Classification des algèbres de Lie sous-riemanniennes et intégrabilité des équations géodésiques associées. Khaled Dahamna To cite this version: Khaled Dahamna. Classification des algèbres de Lie sous-riemanniennes et intégrabilité des équations géodésiques associées.. Mathématiques générales [math.GM]. INSA de Rouen, 2011. Français. ￿NNT: 2011ISAM0012￿. ￿tel-00769931￿ HAL Id: tel-00769931 https://theses.hal.science/tel-00769931 Submitted on 4 Jan 2013 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. TH¨SE en vue de l’obtention du titre de Docteur de l’Institut National des Sciences AppliquØes de Rouen Discipline: MathØmatiques appliquØes SpØcialitØ : GØomØtrie et contr(cid:244)le optimal prØsentØe par Khaled Dahamna Sujet : Classification des algŁbres de Lie sous-riemanniennes et intØgrabilitØ des Øquations gØodØsiques associØes. Soutenue le 23 septembre 2011 Composition du Jury : Jean-Paul Gauthier Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Toulon, rapporteur Emmanuel TrØlat Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Paris 6, rapporteur Erik Lenglart Professeur (cid:224) l’INSA de Rouen, examinateur Andrzej Maciejewski Professeur (cid:224) l’UniversitØ de Zielona Gora (Pologne), examinateur Witold Respondek Professeur (cid:224) l’INSA de Rouen, directeur de thŁse Rachida El Assoudi Ma(cid:238)tre de confØrences (cid:224) l’INSA de Rouen, co-encadrante ThŁse prØparØe (cid:224) l’INSA de Rouen Laboratoire de MathØmatiques de l’INSA, EA 3226. 2 Remerciements Je souhaite en premier lieu remercier de maniŁre trŁs chaleureuse mes res- ponsables de thŁse, (cid:224) savoir Rachida El Assoudi et Witold Respondek qui sont (cid:224) l’origine de ce travail. C’est un honneur pour moi d’avoir pu travailler en leur compagnie et je n’ai pu qu’admirer leurs talents dans bien des domaines. Ils ont dirigØ ma thŁse de doctorat avec beaucoup de patience et ont consacrØ beaucoup de temps (cid:224) mon travail en Øtant toujours trŁs disponibles, ce qui m’encouragea ØnormØment. Je les remercie Øgalement pour avoir lu et corrigØ trŁs sØrieusement la version (cid:28)nale de mes travaux de recherche; en e(cid:27)et, leurs remarques et correc- tions ont donnØ beaucoup plus de clartØ aux rØsultats de ce mØmoire. Par ailleurs, je remercie les professeurs Jean-Paul Gauthier et Emmanuel TrØ- lat, qui m’ont fait l’honneur d’accepter de rapporter mon mØmoire de thŁse de doctorat et de m’apporter des propositions de corrections. Je remercie Øgalement les professeurs Erik Lenglart et Andrzej Maciejewski de m’avoir fait l’honneur d’Œtre examinateurs. J’adresse mes remerciements (cid:224) tous ceux qui m’ont entourØ, permanents ou doctorants du LMI pour les bons moments partagØs ensemble. En particulier, je tiens (cid:224) saluer Mohamed, Lamia, Benoit, Yi-shuai, Shunjie-Li, Mamadou, Omar, Sandra et tous ceux avec qui j’ai partagØ mes annØes de doctorat. Je remercie Øgalement mon Øpouse Myriam, pour m’avoir beaucoup aidØ du- rant cette thŁse de doctorat et dont le soutien m’a ØtØ plus qu’important pendant ces annØes de doctorat au LMI. En(cid:28)n, je voudrais dØdier cette thŁse (cid:224) mon dØfunt pŁre qui me manque Ønor- mement et pour lequel j’ai toujours une pensØe. Il a ØtØ le premier (cid:224) m’encourager (cid:224) aller si loin dans les Øtudes et m’a inculquØ le goßt du travail et de la rigueur. 3 4 Table des matiŁres Remerciements 3 Introduction 9 1 PrØliminaires 17 1.1 VariØtØ sous-riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Principe du maximum de Pontryagin et gØodØsiques . . . . . . . . . 22 1.3 Groupes et algŁbres de Lie sous-riemanniens . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Le principe du maximum de Pontryagin sur les groupes de Lie 28 1.3.2 SystŁme adjoint de Lie-Poisson et gØodØsiques . . . . . . . . 30 2 Classi(cid:28)cation des algŁbres de Lie sous-riemanniennes nilpotentes d’ordre 2 33 2.1 AlgŁbres de Lie nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 AlgŁbres de Lie sous-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Classi(cid:28)cation des SR-algŁbres de Lie telles que dimD(g) = 1 . . . . 39 2.4 Classi(cid:28)cation des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 . . . . . 42 2.4.1 Classi(cid:28)cation des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 de dimension n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2 Classi(cid:28)cation des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 de dimension n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.3 Classi(cid:28)cation des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 de dimension n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Preuves des ThØorŁmes en dimension 6 et 7 . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.1 Preuve du ThØorŁme 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.2 Preuve du ThØorŁme 2.22 et de la SR-invariance des para- mŁtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5.3 Preuve du ThØorŁme 2.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 2.5.4 Preuve du ThØorŁme 2.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Preuves des lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6.1 Preuve du Lemme 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6.2 Preuve du Lemme 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7 SR-algŁbres de Lie de contact et de quasi-contact . . . . . . . . . . 72 2.8 Groupe des symØtries in(cid:28)nitØsimales sous-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 GØodØsiques associØes (cid:224) des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 83 3.1 IntØgrales premiŁres et intØgrabilitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.1.1 IntØgrabilitØ d’un systŁme linØaire autonome . . . . . . . . . 87 3.1.2 IntØgrabilitØ d’un systŁme hamiltonien . . . . . . . . . . . . 94 3.2 SystŁme hamiltonien sous-riemannien . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.3 (cid:201)quation adjointe pour des SR-algŁbres de Lie nilpotentes d’ordre 2 et sa rØsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4 IntØgrabilitØ des Øquations adjointes associØes aux modŁles g (n,c,d) pour n 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ≤ 3.4.1 (cid:201)tude du cas n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4.2 (cid:201)tude du cas n = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.4.3 (cid:201)tude du cas n = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 IntØgrabilitØ des Øquations adjointes associØes (cid:224) (g,p, ) lorsque B dimD(g) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.6 GØodØsiques sur des groupes de Lie nilpotents d’ordre 2 . . . . . . . 124 3.6.1 IntØgrabilitØ du systŁme hamiltonien sur un modŁle de Rn. . 124 3.6.2 ModŁle matriciel d’une SR-algŁbre de Lie de Heisenberg . . 131 3.6.3 ModŁle matriciel pour g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 (n,c,d) 4 IntØgrabilitØ des Øquations adjointes associØes (cid:224) so(4) et (cid:224) so(2,2).137 4.1 SR-algŁbre de Lie involutive de contact . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 SR-algŁbres de Lie so(4) et so(2,2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2.1 MØtrique ad invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 k 4.2.2 Preuve du ThØorŁme 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3 SystŁme adjoint et intØgrales premiŁres pour so(4). . . . . . . . . . 144 4.3.1 Le cas λ = µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.3.2 Le cas λ = µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6 4.3.3 Preuve du ThØorŁme 4.15(i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6 4.3.4 Fonction elliptique de Weierstrass et preuve du ThØorŁme 4.15(ii). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.3.5 MØthode de Ferrari pour obtenir une racine x . . . . . . . . 157 r 4.3.6 Preuve du ThØorŁme 4.15(iii). . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Annexe du Chapitre 3 163 Preuve du Lemme 3.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 ˙ Liste complŁte des intØgrales premiŁres d’un systŁme P(t) = AP(t) avec P R4 et A matrice antisymØtrique non nulle (cid:224) coe(cid:30)cients rØels ∈ constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Conclusions 175 RØfØrences 179 7 8 Introduction La gØomØtrie sous-riemannienne a pour objet l’Øtude d’un triplet (M, ,B) D (dite une variØtØ sous-riemannienne), oø M est une variØtØ di(cid:27)Ørentiable rØelle de dimension n et de classe C , est une distribution sur M de classe C et B ∞ ∞ D est une forme bilinØaire dØ(cid:28)nissant un produit scalaire dans chaque , q M. q D ∈ On considŁre une courbe horizontale γ : [0,T] M telle que γ˙(t) presque γ(t) → ∈ D partout. Si l’algŁbre de Lie engendrØe par les sections de satisfait (q) = T M, q G D G pour tout q M, alors on peut joindre n’importe quels deux points q et q de 0 1 ∈ M par une courbe horizontale (thØorŁme de Rashevsky et Chow). En gØomØtrie sous-riemannienne, on explore la nature de M en suivant seulement les courbes horizontales, en particulier la distance sous-riemmannienne qui est dØ(cid:28)nie comme l’in(cid:28)nimum des longueurs (mesurØe (cid:224) l’aide de B) des courbes horizontales en joi- gnant des points donnØs. L’Øtude systØmatique de la gØomØtrie sous-riemannienne a ØtØ introduite par de cØlŁbres mathØmaticiens tels que Strichartz dans [86], [87] oø il a introduit ce concept d’une maniŁre trŁs gØnØrale, ou par Vershik et Gershkovich dans [90] oø ils Øtudient la gØomØtrie sous-riemannienne et ses relations avec la dynamique non holonome, ou par Gromov qui a developpØ l’approche basØe sur les espaces mØ- triques dans [46]. Il est aussi important de signaler que les ouvrages, respectifs, de Bellaiche et Risler [13], Montgomery [67] et de Calin et Chang [24], constituent des rØfØrences fondamentales dans l’Øtude de la gØomØtrie sous-riemannienne. L’importancedelagØomØtriesous-riemannienneprovientessentiellementdeses applications riches et multiples, citons quelques une des plus importantes : l’ap- proche gØomØtrique (cid:224) la thermodynamique par CarathØodory (voir Boyling [21], Hermann [48] et Flankel [33]) peut Œtre considØrØe comme le dØbut de la gØomØ- trie sous-riemannienne (thØorŁme de Chow [25], obtenu aussi indØpendamment par Rashewsky [76]); la thØorie des opØrateurs hypoelliptiques sur des groupes de Lie 9