslaseule)desa productionscientifique.»(p.262)Et(p.272)«... ilfautmentionnerunmémoiretrèsétendusur lacommunicationdelachaleurdansunesuitedevases;malheureusement,quoiquecemémoire fut complètement rédigé et prêt à envoyer à l’imprimerie, il n’a jamais vu le jour.» (Voir aussi l’articledeNeuenschwander). 2 Jean-Claude Pont et Isaac Benguigui les amis de notre confrère savent que Sturm est loin d’être là tout en- tier, même comme géomètre. Puissent les manuscrits si précieux que quelques-uns de nous ont entrevus se retrouver intacts entre les mains desafamille!Enlespubliant,ellenedéparerapasleschefs-d’œuvreque nous avons tant admirés.» La présente notice précède les œuvres complètes de Sturm, elles-mêmes ac- compagnées d’abondants commentaires historiques et techniques; il ne nous a dès lors pas paru nécessaire de proposer ici une biographie intellectuelle résumée.3 LesinformationssurlafamilledeCharlesFrançoisSturmsontmaigres.C’est son grand-père, d’origine strasbourgeoise, qui était venu s’établir à Genève, vrai- semblablementdanslamouvance«huguenote».4Lepère,«régentd’arithmétique», avait «beaucoup d’exactitude et de ponctualité, mais il n’avait pas de fortune», écrivait Jean Daniel Colladon, ami d’enfance et de toujours. La mère de Sturm se nommait Jeanne Louise Henriette Gremay. Lorsque Charles François Sturm naît, le 29 septembre 1803,5 Genève se débat pour conserver sa liberté dans la tour- mente napoléonienne et post-révolutionnaire. Elle relève alors du département du Léman et on est le 6 vendémiaire de l’an XII. Charles François est l’aîné d’une famille de quatre enfants. On imagine assez la difficulté de la vie dans sa famille. Des circonstances particulières, dont l’analyse est difficile, ont fait de la Ge- nève des XVIIIe et XIXe siècles un haut lieu de science. Selon Alphonse de Can- dolle, cité par Cléopâtre Montandon (p.51), la cité de Calvin a fourni, entre 1740 et1890,unetrentainedesavantsauxgrandesacadémies.LaSociétédePhysiqueet d’Histoirenaturelle,quiaétéfondéeen1790,regroupedessavantsdepremierplan et anime la vie scientifique genevoise; la Bibliothèque britannique,qu’elle publie et qui est son organe officiel, acquiert vite une grande réputation.6 3LesauteursquionttraitédesaspectsbiographiquesdeSturmsontlessuivants:MaximeBôcher, JeanDanielColladon,GinoLoria,ArthurMassé,EugèneProuhet,PierreSpeziali. Arthur Massé se proposait de raconter l’histoire des hommes célèbres qui ont donné leur nomàuneruedeGenève.L’histoiredeSturmrésuméeestreprisedansQuiétaient-ils?,dumême auteuren1906. 4Prouhetémetdeshypothèsessurl’existenced’ancêtrescélèbres,maissansaucuneindicationde source,assortiesdel’adverbe«probablement». 5Dans le Cours d’analyse est indiqué «6 vendémiaire an XII (22 septembre 1803)». Mais le 6 vendémiaire correspond en fait au 29 septembre. Un extrait de l’acte de naissance porte bien l’indicationdu6vendémiairedel’anXII. 6AlphonsedeCandolle(1806–1893),etàsasuiteCléopâtreMontandon,tententderendrecompte delaplaceextraordinairequiestfaiteàlascienceàGenèveàcetteépoque.Lacauseenrésiderait danslavaleursocialequelesmilieuxpatriciensattachentàla«quêtedelavérité»(Montandon, p.71)etdansleur«sensdudevoir»(p.74).Cesanalysesaccordentbiensûrunrôleàl’influence possibleduprotestantisme.Souslarubrique«L’analysedesfaits»(pp.123ff),deCandollemontre àl’évidencel’inexistencedesmilieuxcatholiquesdanslasciencedecetemps-là(«Nousrespirons pourtant tous, en Suisse, le même air.») D’une manière plus générale (p.122), «il devrait se trouversurleslistesd’associésoucorrespondantsdesprincipalesacadémiesunnombredecatho- liquesà peu près double de celui des protestants. C’estpresque l’opposé qui estarrivé.» Parmi lesargumentscurieuxquiméritentd’êtrenotés(pp.125–126),lecélibatdesprêtres,àpartirdu