Cálculo diferencial e integral NOVENA EDICIÓN PPuurrcceellll VVaarrbbeerrgg RRiiggddoonn FORMAS HIPERBÓLICAS 78 senh u du = cosh u + C 79 cosh u du = senh u + C 80 tanh u du = ln(cosh u) + C L L L 81 coth u du = lnƒsenh uƒ + C 82 sech u du = tan-1ƒsenh uƒ + C 83 csch u du = ln2tanh u2 + C L L L 2 1 u 1 u 84 senh2 u du = senh 2u - + C 85 cosh2 u du = senh 2u + + C 86 tanh2 u du = u - tanh u + C L 4 2 L 4 2 L 87 coth2 u du = u - coth u + C 88 sech2 u du = tanh u + C 89 csch2 u du = -coth u + C L L L 90 sech u tanh u du = -sech u + C 91 csc u coth u du = -csch u + C L L FORMAS ALGEBRAICAS DIVERSAS 92. u(au + b)-1 du = u - b lnƒau + bƒ + C 93 u(au + b)-2 du = 1 cln^ƒau + bƒ + b d + C L a a2 L a2 au + b u(au + b)n+1 (au + b)n+2 94 u(au + b)n du = - + C si n Z -1, -2 L a(n + 1) a2(n + 1)(n + 2) du 1 u du 95 = a + (2n - 3) b si n Z 1 L(a2(cid:2)u2)n 2a2(n - 1) (a2(cid:2)u2)n-1 L(a2(cid:2)u2)n-1 2 96 u2au + b du = (3au - 2b)(au + b)3/2 + C L 15a2 97 un 2au + b du = 2 aun(au + b)3/2 - nb un-1 2au + b dub L a(2n + 3) L u du 2 un du 2 un-1 du 98 = (au - 2b) 2au + b + C 99 = aun3au + b - nb b L2au + b 3a2 L2au + b a(2n + 1) L 2au + b 100a L u2aduu+ b = 21b ln 222aauu ++ bb -+ 22bb2 + C si b 7 0 100b L u2aduu+ b = 22-b tan-1 Aau-+bb + C si b 6 0 du 2au + b (2n - 3)a du 101 = - - si n Z 1 Lun2au + b b(n - 1)un-1 (2n - 2)bL un-12au + b u - a a2 u - a du u - a 102 22au - u2 du = 22au - u2 + sen-1 + C 103 = sen-1 + C L 2 2 a Lu22au - u2 a un-1(2au - u2)3/2 (2n + 1)a 104 un22au - u2 du = - + un-122au - u2 du L n + 2 n + 2 L 105 un du = - un-122au - u2 + (2n - 1)a un-1 du 106 22au - u2 du = 22au - u2 + a sen-1 u - a + C L22au - ug2 n n L 22au - u2 L u a 22au - u2 (2au - u2)3/2 n - 3 22au - u2 107 du = + du L un (3 - 2n)aun (2n - 3)aL un-1 du 22au - u2 n - 1 du 108 = + L un22au - u2 a(1 - 2n)un (2n - 1)aL un-122au - u2 u - a na2 109 (22au - u2)n du = (2au - u2)n/2 + (22au - u2)n-2 du L n + 1 n + 1L 110 du = u - a (22au - u2)2-n + n - 3 du L(22au - u2)n (n - 2)a2 (n - 2)a2L(22au - u2)n-2 INTEGRALES DEFINIDAS 111 Lq`une-u du = Ω(n + 1) = n! (n Ú0) 112 Lqe-au2 du = 21 Apa (a 7 0) 0 0 1 – 3 – 5 – Á – (n - 1)p 113 Lp/2senn u du = Lp/2 cosn u du = μ2 – 42 –– 64 –– 6Á – –Á (n – n- 1) 2 si nes un entero par y nÚ2 0 0 3 – 5 – 7 – Á – n si nes un entero impar y nÚ3 1600 1700 Descartes Newton Leibniz Euler • J.Kepler (1571-1630) • • R.Descartes (1596-1650) • • B.Pascal (1623-1662) • • I.Newton (1642-1727) • • G.Leibniz (1646-1716) • • L’Hôpital (1661-1704) • • J.Bernoulli (1667-1748) • L.Euler (1707-1783) • M.Agnesi (1718-1799) • Kepler Pascal L’Hôpital Bernoulli Contribuidores del Cálculo [El cálculo es] el resultado de una dramática lucha intelectual que ha durado los últimos veinticinco siglos. —Richard Courant 1609 1637 1665 1696 1728 Leyes de Kepler Newton descubre Euler introduce e del movimiento el cálculo planetario Geometría Primer texto de analítica de cálculo (L’Hôpital) Descartes 1800 1900 Otros contribuidores Thomas Simpson (1710-1761) Pierre de Fermat (1601-1665) Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Michel Rolle (1652-1719) George Green (1793-1841) Brook Taylor (1685-1731) George Gabriel Stokes (1819-1903) Colin Maclaurin (1698-1746) Lagrange Gauss Cauchy Riemann Lebesgue • • • J.Lagrange (1736-1813) • • C.Gauss (1777-1855) • • A.Cauchy (1789-1857) • • K.Weierstrass (1815-1897) • • G.Riemann (1826-1866) • • J.Gibbs (1839-1903) • • S.Kovalevsky (1850-1891) • • H.Lebesgue (1875-1941) • Agnesi Weierstrass Kovalevsky Gibbs 1756 1799 1821 1854 1873 1902 Gauss demuestra Integral de Integral de el teorema Riemann Lebesgue fundamental del álgebra Lagrange inicia Noción precisa de e es trascendental su Mécanique límite (Cauchy) (Hermite) analytique FÓRMULAS DE GEOMETRÍA Triángulo Cilindro circular recto 1 Área = bh Área lateral =2prh 2 r a h h Volumen =pr2h 1 u Área = ab sen u 2 b Paralelogramo Esfera Área =4pr2 Área =bh 4 Volumen = Pr3 h r 3 b Trapecio Cono circular recto a Área = a + b h Área lateral =prs 2 h s h Volumen = 1 Pr2h 3 b r Círculo Tronco de un cono circular recto Circunferencia =2pr r Área lateral =ps(r+R) r Área =2pr h s 1 Volumen = P(r2 + rR + R2)h 3 R Sector circular Cono general Longitud de arco =ru Volumen = 1 (área B)h 3 s h 1 u rad Área = 2 r2u r B Rectángulo polar Cuña R (cid:3) r Área = R + r (R - r)u A Área A=(áreaB) sec u 2` r u B u rad R Cálculo diferencial e integral NOVENA EDICIÓN Edwin J. Purcell University of Arizona Dale Varberg Hamline University Steven E. Rigdon Southern Illinois University Edwardsville Traducción: Revisión Técnica: Víctor Hugo Ibarra Mercado Linda Margarita Medina Herrera Natella Antonyan Escuela de actuaría, Universidad Anáhuac ESFM-IPN Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México Jorge Arturo Rodríguez Chaparro Jefe del Departamento de Matemáticas Colegio San Jorge de Inglaterra Bogotá Colombia Datos de catalogación bibliográfica PURCELL, EDWIN J., VARBERG, DALE; RIGDON, STEVEN E. Cálculo diferencial e integral (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007 ISBN: 978-970-26-0989-6 Área: Bachillerato Formato: 21 × 27 cm Páginas: 520 Authorized adaptation from the English language edition,entitled Calculus,9e byDale Varberg,Edwin J.Purcell and Steven E.Rigdon published by Pearson Education,Inc.,publishing as PRENTICE HALL,INC.,Copyright ©2007.All rights reserved. ISBN 0131429248 Adaptación autorizada de la edición en idioma inglés,Calculus,9e porDale Varberg,Edwin J.Purcell y Steven E.Rigdonpublicada por Pearson Education,Inc.,publicada como PRENTICE-HALL INC.,Copyright ©2007.Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor:Enrique Quintanar Duarte e-mail:[email protected] Editora de desarrollo:Claudia C.Martínez Amigón Supervisor de producción:Rodrigo Romero Villalobos Edición en inglés Acquisitions Editor:Adam Jaworski Art Director:Heather Scott Editor-in-Chief:Sally Yagan Interior Designer:Judith Matz-Coniglio Project Manager:Dawn Murrin Cover Designer:Tamara Newnam Production Editor:Debbie Ryan Art Editor:Thomas Benfatti Assistant Managing Editor:Bayani Mendoza de Leon Creative Director:Juan R.López Senior Managing Editor:Linda Mihatov Behrens Director of Creative Services:Paul Belfanti Executive Managing Editor:Kathleen Schiaparelli Manager,Cover Visual Research & Permissions:Karen Sanatar Manufacturing Buyer:Lisa McDowell Director,Image Resource Center:Melinda Reo Manufacturing Manager:Alexis Heydt-Long Manager,Rights and Permissions:Zina Arabia Director of Marketing:Patrice Jones Manager,Visual Research:Beth Brenzel Executive Marketing Manager:Halee Dinsey Image Permission:Vickie Menanteaux Marketing Assistant:Joon Won Moon Cover Photo:Massimo Listri/Corbis;Interior view of Burj Al Arab Development Editor:Frank Purcell Hotel,Dubai,United Arab Emirates Editor-in-Chief,Development:Carol Trueheart NOVENA EDICIÓN, 2007 D.R.© 2007 por Pearson Educación de México,S.A.de C.V. Atlacomulco 500-5to.piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez,Edo.de México E-mail:[email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg.Núm.1031 Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México,S.A.de C.V. Reservados todos los derechos.Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse,registrarse o transmitirse,por un siste- ma de recuperación de información,en ninguna forma ni por ningún medio,sea electrónico,mecánico,fotoquímico,magnético o elec- troóptico,por fotocopia,grabación o cualquier otro,sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo,alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus re- presentantes. ISBN 10:970-26-0989-5 ISBN 13:978-970-26-0989-6 Impreso en México.Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07 A Pat, Chris, Mary y Emily Contenido Prefacio xi 0 Preliminares 1 0.1 Números reales, estimación y lógica 1 0.2 Desigualdades y valor absoluto 8 0.3 El sistema de coordenadas rectangulares 16 0.4 Gráficas de ecuaciones 24 0.5 Funciones y sus gráficas 29 0.6 Operaciones con funciones 35 0.7 Funciones trigonométricas 41 0.8 Repaso del capítulo 51 Problemas de repaso e introducción 54 1 Límites 55 1.1 Introducción a límites 55 1.2 Estudio riguroso (formal) de límites 61 1.3 Teoremas de límites 68 1.4 Límites que involucran funciones trigonométricas 73 1.5 Límites al infinito; límites infinitos 77 1.6 Continuidad de funciones 82 1.7 Repaso del capítulo 90 Problemas de repaso e introducción 92 2 La derivada 93 2.1 Dos problemas con el mismo tema 93 2.2 La derivada 100 2.3 Reglas para encontrar derivadas 107 2.4 Derivadas de funciones trigonométricas 114 2.5 La regla de la cadena 118 2.6 Derivadas de orden superior 125 2.7 Derivación implícita 130 2.8 Razones de cambio relacionadas 135 2.9 Diferenciales y aproximaciones 142 2.10 Repaso del capítulo 147 Problemas de repaso e introducción 150 3 Aplicaciones de la derivada 151 3.1 Máximos y mínimos 151 3.2 Monotonía y concavidad 155 3.3 Extremos locales y extremos en intervalos abiertos 162 3.4 Problemas prácticos 167 3.5 Graficación de funciones mediante cálculo 178 3.6 El teorema del valor medio para derivadas 185 3.7 Solución numérica de ecuaciones 190 3.8 Antiderivadas 197 3.9 Introducción a ecuaciones diferenciales 203 3.10 Repaso del capítulo 209 Problemas de repaso e introducción 214 vii