C A L C U L U S C A L C U L U S M . S P I V A K 3a E D I C I Ó N (4a E D I C I Ó N O R I G I N A L ) www.FreeLibros.org EDITORIAL REVERTÉ Barcelona • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • México Registro bibliográfico (ISBD) Spivak, M ich ael [Calculus. Español] Calculus / Michael Spivak ; versión española traducida por José María Oller Sala y Luis Serra Camó. - 3a ed. - Barcelona : Reverté, 2012, 2014. XIV, 680 p .: il.; 25 cm. Traducción de: Calulus, 4a ed. — Indice. DL B. 19524-2012. - ISBN 978-84-291-5182-4 1. Análisis matemático - Cálculo. I. Oller Sala, José María, trad. II. Serra Camó, Luis, trad. III. Título. 517 Título de la obra original: Calculus. Fourth Edition Edición original en lengua inglesa publicada por: Publish or Perish, Inc. PMB 377, 1302 Waugh Drive, Houston, Texas 77019. U.S.A. Copyright © 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivak. All Rights Reserved Tercera edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2012, 2014 ISBN: 978-84-291-5182-4 Reim presión 2014 Versión española traducida por: José María Oller Sala Catedrático de Estadística de la Universidad de Barcelona y Luis Serra Camó Catedrático de Genética. Profesor Emérito de la Universidad de Barcelona Corrección de estilo: Ana Fernández Saiz Maquetación: Mercedes Aicart Martínez Diseño de la cubierta: David Kimura + Gabriela Varela Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34)93 419 51 89 reverte @ reverte.com www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Impreso en España - Printed in Spain ISBN: 978-84-291-5182-4 Depósito legal: B. 19524-2012 Impreso por Liberdúplex, S. L. U. # 1386 Dedicado a la Memoria de Y. P. Prefacio Considero a cada hombre como un deudor a su profesión, y ya que de ella recibe sustento y provecho así debe procurar mediante el estudio servirle de ornamento y ornato. Francis B acon Prefacio a la primera edición Cada aspecto de este libro se ha visto influido por el deseo de presentar el Cálculo no sólo como un preludio sino como el primer encuentro real con las matemáticas. Como los fundamentos del análisis constituyen el marco en el cual se desarrollan las formas mo­ dernas del pensamiento matemático, el Cálculo debería ser el lugar donde esperar, más que evitar, el reforzamiento de la percepción matemática mediante la lógica. Además de desarrollar la intuición del estudiante para la comprensión de los hermosos concep­ tos del análisis, es igualmente importante convencerle de que la precisión y el rigor no son disuasorios para la intuición ni tampoco constituyen un fin en sí mismos, sino que representan la manera natural de formular y pensar sobre las cuestiones matemáticas. Este objetivo implica una visión de las matemáticas que, en cierto sentido, se intenta defender a lo largo de todo el libro. Independientemente de lo bien desarrollados que puedan estar determinados temas, los objetivos del libro se alcanzarán sólo si éste tiene éxito en su totalidad. Por esta razón, tendría poco valor enumerar simplemente los temas tratados, o mencionar los aspectos pedagógicos u otras innovaciones. Incluso la simple ojeada que se suele dar a un nuevo texto de cálculo será más informativa que esta ex­ tensa relación de las cualidades del libro, y los profesores que tengan un especial interés respecto a aspectos particulares del cálculo, sabrán donde buscar para comprobar si el libro satisface sus exigencias. Algunas características requieren, sin embargo, un comentario explícito. De los veintinueve capítulos del libro, dos (señalados con un asterisco) son opcionales, y los tres que constituyen la Parte V se han incluido únicamente para aquellos estudiantes intere­ sados en la construcción de los números reales. Además, los apéndices de los Capítulos 3 y 11 contienen también material opcional. Considero que el orden de los restantes capítulos debe mantenerse inflexible, ya que el objetivo del libro es presentar el cálculo como la evolución de una idea, no como una colección de “temas”. Como los conceptos más interesantes del cálculo no apare­ cen hasta la Parte III, las Partes I y II requerirán probablemente menos tiempo de lo que podría indicar su extensión, aunque el libro cubre un curso completo, los capítulos no están pensados para ser tratados a una tasa uniforme. Un punto natural de división se sitúa entre las Partes II y III, lo que permite llegar a la diferenciación e integración todavía más rápidamente, tratando tnuy brevemente la Parte II y, si es necesario, volver a considerar algunos aspectos, con más detalle, posteriormente. Esta opción correspon­ dería a la organización tradicional de la mayoría de cursos de cálculo, aunque pienso que únicamente disminuiría el valor del libro para aquellos estudiantes con unos conoci­ mientos muy rudimentarios del cálculo, y para los buenos estudiantes que ya tienen una preparación suficiente. Los problemas se han diseñado teniendo en cuenta a este tipo de estudiantes. Van desde los ejercicios más sencillos, aunque no excesivamente fáciles, que desarrollan las técnicas básicas y contribuyen a la comprensión de los conceptos, hasta los problemas V■i l■ vi i i Prefacio a la primera edición de dificultad considerable y, espero, de un interés comparable al grado de dificultad. En total se incluyen unos 625 problemas. Los que hacen hincapié en los métodos de cálculo contienen generalmente muchos ejemplos, numerados con cifras romanas minúsculas, mientras que las letras minúsculas se utilizan para indicar las partes que están interrela- cionadas con otros problemas. Un sistema de notación con asteriscos y dobles asteriscos indica el grado de dificultad de algunos problemas, aunque existen tantos criterios para medir la dificultad, y se dan tantas indicaciones para la resolución de los problemas más difíciles, que esta guía no es del todo fiable. Muchos problemas son tan difíciles, sobre todo si no se siguen las indicaciones, que incluso los mejores estudiantes deberían intentar re­ solver sólo aquellos que les resulten de especial interés; en cuanto a los menos difíciles, no debería ser ningún problema seleccionar una muestra representativa para mantener ocupada, pero no frustrada, a una clase con buenos estudiantes. En la sección corres­ pondiente se dan las soluciones a la mitad, aproximadamente, de los ejemplos extraídos de una muestra de problemas, lo cual debería constituir un test de habilidad técnica. Se ha editado a parte un libro con las soluciones de las otras partes de estos problemas y también de los restantes problemas del libro. Finalmente, se da una lista de lecturas acon­ sejadas, a la cual hacen referencia a menudo los problemas, y un glosario de símbolos. Aprovecho la oportunidad para mencionar a las muchas personas a quienes debo mi agradecimiento. Jane Bjorkgren tuvo que realizar auténticos prodigios para mecanogra­ fiar la producción irregular de mi manuscrito. Richard Serkey colaboró en la recopila­ ción del material con las notas históricas incluidas en los problemas, y Richard Weiss elaboró las respuestas incluidas al final del libro. Agradezco especialmente a mis amigos Michael Freeman, Jay Goldman,Anthony Phillips y Robert Wells la atención con la que leyeron una versión preliminar del libro, así como sus críticas implacables. Ni que decir tiene que no son responsables de las deficiencias que todavía puedan haber, sobre todo porque yo mismo rechacé las sugerencias que podrían haber logrado que el libro pu­ diese parecer más adecuado a una audiencia más amplia de estudiantes. Debo expresar mi admiración a los editores y al equipo de W. A. Benjamin, Inc., que siempre se han mostrado dispuestos a incrementar el atractivo del libro, teniendo en cuenta, al mismo tiempo, la audiencia para la cual estaba destinado. Las insuficiencias que siempre contienen las ediciones preliminares han sido vale­ rosamente soportadas por un potente grupo de estudiantes universitarios de primer año, matriculados en el “honors mathematics course” de la Universidad de Brandéis, durante el curso académico 1965-1966. Aproximadamente la mitad del curso se dedicó al álge­ bra y la topología, y la otra mitad al cálculo, utilizando como texto la edición preliminar del libro.En tales circunstancias es casi obligado indicar que la versión preliminar fue un éxito gratificador. De hecho, el éxito está casi asegurado ya que -al fin y al cabo, es poco probable que la clase se subleve y proteste públicamente- pero pienso que los estudiantes tienen el mérito de haber asimilado con rigurosidad una gran cantidad de matemáticas. Me daría por satisfecho si otros estudiantes utilizaran el libro con este fin, y con tanto entusiasmo. Waltham, Massachusetts M ichael Spivak Febrero 1967 Prefacio a la segunda edición A menudo me han sugerido que el título de este libro debería ser algo parecido a “Una Introducción al Análisis”, ya que se utiliza normalmente en cursos en los que los estu­ diantes ya han aprendido los aspectos mecánicos del cálculo, estos cursos son estándar en Europa y van siendo cada vez más frecuentes en los Estados Unidos. Trece años después, me parece que es demasiado tarde para cambiar el título, aunque si que he considerado necesario introducir algunos cambios, aparte de corregir numerosos errores de imprenta y otras deficiencias. Ahora existen apéndices separados para muchos temas que antes apenas eran mencionados: coordenadas polares, continuidad uniforme, curvas parametrizadas, sumas de Riemann y la utilización de integrales para el cálculo de lon­ gitudes, volúmenes y áreas de superficies. Unos pocos temas, como el manejo de series de potencias, se discuten en el texto con mayor profundidad y se incluyen, además, más problemas relativos a los mismos, mientras que otros temas, como el método de Newton y la regla del trapecio y la regla de Simpson se han desarrollado en los problemas. En total hay unos 160 problemas nuevos, muchos de ellos de dificultad intermedia entre la de unos pocos problemas de rutina al comienzo de cada capítulo y la de los más difíciles que aparecen más tarde. La mayor parte de los problemas nuevos son obra de Ted Shifrin. Frederick Gordon detectó algunos errores importantes en los problemas originales y aportó correcciones no triviales, así como la elegante demostración del Teorema 12-2, que incluye dos Le­ mas y ocupa dos páginas en la primera edición. Joseph Lipman también hizo algunos comentarios referentes a esta demostración, y propuso la utilización de la misma estra­ tegia para la demostración del último teorema en el Apéndice del Capítulo 11, el cual no se demostraba en la primera edición. Roy O. Davies sugirió la estrategia para la reso­ lución del Problema 11-66, que anteriormente sólo era demostrado en el Problema 20-8 [21-8 en la tercera edición], y Marina Ratner, la cual propuso varios problemas intere­ santes, en particular los relativos a la continuidad uniforme y las series infinitas. A todos ellos va dirigido mi agradecimiento, con la esperanza de que su contribución quede re­ flejada adecuadamente después del proceso de elaboración de la nueva edición. M ichael S pivak Prefacio a la tercera edición El cambio más significativo en esta tercera edición ha sido la inclusión de un nuevo Capítulo 17 (señalado mediante un asterisco) sobre el movimiento planetario, en el cual se utiliza el cálculo para la resolución de un problema físico fundamental. Con este objetivo, el Apéndice del Capítulo 4 se ha sustituido por tres Apéndices: los dos primeros cubren los temas relativos a vectores y secciones cónicas, mientras que las coordenadas polares no se discuten hasta el tercer Apéndice, en el cual se tratan también las ecuaciones en coordenadas polares de las secciones cónicas. Además, el Apéndice del Capítulo 12 se ha extendido para tratar las operaciones con vectores de las curvas con valores vectoriales. Otra modificación importante ha consistido en cambiar el orden del material pre­ viamente existente: “La universalidad de la integral”, que previamente se trataba en un segundo Apéndice del Capítulo 13, se considera ahora en un Apéndice del Capítulo sobre “Integración en términos elementales” (antiguo Capítulo 18 y actual Capítulo 19); además, aquellos problemas del capítulo antiguo que utilizaban el material de este Apén­ dice, aparecen ahora incluidos en los problemas del Apéndice reubicado. Las correcciones y la eliminación de problemas incorrectos ha obligado a hacer otros pequeños cambios y a reordenar el apartado correspondiente a los Problemas. Quedé consternado al observar que, después de un periodo de 13 años transcurridos desde la primera y la segunda edición del libro, habían transcurrido otros 14 años antes de la aparición de esta tercera edición. Durante este tiempo he ido acumulando una lista considerable de correcciones, pero no ha ocurrido lo mismo con las comunicaciones ori­ ginales y, por tanto, no puedo expresar mi agradecimiento a las personas implicadas (las s cuales, a estas alturas, probablemente ya no estén interesadas). Unicamente he podido hacer unos pocos cambios en el apartado correspondiente a las Lecturas aconsejadas, el cual, después de todos estos años, requiera probablemente una revisión completa; ésta tendrá que esperar hasta la próxima edición, que espero realizar en un periodo de tiempo más breve. M ichael S pivak