C hissà c h i lo sa I Quiz dell'esame di Geometria Jorge Raul Cordovez CLVT Indice 1 Scaldarsi le mani (simulazione) 5 2 Prova Scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 15 3 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 25 4 Prova scritta del 27 Giugno 2011 - 2 ore 35 5 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 45 6 Prova scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 55 7 Prova Scritta del 15 Luglio 2011 - 2 ore 65 8 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 75 9 Prova Scritta del 13 Settembre 2011 - 2 ore 85 10 Prova Scritta del 3 Febbraio 2012 - 2 Ore 95 11 Prova Scritta del 27 Febbraio 2012 - 2 ore 99 12 Prova Scritta del 14 Giugno 2010 - 2 ore 107 3 1 Scaldarsi le mani (simulazione) Prima Parte (Quiz) Ql. Nello spazio siano dati il piano a: x + y — z = le la retta ( x = t r : < y = 2t [ z = 3t. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) r C a. (b) Esiste un piano (3 contenente r e parallelo a a. (c) r interseca a. (d) r ed a sono perpendicolari. Q2. Nello spazio sia data la quadrica «2 di equazione x2 + 2 y2 + 4z = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) cS è un cilindro. (b) Jèu n cono. (c) £1 ha punti in comune con il piano di equazione z = 1. (d) «2 è un paraboloide. Q3. Si consideri l'applicazione lineare / : R3 —> R3 definita da f(x, y,z) = (y -z ,z -x ,x - y). 5 6 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) / è iniettiva. (b) L'immagine Im(/) ha dimensione 2. (c) / è suriettiva. (d) Il nucleo ker(/) ha dimensione 2. Q4. Nello spazio sia data la curva ^ di equazione P(t) = (e* + l,0,2f) Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) ^ non è regolare; (b) La retta tangente a fé7 nel punto (2,0,0) è parallela a T+ 2k. (c) ^ ha vettore tangente nullo in almeno un punto. (d) fé7 non è piana. Q5. Siano dati i vettori applicati u = i — j + 3/c, v = j — 2 fc, = 3?— 6J— 3/c. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) il, iT, sono complanari. w (b) w è parallelo a v. (c) uew formano un angolo acuto. (d) w è parallelo ad u x v (x indica il prodotto vettoriale). Q6. Sia data la funzione di due variabili reali f(x,y) = x3 + y3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) V/(l, 1) = (3,3). (b) / non è derivabile nell'origine. (d) Il punto (1,1,1) appartiene al grafico di /. Q7. Nello spazio sia data la sfera S* di equazione £2 + y2 + z2 + 4x + 2y + 2z = 0. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il centro di 5? è (2,1,1). 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 7 (b) Il centro di 5? ha distanza 1 dal punto (0,0, —2). (C) S? è tangente al piano z — 0. (d) (0,0,-2) <E SP. Q8. Siano date le matrici ^ y ¿ = ( 1 —2 1 ), b = i Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) rk(£A) = 2. (b) BA è invertibile. (c) rk(BA) = 1. (d) BA non ha autovalori in R. Q9. In R4 si considerino i vettori a = (3, -1,2,0), b = (3,0,1, —1) e c = (0, - 2,2,2). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) dim(«5f(a, ò, c)) = 3. Ob) dim(jS?(a,6,c)) = 2. (c) a — b + 5c 0 SS (a, b). (d) Esiste de R4 tale che (a, 6, c, d) sia una base di R4. Q10. Siano A e Rn n e B e Rn l. Supponiamo che il sistema AX = B sia non omogeneo e abbia almeno due soluzioni distinte Xi,X2 G Rn l. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il sistema AX = B ha infinite soluzioni. (b) La matrice A è invertibile. (c) Il sistema AX = B non ha altre soluzioni. (d) Xi — X2 è soluzione del sistema AX = B. Qll. Sia V un sottospazio di R3. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Esiste un sottospazio W C R3 tale che dim(y + W) = dim(W). (b) Se dim(y) = 2, esiste un sottospazio W C R3 con dim(W) = 2 tale che V D W contenga un solo vettore. (c) Esiste un sottospazio W C R3 tale che V fi W sia vuoto. (d) Per ogni sottospazio W C R3 l'insieme V fi W contiene infiniti vettori. 8 1 Scaldarsi le mani (simulazione) - Q12. Sia data una matrice simmetrica A e R3,3 avente -t(t - 1 )(t - 2) come polinomio caratteristico. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) 3 è autovalore di A. (b) Esiste P e R3,3 tale che det(PA) = 1. (c) A è diagonalizzabile. (d) A è definita positiva. Soluzione dei QUIZ Ql. (a) E' falsa perché t + 2t — 3t = 0 ^ 1. (b) E' corretta. Basta considerare il fascio di piani & : (-2À — 3 fi)x 4- Xy + \iz = 0 che contiene la retta r con X = l e fi = (c) E' falsa. Infatti £ + 2£-3£ = l=>0 = lè assurdo. (d) E' falsa perché (1,2,3) non è proporzionale con (1,1, —1) Q2. (a) E' falsa, in quanto l'equazione di £ non ha nessuna variabile libera. (b) E' falsa, in quanto l'equazione di «=2 non è omogenea. (c) E' falsa. L'intersezione di £ col piano z = 1 non ha punti reali. (d) E' corretta. Infatti tagliando =2 ad esempio con i piani x = k, si ottengono delle parabole. (Più precisamente è un paraboloide ellittico.) Q3. La matrice associata all'applicazione lineare / è : che ha rango 2. Per il teorema della dimensione si ha dimKer (/) = dimR3 - rk(Mf). (a) E' falsa, infatti dimKer (/) ^ 0. (b) E' corretta, infatti dimlm(/) = rk(M/) = 2. (c) E' falsa in quanto dimlm(/) ^ 3. (d) E' falsa, infatti dimKer (/) = 1. Q4. Il punto (2,0,0) si ottiene con t = 0. Inoltre P'(t) = (a) E' falsa. Chiaramente la curva fé7 è regolare, infatti non solo ^ è una funzione iniettiva, di classe C°° ma / 0, per ogni t. 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 9 (b) E' corretta, infatti P'(0) = (c) E' falsa, infatti P'(t) non si annulla per nessun valore t. (d) E' falsa, infatti giace nel piano y = 0. Q5. (a) E' falsa. Si ricordi che il prodotto misto fra tre vettori non è nullo se solo se essi non sono complanari. Si ha (b) E' falsa perché i vettori (0,1, - 2) e (3, —6, -3) non sono proporzionali. (c) E' falsa perché il prodotto scalare < (1, - 1,3), (3, - 6, -3) > è zero e i vettori sono perpendicolari. (d) E' corretta. Infatti che risulta essere proporzionale a w. Q6. (a) E' corretta. Infatti, (b) E' falsa perché esistono tutte le derivate parziali di / in (0,0). (c) E' falsa in quanto d2f d2f w =6y- (d) E' falsa perché 1 + 1^1. Q7. L'equazione della sfera 5? la possiamo rappresentare nella forma: (x + 2)2 + (y + l)2 + (z + l)2 = 6 (a) E' falsa. Infatti il centro è C(—2, —1, - 1) (b) E' falsa perché d(C, (0,0, - 2)) = \/4+ 1 + 1 = V6. (c) E' falsa perché d(C, w) = 1 ^ \/6, dove V6 è il raggio di y . 10 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) (d) E' corretta. Basta sostituire le coordinate nell'equazione di y . Q8. Si ha B A = 1 V (1 -2 (a) E' falsa. Infatti rk(A) = 1. (b) E' falsa perché rk(^l) ^ 3. (c) E' corretta. Lo si vede direttamente del prodotto. (d) E' falsa. Siccome B A è singolare allora ammette lo zero come autovalore. Q9. Si consideri la matrice A delle componenti dei vettori. Si fanno alcune trasforma­ zioni elementari /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ /3 -1 2 0\ A= 3 0 1 - 1 - 0 1 -1 -1 ~ 0 1 - 1 - 1 \0 -2 2 2/ \0 -2 2 2/ \0 0 0 0/ (a) E' falsa. Infatti i vettori riga sono dipendenti. (b) E' corretta. Infatti rk(A) = 2. (c) E' falsa perché a - b + 5c = (0, —11,11,11) = —11(0,1, -1, -1). (d) E' falsa perché (a, 6, c) sono dipendenti. Q10. Si usa il teorema di Rouchè-Capelli. (a) E' corretta. Il sistema se è compatibile ha soluzione unica, oppure ha infinite soluzioni. (b) E' falsa. L'invertibilità di A implica soluzione unica per il sistema. (c) E' falsa. Se la soluzione non è unica, allora il sistema ha infinite soluzioni. (d) E' falsa perché il sistema non è omogeneo. Qll. Si ricorda la formula di Grassmann: dim(V + W) = dim(F) + dim(W^) - dim{V n W) (a) E' corretta. Basta considerare W = V. (b) E' falsa. Si supponga dim W = 2 e si avrebbe che dim(Vr D W) > 1. (c) E' falsa perché V D W contiene almeno il vettore nullo. (d) E' falsa. Basta considerare W = {(0,0,0)}. Q12. (a) E' falsa in quanto 3 non è radice del polinomio caratteristico. 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) 11 (b) E' falsa. Usando la Formula di Binet, si ha che det(PA) = det P • det A = 1. Ma siccome A è una matrice singolare, det A = 0 . (c) E' corretta. Infatti il polinomio caratteristico di A ha tre radici reali distinte. (d) E' falsa perché ammette lo zero come autovalore. 12 1 - Scaldarsi le mani (simulazione) Seconda Parte (Esercizi) Esercizio 1. Sia data l'applicazione lineare / : R3 -> R3 definita da f (<2,ò, c) = (ci + ò, 26, — ci -4- b -f- 2c). (i) Determinare la matrice A e R3,3 di / rispetto alla base canonica di R3. (ii) Verificare che A è invertibile. (iii) Determinare gli autovalori di A. (iv) Determinare gli autospazi di A. (v) Determinare D,P e R3,3, con D diagonale e P invertibile, tali che P~XAP = D. Svolgimento dell'esercizio 1. (i) La matrice associata all'applicazione lineare / rispetto alla base canonica è : A = M j'^ = | 1 2 0 (ii) Siccome det A = 4(^ 0), allora A è invertibile. (iii) Gli autovalori di A sono le radici del polinomio caratteristico: 1 - t 1 0 Pa(ì) = det (A — ti) = 0 2 - t 0 -1 1 2 - t Gli autovalori di A sono: Ài = 1 con moltiplicità 1 e À2 = 2 con moltiplicità 2. (iv) Gli autospazi di A sono Va( 1) = Jif((l,0,1)) e Va(2) = -£?((1,1,0),(0,0,1)). (v) Le matrice Z>, P tale che P~lAP = D, sono: (1 0 0\ / I l 0' D= 0 2 0 , P= 0 10 \0 0 2/ \1 0 1 Esercizio 2. Sia data la funzione f(x,y) = (x - l)(x2 - y2). (i) Calcolare /(—1,1). (ii) Determinare gli eventuali punti di massimo, di minimo e di sella della funzione di /• Nello spazio si consideri la superficie S di equazione z = (x - l)(x2 — y2). (iii) Calcolare un versore normale fi a <S nel punto di coordinate (0, - 1,1). (iv) Scrivere le equazioni parametriche di una retta contenuta nel piano tangente a S nel punto di coordinate (0, —1,1).