Carlos Ivorra Castillo TEORÍA ANALÍTICA DE NÚMEROS ¿Por qué los números son hermosos? Es como preguntarporquélanovenasinfoníadeBeethovenes hermosa. Sinovesporqué,nadiepuedeexplicártelo. Yo sé que los números son hermosos. Si no lo son, nada lo es. Paul Erdős Índice General Introducción vii Capítulo I: Pruebas de trascendencia 1 1.1 El teorema de Lindemann-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 El teorema de las seis exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 El teorema de Gelfond-Schneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Capítulo II: Funciones aritméticas 21 2.1 El álgebra de las funciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Cálculo de órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Capítulo III: La distribución de los números primos 51 3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Las funciones de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Los teoremas de Mertens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Consecuencias del teorema de los números primos . . . . . . . . . 62 3.5 Series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.6 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.7 Prueba del teorema de los números primos . . . . . . . . . . . . . 87 3.8 Más sobre primos en progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . 94 3.9 Apéndice: Caracteres modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Capítulo IV: La función dseta de Riemann I 101 4.1 Aproximación de la función dseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 El crecimiento de la función dseta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3 La función xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 La fórmula de Riemann-von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . . 127 Capítulo V: La función dseta y los números primos 143 5.1 Fórmulas explícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.2 Estimación del error en el teorema de los números primos . . . . 156 5.3 Regiones sin ceros y el error en el teorema de los números primos 167 5.4 Diferencias entre primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.5 Orden de crecimiento y localización de ceros . . . . . . . . . . . . 179 v vi ÍNDICE GENERAL Capítulo VI: La función dseta de Riemann II 185 6.1 La ecuación funcional aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.2 El método de Hardy-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.3 El teorema de Ingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Capítulo VII: El método de Vinogradov 235 7.1 La conjetura de Vinogradov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.2 El teorema del valor medio de Vinogradov . . . . . . . . . . . . . 241 7.3 Aplicación a la función dseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Capítulo VIII: Números compuestos 267 8.1 Números altamente compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.2 Números altamente compuestos superiores . . . . . . . . . . . . . 273 8.3 Números abundantes y superabundantes . . . . . . . . . . . . . . 277 8.4 Números colosalmente abundantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Índice de Materias 287 Introducción La teoría de números surge con el estudio de las propiedades aritméticas de los números naturales. Sin embargo, sucede que muchas de esas propieda- des requieren para ser demostradas —o incluso a veces, para ser entendidas— técnicas y conceptos matemáticos sofisticados, que requieren adentrarse en las ramasmásabstractasdelamatemáticayqueconducenaresultadosenlosquea menudoes difícil—sinoimposible—reconocerhechossobrenúmeros naturales que puedan haberlos motivado. Porelloexisteunatradicióndedistinguirentrelateoríadenúmeroselemen- tal (que no emplea más que técnicas aritméticas sencillas), la teoría algebraica de números (que emplea técnicas algebraicas más o menos sofisticadas) y la teoría analítica de números (que emplea técnicas del análisis matemático). Sin embargo,lasfronterasentreellassondifusas,yaquehaymuchosresultadosque requierensimultáneamente técnicasalgebraicas yanalíticas, eincluso dentrode la teoría analítica de números se suele distinguir entre resultados que sólo re- quieren de técnicas elementales del análisis real (límites, derivadas, etc.) y las que requieren de la teoría de funciones de variable compleja, cuya conexión con los números naturales es, en principio, más lejana. Así, en mis libros de Introducción a la teoría algebraica de números [ITAl] e Introducción a la teoría analítica de números [ITAn] probamos resultados a menudo no triviales usando un bagaje teórico minimalista (algebraico y analí- tico, respectivamente) y, del mismo modo que en mi libro de Teoría algebraica de números hemos avanzado en dicha teoría aprovechando la teoría algebraica de mi libro de Álgebra [Al] y la teoría analítica de mis libros de Introducción al cálculo diferencial [IC] y Análisis matemático [An], aquí vamos a avanzar en el estudio de la teoría analítica de números aprovechando, además de los conteni- dos de estos libros, algunos resultados más profundos de mi libro de Funciones de variable compleja [VC]. Ocasionalmente usaremos algún resultado de [TAl]. Insistimos en que las fronteras entre la teoría algebraica y la analítica son difusas. Por ejemplo, en el primer capítulo de este libro combinaremos técni- cas algebraicas y analíticas para obtener varias pruebas de trascendencia, es decir, resultados que aseguran que determinados números reales son trascen- √ dentes. Podríamos decir que la afirmación “2 2 es trascendente” es algebraica (en cuanto que la trascendencia es una propiedad algebraica), pero sucede que la demostración combina técnicas algebraicas y analíticas. vii viii Introducción A título orientativo (sin ánimo de ser rigurosos) podríamos decir que los resultados algebraicos sobre números naturales suelen tratarlos “de forma indi- vidualizada”. Porejemplo,laleydereciprocidadcuadráticadeGauss[ITAl7.1] es un resultado aplicable a cada par de primos impares individuales. Esto con- trasta con afirmaciones como la siguiente: La proporción de números libres de cuadrados menores o iguales que un número dado N es aproximadamente 6/π2 ≈0.6, y la estimación es más exacta cuanto mayor es N. Esta afirmación habla sobre los números libres de cuadrados, pero no dice nadasobreningunodeellosenparticular. Losresultadosanalíticosquevamosa obtener en este libro comparten mayoritariamente esta naturaleza “estadística”. Vamos a desarrollar esta idea comentando algunos de los resultados de los que nos vamos a ocupar en los capítulos siguientes. Empezamosconsiderandounresultadoqueyademostramostantoen[ITAn] como en [TAl], a saber, el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas: En toda progresión aritmética mx + n, donde m y n son enteros primos entre sí, hay infinitos números primos. Setratadeunenunciadopuramentealgebraico—yconmuchasrepercusiones enlateoríaalgebraicadenúmeros,comohemospuestodemanifiestoen[ITAl]—, pero con esa componente “global” típicamente analítica y que coincide con el hechodequenoseconoceningunademostraciónpuramentealgebraica. En3.27 veremos cómo Euler usó la fórmula [ITAn 8.25] ∞ (cid:88) 1 (cid:89) 1 = , ns 1− 1 n=1 p ps donde p recorre los números primos, para deducir que la serie (cid:88)1 p p de los inversos de los primos es divergente, lo cual implica en particular que existen infinitos números primos. Obviamente, hay formas mucho más simples de llegar a esta conclusión, pero el interés del razonamiento de Euler es que es generalizable, y fue precisamente generalizando su argumento como Dirichlet llegó a la prueba del teorema que hoy lleva su nombre. Cuando Kummer descubrió que los anillos de enteros ciclotómicos tienen factorizaciónúnicaideal,Dirichletdecidióestudiarelanálogoalafuncióndseta de Riemann para los enteros ciclotómicos de orden m, a saber, la función (cid:88) 1 ζ (s)= , m N(a)s a donde a recorre los ideales no nulos del anillo de los enteros ciclotómicos. ix En[TAl4.1]hemosestudiadoestasseriesparacuerposnuméricosarbitrarios. La factorización única ideal implica trivialmente una fórmula análoga a la de Euler: (cid:88) 1 (cid:89) 1 = , N(a)s 1− 1 a p N(p)s donde p recorre los primos ciclotómicos (ideales). En su estudio de la función dseta ciclotómica, Dirichlet descubrió lo que hoy se conoce como “caracteres de Dirichlet” [ITAn7.19]ylas“funcionesLdeDirichlet” [ITAn8.33],quesonseries de Dirichlet “ordinarias” de la forma ∞ (cid:88) χ(n) (cid:89) 1 L(s,χ)= = , ns 1− χ(p) n=1 p ps donde χ es un carácter de Dirichlet, y demostró [TAl 4.26] que la función dseta del cuerpo ciclotómico factoriza como (cid:89) ζ (s)= L(s,χ), m χ donde χ recorre los φ(m) caracteres módulo m. EsfácilprobarquelasfuncionesL(s,χ)seextiendenafuncionesholomorfas en el semiplano Res>0 salvo si χ=1 es el carácter principal, en cuyo caso la extensiónexisteigualmente,perolafunciónL(s,1)tieneunpolosimpleens=1. Por lo tanto, la función ζ (s) es holomorfa en dicho semiplano salvo quizá en m s=1. Decimos “quizá” porque en principio el polo de L(s,1) podría cancelarse si alguna de las demás funciones L cumpliera L(1,χ) = 0. Precisamente, el puntocrucialdelapruebaesdemostrarqueestonosucede, esdecir, quesiχes uncarácternoprincipal, entoncesL(1,χ)(cid:54)=0. Unavezgarantizadoestepunto, el resto de la prueba es una adaptación sencilla del argumento original de Euler sobre la divergencia de la serie de los inversos de los primos. Dirichlet demostró que la función ζ (s) tiene ciertamente un polo en s=1 m usando la aritmética ideal del cuerpo ciclotómico m-simo (teorema [TAl 4.8]). Esto lo probamos en [TAl 4.8] y es el núcleo de la demostración del teorema de Dirichlet dada en [TAl 4.28], mientras que en [ITAn 7.24] dimos una prueba “elemental”, en el sentido de que no usa ningún resultado sobre funciones de variable compleja ni mucho menos de la teoría algebraica de números. Enlasección3.6veremosunapruebaintermedia,queesmuchomássimpley conceptual que la dada en [ITAn] porque usa la teoría de funciones holomorfas, y también mucho más simple que la dada en [TAl] porque evita completamente lateoríaalgebraicadenúmeros. Paraquequedeclaroqueesasí,hemosincluido en un apéndice al final del capítulo III los pocos resultados (elementales) sobre caracteres de Dirichlet que usamos en la prueba, aunque todos ellos están pro- bados en [ITAn] y generalizados a grupos arbitrarios en mi libro de Teoría de grupos[TG].Lapruebade[ITAn]surgeasuvezdedespojarlapruebaquevere- mosaquídetodareferenciaalateoríadefuncionesholomorfas, locualrequiere de bastante ingenio. x Introducción Más concretamente, en la demostración que veremos en la sección 3.6 toma- remos el producto precedente de funciones L como definición1 de ζ (s), con lo m queeliminamosderaíztodaalusiónaloscuerposciclotómicosysufactorización ideal. El estudio de los números primos es uno de los temas fundamentales de la teoríadenúmeros(tantoalgebraicacomoanalítica). Laleydereciprocidadcua- drática, que hemos mencionado antes, es un ejemplo de la clase de afirmaciones que el álgebra puede probar sobre los números primos (aunque también exis- ten demostraciones analíticas). El análisis matemático, por su parte, permite obtener muchos resultados que ponen en evidencia las regularidades ocultas en la apariencia caótica de la distribución de los números primos en el seno de los números naturales. El teorema de Dirichlet es un buen ejemplo de ello, al igual que el postulado de Bertrand o los teoremas de Mertens demostrados también en el capítulo VI de [ITAl], pero hay otro mucho más famoso, que vamos a discutir a continuación. Llamaremos {p }∞ a la sucesión de los números primos o, dicho con otras n n=1 palabras, llamamos p al primo n-simo. Sus primeros términos son: n 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,... Setratadeunasucesiónmuyirregular,enelsentidodequenohayformade predecirexactamentecuándo,alirenumerandolosnúmerosnaturales,“aparece” elsiguienteprimo. Puedeocurrirquep =p +2ypuedeocurrirquehayaque n+1 n recorrer bastantes números naturales a partir de p hasta que aparezca p . n n+1 La gráfica muestra la sucesión p −p , y en ella vemos que abundan más n+1 n las distancias cortas, pero que de vez en cuando se dan también distancias más largas. 1En realidad hay una discrepancia entre esta ζm(s) y la función ζK(s) considerada en [TAl], y es que en [TAl 4.23] la función L(s,χ) se define sustituyendo χ por el carácter primitivoχ0queloinduce,yesohacequelafunciónL(s,χ)de[TAl]difieradelaqueestamos considerando aquí en un número finito de factores (cid:16)1− χ0(p)(cid:17)−1, para primos p | m, que ps apareceneneldesarrolloenproductodeEulercuandoseempleaχ0yvalen1ennuestrocaso, perodichosfactoresdeterminanunafunciónenteraquenotienenicerosnipolos,porloque sonirrelevantesenlaprueba,yeliminarlosesunasimplificaciónmásdelargumento.