Carmelo Di Stefano Dal Problema al Modello matematico Volume Secondo Per il triennio http://mathinterattiva.altervista.org/E-Book.htm Edizione riveduta e corretta e arricchita di collegamenti multimediali. Agosto 2016 Matematicamente.it Editore Questo libro è rilasciato con licenza Creative Commons BY-NC-ND Attribuzione – Non Commerciale – Non opere derivate http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/it/deed.it Attribuzione — Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera. Non commerciale — Non puoi usare quest'opera per fini commerciali. Non opere derivate — Non puoi alterare o trasformare quest'opera, né usarla per crearne un'altra. Se vuoi contribuire a migliorare questo testo, invia segnalazioni di errori, mancanze, integrazioni all’autore [email protected] o all’editore [email protected]. I proprietari di immagini, o di altri contenuti, che sono stati utilizzati impropriamente e inavvertitamente in questo libro, se ritengono di non essere stati citati correttamente sono pregati di mettersi in contatto con l’autore o con l’editore per gli interventi che si riterranno necessari; si fa presente che questo libro non ha scopo di lucro. Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 PRESENTAZIONE Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente. • All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che … voglio- no sapere di più • Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via) • Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa signi- fica? • Poi ci sono tre diversi tipi di box con diverse informazioni storiche, precisamente ci sono quelli intitolati I Protagonisti, che contengono informazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagi- ne; invece ne L’angolo storico ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta parlando e simili informazioni; infine in quelli dal titolo L’antologia sono riportati e commentati passi di famose opere matematiche. • Vi sono anche dei box chiamati Intervallo matematico o Giochiamo alla matematica, che si riferisco- no, i primi ad applicazioni della matematica e gli altri alla cosiddetta matematica ricreativa. • Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di dif- ficoltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un impegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ragionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida. Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti. • Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici, quasi tutti di libero uso. In essi sono presenti dei link a delle applicazioni che descrivono come usare il software per comprendere meglio gli argomenti trattati o dei files che puoi usare solo se hai il software installato. • Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati. • Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese. • Alla fine di ogni unità vi sono le attività di recupero, formate essenzialmente da una serie di esercizi svolti, da completare e da svolgere interamente. • Infine sono proposti dei test in formato multimediale, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti ar- gomenti dell’unità didattica, essi sono utilizzabili solo on line dal sito http://mathinterattiva.altervista.org. • Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org. • Vi sono anche diversi collegamenti multimediali che ti portano a pagine web o a files di qualcuno dei software liberi che sono descritti nel libro, o ancora delle applicazioni che mostrano meglio come si fa una certa procedura o come si dimostra un teorema o altro ancora. Buon lavoro da Carmelo Di Stefano ii Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 Indice 5. Funzioni esponenziali e logaritmiche 5.1 Esponenziali Richiamiamo le conoscenze Pag. 8 Verifiche 10 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 13 Questions in English 14 Uso della calcolatrice per il calcolo di una potenza 14 Potenze ad esponente reale 15 Verifiche 17 Equazioni e disequazioni esponenziali 18 Verifiche 20 Giochiamo alla matematica 27 L’angolo di Derive 27 L’angolo di Microsoft Mathematics 27 La sfida 27 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 28 Questions in English 29 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29 5.2 Logaritmi Concetto di logaritmo e curva logaritmica Pag. 31 Verifiche 35 Proprietà dei logaritmi 39 Verifiche 41 Intervallo matematico 50 Equazioni e disequazioni logaritmiche 51 Verifiche 53 L’angolo di Derive 58 L’angolo di Microsoft Mathematics 58 La sfida 58 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 59 Questions in English 61 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 62 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 63 1 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 6. Geometria dello spazio ambiente 6.1 Rette e piani nello spazio Richiamiamo le conoscenze Pag. 65 Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea dello spazio 66 Posizioni reciproche di piani nello spazio 67 Posizioni reciproche di rette nello spazio 68 Gli angoli diedri 69 Perpendicolarità nello spazio 70 L’antologia 72 Verifiche 73 L’angolo di Cabri3D 77 L’angolo di Geogebra 77 La sfida 77 Temi assegnati agli esami di stato 77 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 78 6.2 Geometria dei poliedri Richiamiamo le conoscenze Pag. 80 I poliedri 81 Verifiche 85 I prismi 87 Verifiche 89 Le piramidi e i tronchi di piramide 93 Verifiche 96 I poliedri regolari 101 Verifiche 104 I poliedri semiregolari 108 Verifiche 111 L’angolo di Cabri3D 112 L’angolo di Geogebra 112 La sfida 113 Temi assegnati agli esami di stato 114 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 115 Questions in english 116 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 117 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 119 6.3. Geometria dei solidi di rotazione Richiamiamo le conoscenze Pag. 121 Il cilindro, il cono e il tronco di cono 122 Verifiche 125 La sfera e le sue parti 130 Verifiche 136 L’angolo di Cabri3D 141 L’angolo di Geogebra 141 La sfida 141 Temi assegnati agli esami di stato 142 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 143 Questions in english 144 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 144 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 145 2 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 6.4. Il volume Concetto di volume e volume dei poliedri Pag. 147 Verifiche 152 Volume dei corpi rotondi 155 Verifiche 157 La sfida 159 Temi assegnati agli esami di stato 160 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 162 Questions in english 163 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 164 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 166 6.5. Geometria analitica in 3D Geometria degli spazi a più di 2 dimensioni Pag. 168 Verifiche 171 Piani e rette nello spazio cartesiano 174 Verifiche 180 La sfida 184 Temi assegnati agli esami di stato 184 L’angolo di Geogebra 185 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 185 Questions in english 185 3 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 7. Goniometria e trigonometria 7.1 Risoluzione dei triangoli Richiamiamo le conoscenze Pag. 187 Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli acuti 189 Verifiche 195 Risoluzione dei triangoli rettangoli 200 Verifiche 203 Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema dei seni 215 Verifiche 221 Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema del coseno 227 Verifiche 231 L’angolo di Microsoft Mathematics 240 La sfida 240 Temi assegnati agli esami di stato 242 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 247 Questions in english 249 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 251 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 251 7.2 Goniometria Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli qualsiasi Pag. 253 Verifiche 258 Unità di misura in radianti e rappresentazione grafica 264 delle funzioni goniometriche elementari Verifiche 270 L’angolo di Geogebra 284 Temi assegnati agli esami di stato 284 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 285 Questions in english 285 Quelli che vogliono sapere di più … Riferimento polare 287 Verifiche 287 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 288 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 289 7.3 Equazioni e disequazioni goniometriche Risoluzione di equazioni goniometriche elementari Pag. 291 Verifiche 294 Equazioni omogenee in seno e coseno 303 Verifiche 304 Disequazioni goniometriche 308 Verifiche 309 Temi assegnati agli esami di stato 315 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 316 Questions in english 316 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 317 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 318 4 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 7.4 Formule goniometriche Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli archi Pag. 320 Verifiche 329 Equazioni lineari in seno e coseno 349 Verifiche 352 Formule di prostaferesi e di Werner 355 Verifiche 357 La sfida 360 Temi assegnati agli esami di stato 363 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 365 Questions in english 367 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 368 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 368 7.5 Forma trigonometrica dei numeri complessi Richiamiamo le conoscenze Pag. 370 Forma trigonometrica, radici ennesime dei numeri complessi 371 e piano di Argand–Gauss Verifiche 375 Quelli che… vogliono sapere di più 378 Il campo dei numeri complessi Equazioni in ℂ 379 Verifiche 381 La sfida 385 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 386 Questions in english 387 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 387 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 387 5 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 8. Successioni di numeri reali 8.1 L’insieme dei numeri naturali Il concetto di insieme infinito e di numerabilità Pag. 389 L’Antologia 389 Verifiche 394 Giochiamo alla matematica 394 Il Principio di induzione 395 Verifiche 397 La sfida 398 Temi di esame assegnati agli esami di stato 399 8.2 Combinatoria Raggruppamenti semplici e con ripetizione e principio dei cassetti Pag. 401 Verifiche 402 Disposizioni semplici e ripetute 405 Verifiche 407 Permutazioni semplici e ripetute 409 Verifiche 411 Combinazioni semplici e ripetute 414 Verifiche 420 Quesiti di riepilogo 424 L’angolo di Derive 425 L’angolo di Microsoft Mathematics 425 La sfida 425 Temi di esame assegnati agli esami di stato 426 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 427 Questions in english 431 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 432 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 433 8.3 Progressioni numeriche Progressioni aritmetiche Pag. 435 Verifiche 438 Progressioni geometriche 441 Verifiche 443 La sfida 445 Temi assegnati agli esami di stato 446 Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 446 Questions in english 449 Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 450 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 450 6 Carmelo Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Volume 4 – Capitolo 5 – Unità 1 5. Esponenziali e logaritmi 5.1 Esponenziali Prerequisiti • Concetto di numero reale • Elevamento a potenza di esponente intero o razionale • Proprietà delle potenze • Uso della calcolatrice Obiettivi • Comprendere il concetto di potenza a base ed esponente reale • Sapere usare le proprietà delle potenze • Sapere usare la notazione esponenziale • Sapere impostare e risolvere semplici problemi relativi agli esponenziali • Comprendere il concetto di logaritmo • Saper calcolare logaritmi in qualsiasi base usando la calcolatrice scientifica • Sapere usare i logaritmi per semplificare numeri a molte cifre Contenuti • Esponenti di base reale ed esponente intero o razionale • Potenze a base ed esponente reale • Equazioni e disequazioni esponenziali • Applicazioni delle equazioni esponenziali alla risoluzione di problemi del mondo reale Parole Chiave Base – Esponente 7