Cálculo I Mariele Vilela Bernardes Prado Renata Karoline Fernandes Keila Tatiana Boni © 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A. Presidente: Rodrigo Galindo Vice-Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava Diretor de Produção e Disponibilização de Material Didático: Mario Jungbeck Gerente de Produção: Emanuel Santana Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna Gerente de Disponibilização: Nilton R. dos Santos Machado Editoração e Diagramação: eGTB Editora Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Prado, Mariele Vilela Bernardes P896c Cálculo I / Mariele Vilela Bernardes Prado, Renata Karo line Fernandes, Keila Tatiana Boni. – Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015. 208 p. ISBN 978-85-8482-159-4 1. Cálculo. 2. Funções (Matemática). I. Fernandes, Renata Karoline. II. Boni, Keila Tatiana. III. Título CDD 515 2015 Editora e Distribuidora Educacional S. A. Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza CEP: 86041 -100 — Londrina — PR e-mail: [email protected] Homepage: http://www.kroton.com.br/ Sumário Unidade 1 | Funções, limite, continuidade e definição de derivada 7 Seção 1 - Revisando funções 11 1.1 | Domínio e Imagem de uma função 13 1.2 | Gráficos de funções 15 1.3 | Operações com funções 17 1.4 | Função composta 18 1.5 | Função Elementares 19 1.6 | Função crescente e decrescente 22 1.7 | Função injetora, sobrejetora e bijetora 23 1.8 | Função inversa 24 Seção 2 - Limite de uma função 27 2.1 | Propriedades de limites 29 2.2 | Teorema do Confronto 30 2.3 | Indeterminação 31 2.4 | Limites Laterais 33 2.5 | Limites e infinitos 36 2.6 | Assíntotas 38 2.7 | Limites fundamentais 40 2.8 | Definição formal de limite 41 Seção 3 - Funções contínuas 45 3.1 | Definição de continuidade 45 3.2 | Propriedades das funções contínuas 47 3.3 | Continuidade por intervalos 48 3.4 | Continuidade de funções inversas 48 3.5 | Valor intermediário 49 Seção 4 - A derivada 53 4.1 | Taxa de variação 53 4.2 | Função derivada 55 Unidade 2 | Cálculo de derivadas 63 Seção 1 - A derivada de uma função e regras de derivação 67 para a multiplicação e divisão 1.1 | O Cálculo de Derivadas de funções 67 1.2 | Técnicas de derivação 72 Seção 2 - A regra da cadeia e derivada de ordem superior 79 2.1 | A regra da Cadeia e sua aplicação 79 2.2 | Derivada de ordem superior 82 2.3 | Concavidade do gráfico 87 Seção 3 - Derivadas implícitas e otimização de funções 89 3.1 | Aplicação de derivadas 89 3.2 | A Derivada e taxas relacionadas 95 Unidade 3 | Equações diferenciais, integrais e integrais múltiplas 111 Seção 1 - Introdução ás integrais, técnicas de integração e integrais definidas 115 1.1 | Introdução à integração 115 1.2 | Técnicas de integração 117 1.2.1 | Técnica da substituição 117 1.2.2 | Técnica da integração por partes 118 1.3 | A integral definida 120 1.3.1 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – Parte I) 121 1.3.2 | O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC – parte II) 121 1.3.3 | Teorema do Valor Médio para Integrais 124 Seção 2 - Integrais múltiplas 127 2.1 | A integral dupla 127 2.2 | A integral tripla 132 2.3 | Mudança de coordenadas: de cartesianas para polares 134 Seção 3 - Integral de linha e integral de superfície 137 3.1 | A integral de linha 137 3.1.1 | Teorema de Green 141 Seção 4 - Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira e 145 de Segunda Ordem 4.1 | Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem 145 4.1.1 | Soluções de uma Equação Diferencial Ordinária 147 4.1.2 | Problema de Valor Inicial (PVI) 148 4.1.3 | Métodos para obtenção de soluções de EDOs de Primeira Ordem 149 4.1.3.1 | Equações diferenciais de variáveis separáveis 149 4.1.3.2 | Equações diferenciais com coeficientes homogêneos 150 4.1.3.3 | Equações diferenciais exatas 151 4.1.3.4 | Equações diferenciais lineares 152 4.2 | Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem 153 4.2.1 | Teorema de Existência e Unicidade de Soluções 154 4.2.2 | EDOs Lineares Homogêneas de ordem 2 com coeficientes constantes 155 Unidade 4 | Conhecendo matrizes 163 Seção 1 - Matriz, propriedades e classificações 167 1.1 | Definição de Matrizes 167 Seção 2 - Operações com matrizes 177 Seção 3 - Determinantes de matrizes de diferentes ordens 189 3.1 | Determinantes 189 Apresentação Este livro foi elaborado com a intenção de auxiliar no processo de aprendizagem dos estudantes da disciplina de Cálculo I do curso de Ciências Econômicas. Os conteúdos aqui abordados objetivam estudar o comportamento de funções utilizando conceitos de limite, continuidade, derivas e integrais. Este material está dividido em quatro unidades. No início da unidade 1 será realizada uma revisão envolvendo a teoria de funções. Esta revisão é necessária visto que os conceitos que serão abordados no decorrer deste livro tratarão diretamente sobre o assunto. No desdobrar da unidade, serão apresentados os conceitos de limite e continuidade para avaliação do comportamento de funções. Ao final da primeira unidade será apresentada a definição de derivas a partir da ideia de taxa de variação. Na unidade 2, serão apresentados os diferentes métodos de derivação de funções não sendo mais necessária a utilização da definição de derivada apresentada na unidade 1. Ainda na unidade 2, serão trabalhados os conceitos de derivadas de ordem superior, derivadas implícitas e otimização de funções. O foco da unidade 3 será o cálculo de integrais e as equações diferenciais. Serão apresentadas as equações diferenciais de primeira e segunda ordem e as técnicas de integração, além das aplicações de integrais. Na Unidade 4 será abordado o conceito de matrizes. Ao final do estudo desta unidade você compreenderá o processo de resolução e o uso de matrizes nas quatro operações básicas. Você também conseguirá classificar as matrizes, calcular determinante de uma matriz quadrada, realizar escalonamento e calcular a inversa de uma matriz. Cabe ressaltar que a utilização dos links e materiais disponíveis nas seções Saiba mais e Aprofundando o conhecimento deste livro são essenciais para que o aprendizado aconteça de forma completa. Bons estudos! Unidade 1 FUNÇÕES, LIMITE, CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO DE DERIVADA Mariele Vilela Bernardes Prado Objetivos de aprendizagem: Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de derivadas e integrais. Seção 1 | Revisando funções Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo. Seção 2 | Limite de uma função Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite. Seção 3 | Funções contínuas Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o Teorema de Valor Intermediário e suas consequências. UUnniiddaaddee 11 FUNÇÕES, LIMITE, CONTINUIDADE E DEFINIÇÃO DE DERIVADA Mariele Vilela Bernardes Prado Objetivos de aprendizagem: Os assuntos abordados nesta primeira unidade têm por objetivo, além de apresentar os conceitos básicos do cálculo, preparar o aluno para a aplicação de derivadas e integrais. Seção 1 | Revisando funções Nesta seção, revisaremos os principais conceitos envolvendo funções, as principais definições, gráficos, propriedades e as funções mais utilizadas. Estes conceitos serão fundamentais nos estudos e aplicação do Cálculo. Seção 2 | Limite de uma função Nesta seção será apresentado, inicialmente, o conceito intuitivo de limite. A partir desta ideia intuitiva trabalharemos as propriedades, os teoremas e as indeterminações envolvendo limites. Serão abordados, ainda, os conceitos de limites laterais, limites envolvendo infinitos, limites fundamentais e assíntotas. Ao final da seção, será apresentada a definição formal de limite. Seção 3 | Funções contínuas Na seção 3 será apresentada a definição de continuidade, bem como as propriedades das funções contínuas, continuidade por intervalos e continuidade de funções inversas. Será abordado de forma intuitiva o Teorema de Valor Intermediário e suas consequências. UU11 U1 Introdução à unidade Seção 4 | A derivada Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes. O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na disciplina de Introdução ao Cálculo. 88 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 9 U1 UU11 Introdução à unidade Seção 4 | A derivada Nesta seção, será apresentada a definição de derivada a partir dos conceitos de taxa de variação e retas secantes e tangentes. O Cálculo Diferencial e Integral tem como objetivo estudar o comportamento de funções, fazendo uso de conceitos como limite, continuidade, derivada, integral e séries. Tais conceitos são resultados de estudos feitos de forma independente pelos matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716). Newton e Leibniz generalizaram as regras para problemas que antes eram abordados apenas para casos particulares de funções. Nesta primeira unidade, serão abordados os conceitos de limite e continuidade e a definição de derivadas. Antes, porém, é necessário que façamos uma revisão dos conceitos de funções, tema abordado na disciplina de Introdução ao Cálculo. 8 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 99 UU11 U1 Seção 1 Revisando funções A função é descrita por leis científicas e princípios de engenharia como uma quantidade que depende de outra. O termo “função” foi apresentado por Leibniz para indicar a dependência de uma quantidade em relação à outra de acordo com a definição a seguir: Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. As funções podem ser representadas por equações, por tabelas, por gráficos ou até mesmo por meio de palavras. No século XVIII, o matemático Leohnard Euler passou a denotar as funções pelas letras do alfabeto, conforme a seguinte definição: Uma função ƒ é uma regra que associa uma única saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por χ , então a saída será denotada por ƒ ( χ ) . Muitas vezes, a saída de uma função também é denotada por uma letra - normalmente o γ - e escreve-se γ = ƒ ( χ ) . Tal equação expressa γ como uma função de χ . A variável χ é denominada variável independente e a variável γ é denominada variável dependente. Vejamos um exemplo: A equação γ = 2χ2 - 3χ + 4 está na fórmula γ = ƒ ( χ ) em que a função ƒ é dada pela fórmula ƒ ( χ ) = 2χ2 - 3χ + 4 . Para cada entrada χ, a saída correspondente γ é obtida substituindo χ nessa fórmula. Assim, assumindo χ = 2 teríamos ƒ (2) = 2(2)2 - 3(2) + 4 = 8 - 6 + 4 = 6. ƒ associa γ = 6 a χ = 2. 1100 Funções, limite, continuidade e definição de derivada Funções, limite, continuidade e definição de derivada 11