Classification des algèbres de Lie, Systèmes de Pfaff, et méthode d’équivalence d’Élie Cartan : ouvertures conceptuelles et obstacles techniques Joël MERKER I. Philosophie des mathématiques (généralités) II. Groupes continus de transformation III. Classification des algèbres de Lie IV. Systèmes de Pfaff V. Repère mobile et courbure de Gauss VI. Méthode d’équivalence 1 2 «Les» Mathématiques : (participationshumainesvariées) Écoles, universités, exercices guidés, examens, etc. • Circulation, répétition, gymnastique, évaluation. Ministères, Universités, Irems, Iufms, etc. • Téléphonie, cryptographie, etc. • Histoire ancienne, moderne, institutionnelle, etc. • Épistémologie, philosophie. • Recherche, spécialisation, compétition. • combats, gesticulations, erreurs, découvertes, publications Questions : Qu’est-ceque«participer»auxmathématiques?A-t-onle devoirde(re)penserconceptuellement,dialectiquement,philosophique- mentethistoriquementcequ’ellesdéploient? La philosophie des mathématiques est-elle possible? Deux allégories élémentaires : Gymnastique impensable; technification du concept; méditation ab- • sorbée, assimilée, involuée; automatismes spéculatifs. Cerveau et combat; contingences du terrain; jungle; éloignement des • astres mathématiques; inexistence d’un seul grand cerveau unificateur et réorganisateur. 3 Positions, principes, objectifs Actes d’orientation. Goûts mathématiques, types de questions • impasses, échecs, rebondissements nouveaux intérêts mathématiques Écriture. Écrire pour (re)comprendre • Apparition et cristallisation de difficultés Permanence du provisoire Réécriture nécessitée par l’amélioration permanente Exigence de construction et de (re)structuration. • synthèses, «surveys», monographies unité (perdue?) des mathématique Souplesse spéculative et variation thématique. • Changer volontairement de sujet : adapter son travail d’enseignement à une conquête (sur un très long terme) de presque toutes les mathé- matiques contemporaines. Exemples de mémoires de maîtrise : Théorie des feuilletages, Classification de Darboux-Cartan des formes différen- tielles, Homologie singulière, Applications de la topologie algébrique à la physique mathématique, Unicité du tenseur d’Einstein, d’après Élie Cartan, Convergence des séries de Fourier, d’après Carleson-Hunt, 2 Théorèmedelacouronne,EstiméesL deHörmander,Classificationdes tissus d’après leur groupede Lie, Théorème de Kolmogorov, Théorie de Galois, etc. Recherche. jeu supérieur, réservoir de nouveauté indéfini • libération et développement grâce à la spécialisation Nul n’entre ici s’il n’est géomètre— —s’il ne participe pas un peu à la recherche 4 Typologie (incomplète) de questions ouvertes Généralisation. (simple ou subtile, prévue ou imprévue) • passage à plusieurs variables, combinatoire, etc. Synthèses entre sujets. Singularités et géométrie CR • Algèbres de Lie et équations aux dérivées partielles Hypoanalyticité et théorie de Cartan-Kähler Applications d’outils puissants. • petits diviseurs (Brjuno) et théorème de Poincaré-Dulac. Conditions nécessaires et suffisantes. T • ∗ ∗ Phénomène de Hartogs et problème de Levi. Résolution par radicaux des équations algébriques. Convergence ponctuelle presque partout des séries de Fourier Affaiblissement d’hypothèses. T • ∗ ∗ Définitions de la pseudoconvexité. Ouverture nouvelle et inattendue. T • ∗ ∗ Topologie symplectique (Arnol’d, Gromov). Conclusion. Existence, permanence, prégnance, et insistance d’«opérateurs élémentaires et reproductibles de questionnement». Ce qu’on dit de cet état de fait n’apporte (presque) rien quant à l’effectivité. Les questions simples et les désirs simples ne sont que des graines de possibles. Les difficultés conceptuelles et techniques sont innombrables. Ouvertured’unsujet:philosophiedesmathématiquescontemporaines comme dissertation générale. 5 II. Groupes continus de transformation Continuation de Gauss, Riemann, Christoffel. • Version continue de la théorie de Galois. • Résolution des équations différentielles. • Groupes continus de transformation. • Algèbres de Lie. • Potentialité géométrique et universalité. • Algèbre différentielle. • Systèmes différentiels extérieurs. • Classification des actions locales sur C2. • Actions primitives et actions imprimitives. • Paradoxe remarquable. • Cartan Gauss-Riemann Lie ≡ ⊕ 6 III. Algèbres de Lie Définition. K := R ou C. Une algèbredeLieg sur K est un K-espace vectoriel muni d’un crochet bilinéaire g g (X,Y ) [X,Y ] g × ∋ 7−→ ∈ qui satisfait : 0 = [X,Y ] + [Y,X] (antisymétrie) 0 = X,[Y,Z] + Z,[X,Y ] + Y,[Z,X] (Jacobi) on supposera : dimension finie : r := dim g < K (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) ∞ Constantes de structure : dans toute base (X ,X ,...,X ) de g, il 1 2 r existe Ck K ij ∈ k X ,X = C X . i j ij k 16k6r (cid:2) (cid:3) X L’antisymétrie se lit Ck = Ck, et l’identité de Jacobi ij ji − 0 = CmCl + CmCl + CmCl . 16l6r il jk kl ij jl ki DéfinPition. D(cid:0)eux algèbres de Lie g et g so(cid:1)nt isomorphess’il existe une ′ application linéaire inversible φ : g g qui respecte les crochets : ′ → φ [X,Y ] = φ(X),φ(Y ) . g g′ (cid:0) (cid:1) (cid:2) iso(cid:3)morphe «le même». ≡ Question. Comment reconnaître le «même et l’autre», puisque ce qui se présente comme un donné n’est jamais saisi immédia- tement, ni comme «le même», ni comme «un autre»? 7 Exemple. Soient g et g de dimension 5, de bases X ,X ,X ,X ,X ′ 1 2 3 4 5 et X ,X ,X ,X ,X ayant pour structure : 1′ 2′ 3′ 4′ 5′ (cid:8) (cid:9) [X ,X ] = X , [X ,X ] = cX , [X ,X ] = (c 1)X , (cid:8) 2 3 1 (cid:9) 1 5 1 2 5 2 − [X ,X ] = X + X , [X ,X ] = X 3 5 3 4 4 5 4 et [X ,X ] = X /2, [X ,X ] = X /2, [X ,X ] = X . 1′ 2′ 2′ 1′ 3′ 3′ 3′ 4′ 2′ − [X ,X ] = X X , [X ,X ] = X . 1′ 4′ 4′ 5′ 1′ 5′ 5′ − − − les crochets non écrits étant nuls. Existe-t-il des valeurs de c pour les- quels g g ? ′ ≃ Comparaison des centres et des nilradicaux; c = 0. • 6 Recherche d’un isomorphisme sous la forme : • φ(X ) = a X , 1 12 2′ φ(X ) = a X + a X + a X + a X , 2 22 2′ 23 3′ 24 4′ 25 5′ φ(X ) = a X + a X + a X + a X , 3 32 2′ 33 3′ 34 4′ 35 5′ φ(X ) = a X + a X , 4 42 2′ 45 5′ φ(X ) = a X . 5 51 1′ Idéal I K[a , d , d , d , d , c] engendré par : ij 1 2 3 4 ⊂ ca a a /2, ca a a , etc. 52 12 12 42 51 42 − − 17 variables, 16 équations; base de Gröbner; solution si et seulement • si c = 1/2. Sans normalisation : 27 variables, 46 équations. • Thèse. Poser des axiomes ou des définitions comme fondements d’ob- jets mathématiques implique des recherches spécifiques, centrales sur le plan historique et séduisantes sur le plan philosophique. Cependant,au-delàdesconceptsdebase,démonstrations,techniques, organisations, structurations et architectures rationnelles dominent les contenus. Les ouvertures sont intrinsèques au formalisme, mais il ne les capture (presque) jamais en totalité. Problème. Classifier les algèbres de Lie à isomorphisme près. Indéfini. • Ouvert. • Babélisé. (on y reviendra) • Démultiplication des tâches et des possibles : travailler sur un corps quelconque; (pas nous!) • 8 traiter les dimension 1, 2, 3, 4, ... ; • classifier les isomorphismes et les dérivations; • (re)construire des démonstrations architecturées; • contempler le caractère exponentiel de la progression en fonction de • la dimension. 9 Thèse. Danstoutproblèmed’équivalenceconcernantuntypebiendéfini d’objets algébrico-géométriques X, X , X , X ,... (pouvant être très ′ ′′ ′′′ divers), on doit, dans l’absolu : (i) élaborer des algorithmes qui testent l’équivalence entre deux tels ob- jets X et X donnés explicitement; ′ (ii) adapter les algorithmes au type de donation; (iii) classifier, i.e. établir une liste de toutes les formes possibles de X; (iv)comparer,amélioreretraffinerleslistesobtenuespardiversauteurs; (v) posséder des algorithmes efficients pour déterminer à coup sûr la place d’un X donné dans sa liste. Incomplétude Petitesse Insatisfaction Remarque. Chacun de ces objectifs correspond à une problématique quel’onpeutexprimerendestermes“philosophiques”et“conceptuels”. Question. S’agirait-il d’une paraphrase? 10 Observations Thèse. L’écriture du matériau mathématique (dans les monographies et dans les articles de synthèse) doit respecter des tensions dialectiques universelles qui sont antérieures à toute réalisation technique. Exemple : Sophus Lie affirmant l’importance d’une classification com- plète des actions locales de groupes continus de transformation. réalisation ultérieure dans toutes les géométries possibles. ⇒ Constatation : Or, (presque) aucune monographie contemporaine de géométrie différentielle ou de théorie des représentations n’architecture son discours rationnellement et systématiquement. Les classifications, lorsqu’elles apparaissent, ne sont (presque) jamais présentées dans leur dialectique intrinsèque. L’ouverture ment par omission. Les orientations les plus simples sont occultées. L’effort formel épuise. le penseur ⇒ doit (presque) tout reconstituer. chacun est invité à (re)construire sa (une) maison ⇒ Pensée «apparaissante» et «disparaissante». • Formulation implicite des questions ouvertes. • Exigence de systématicité perdue. •