Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi (H. U. Journal of Education) 29(1), 180-195 [2014] Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı The Meaning of Unit Square and Area Formula for Turkish Students Sinan OLKUN*, Özhan ÇELEBİ*, Esra FİDAN**, Özlem ENGİN**, Cansev GÖKGÜN** ÖZ. Bu araştırmanın amacı öğrencilerin birim kare ve alan formülünü farklı durumlarda işlevsel olarak nasıl kullandıklarını belirlemektir. Veriler 4 farklı ilde, 11 okulda, 4, 6, 8 ve 9. sınıf öğrencilerinden toplam 248 öğrenci ile görüşme yapılarak toplanmıştır. Veri toplama aracı olarak, birim kare ve alan ölçme ile ilgili problemler içeren bir test kullanılmıştır. Öğrencilerin sorulara verdikleri yanıtlar ve kullandıkları stratejilerden hareket ederek birim kareleri alan birimi olarak kabul edip etmedikleri belirlenmeye çalışılmıştır. Nitel ve nicel olarak analiz edilen verilerden, 4. sınıftan 9. sınıfa kadar öğrencilerin çoğunun birim kareyi alan birimi olarak kabul etmediği ortaya çıkmıştır. Elde edilen bulgular alan kavramı öğretimindeki farklı bakış açıları da dikkate alınarak tartışılmıştır. Alan kavramı ve ilköğretimde öğretimi ile ilgili çeşitli önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Sözcükler: Birim kare, alan formülü, ölçme ABSTRACT. The purpose of this research was to determine how students use the unit square and area formula in different situations. Data were collected through one-on-one interviews with a total of 248 students from 4th, 6th, 8th, and 9th grades of 11 schools in 4 different cities in Turkey. The data collection tool consisted of problems related to unit square and area measurement. Based on their answers and strategies, it is sought to determine if the students accept the unit square as a unit of area measurement. Qualitative and quantitative analysis of the data revealed that students from 4th through 9th grade do not accept the unit square as a unit of area measurement. Findings are discussed in light of different teaching approaches to area concept. Implications for teaching the area concept and its measurement in elementary grades are discussed. Keywords: Unit square, area formula, measurement 1. GİRİŞ Genel olarak matematik kavramlarında olduğu gibi geometrik kavramlar da soyuttur ve varsayımlara dayalıdır. Her ne kadar bu kavramların çoğunu gerçek şekillere benzetmek mümkün olsa da, kavramların matematiksel özellikleri birçok öğrencinin aklında canlandıramadığı varsayımlar üzerine oluşturulmuştur. Boyutsuz noktalardan uzunluğu olan bir doğru parçası oluşması, genişliği olmayan doğru parçalarından bir düzlem parçası oluşması gibi durumlar, çoğu öğrenciye sezgisel olarak karmaşık ya da anlamsız gelebilmektedir. Öğrencilerin kavramları yanlış veya eksik anlamaları, o kavramlarla bağlantılı olan diğer kavramları anlayamamalarına sebep olmaktadır. Alan ölçümü her ne kadar somut gibi görünse de ölçümde kullanılan birimin sürekliliği ve bu birimin formül içinde kullanılması soyut bir düşünceyi ve kavramı kullanmada esnek olmayı gerektirmektedir. Öğrencilerin alan ve çevreyi karıştırması, alan korunumunu kavramakta güçlük çekmesi sıkça karşılaşılan problemlerdir (Anhalt, Fernandes ve Civil, 2007; Şişman ve Aksu, 2009; Zacharos, 2005). Hatta bazı araştırmalar öğretmenlerin bile alan ve çevre ilişkisi kurmada yanılgılara düştüklerini, alan hesabı için uygun birimi kullanmadıklarını göstermektedir (Baturo ve Nason, 1996 ; Fuller, 1996). Benzer şekilde, TIMSS 1999 araştırmasına Türkiye’den katılan öğrencilerin alan ölçme sorularındaki başarılarının ortalamanın oldukça altında olduğu ve öğrencilerin şekiller arası ilişkiler kurma, birim oluşturma gibi karmaşık beceriler gerektiren durumlarda başarısız olduğu görülmektedir (Olkun ve Aydoğdu, 2003). Outhred ve Mitchelmore (2000) öğrencilerin alan konusunda yaptığı birçok hatanın, alan ile çevrenin karıştırılması yüzünden ortaya çıktığını belirtmişlerdir. Alan ve çevre * Prof. Dr., TED Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, [email protected] * MEB, Öğretmen Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı 181 hesaplamasının karıştırılmasının bir nedeni öğrencilerin yeterince kavramsal anlama oluşmadan işlemsel yollarla alan ve çevre hesaplamaya kalkışılması olabilir. Şişman ve Aksu (2009) 7. sınıf öğrencilerinin alan ve çevre uzunluğu hesaplama performanslarının, bu kavramları anlama performanslarından daha yüksek olduğunu bulmuşlardır. Yani öğrenciler tam olarak anlamını bilmeden alan ve çevreyi hesaplamaya kalkmaktadırlar. Benzer sonuçlara Huang ve Witz’in (2011) çalışmalarında da ulaşılmıştır. Alan ile çevrenin birbirine karıştırılması, öğrencilerin bu kavramlara ve kavramlarla ilgili formüllere verdikleri anlamın zayıflığının bir göstergesidir. Öğrencilerin derslerde ve çeşitli kaynaklarda karşılaştıkları örneklerin benzer oluşu ve soruların irdelenmeden çözülmesi, zamanla öğrencinin anlam aramaktan uzaklaşmasına ve ezbere yönelmesine sebep olabilir. Ölçme işlemi somut, fiziksel bir eylem içermesi gerekirken, bir eylem anında değerlendirme yapmanın güç olması gerekçesiyle değerlendirmede sadece klişeleşmiş kâğıt kalem sorularının kullanılması öğrencilerin de işlemsel kısma ağırlık vermelerine neden olabilir (Stephan ve Clements, 2003b). Standart olmayan ölçme problemleri için öğrencinin, öncelikle duruma uygun görsel yapıyı oluşturması, daha sonra bu görsel yapı ile sayısal kısmı koordine etmesi beklenir. Öğrenciler ise genellikle ilk aşamayı gerçekleştirmeden direkt ikinci aşamaya, hesaplama aşamasına geçmektedirler (NCTM, 2007). Geleneksel eğitimde öğretmenler, öğrencilerine temel şekillerin alan formüllerini doğrudan öğretmek eğiliminde olup bunun yeterli olduğunu savunmaktadırlar (Huang ve Witz, 2011). Oysa alan formülünün öğrenciye anlamlı gelebilmesi için öğrencinin öncelikle iki çizgisel boyutu birleştirip iki boyutlu bir yüzey olarak algılayabilmesi gereklidir. Aksi halde öğrenci için alan formülü, iki uzunluğu hatta iki sayıyı çarpmaktan öteye gidemeyecektir (Stephan ve Clements, 2003b). Başka bir deyişle alan ölçerken herhangi bir “en” ya da “boy” bile göremeyen öğrencilerin çarpma kullanarak birim kare sayısını bulması ya da alan formülünü kullanması pek anlamlı değildir (Battista, Clements, Arnoff, Battista ve Borrow, 1998; Stephan ve Clements, 2003a). Öğrencilerin öncelikle alanı zihinlerinde canlandırabilmeleri ve alan kavramının ne olduğunu anlamaları gerekmektedir. Aksi halde Yeo’nun (2008) çalışmasında bahsettiği, alanın bir kavram olarak değil, yalnızca Uzunluk x Genişlik olarak ezberlendiği sınıf ortamlarını değiştirmek mümkün değildir. Alan formülünün öğrencilerce anlaşılır olabilmesi için uzunluk ve alan değişkenlerinin sürekli olduğunun anlaşılması gereklidir (Kamii ve Kysh, 2006). Bunun için ise sonsuz kavramının çocuğun zihninde oluşmuş olması gerekir. Çünkü bir çocuk, ancak “sonsuz küçüklükte” kavramını düşünebilecek düzeye geldiğinde birbirine sonsuz küçüklükte yakın olan çizgileri anlayabilir. Birim karenin bir alan ölçme birimi olarak algılanabilmesi ve alan formülünde kullanılan iki kenar uzunlukları çarpımının anlaşılabilmesi, ancak böyle bir düşünme düzeyine erişildikten sonra mümkün olabilir. Ayrıca, alan ölçen bir öğrenci için uzunluk ile alan arasında bağlantı kurmak ve ölçülen alanı oluşturan birimlere geri dönebilmek önemlidir (Simon ve Blume, 1994). Bu bağlantıları kuramayan öğrenciler alan formülünü anlamlandırmakta güçlük çekmektedirler. Alan formülünün gelişim aşamalarını Outhred ve Mitchelmore (2000) ilişkisel olarak göstermişlerdir. Bu gelişimde sözü geçen tüm yüzeyi kaplama, uzamsal yapı, boyut ilişkisi, çarpımsal yapı ve uzunluk ölçme prensipleri, öğrencinin alan ölçmeyi sezgisel olarak anlamlandırması aşamalarını oluşturmaktadır. Clements ve Stephan (2003b) ise alan ölçme ile ilgili basitten karmaşığa doğru ilerleyen 5 basamaktan bahsetmektedirler: 1) Bölümleme, 2) birim tekrarlama, 3) alan korunumu, 4) birimlerden bir dizi oluşturma, 5) uzunluk ölçme. Bu basamaklar alan formülünün anlamlı bir şekilde kullanılması için gerekli alt yapıyı hazırlayan kavramlardır. Bu basamaklarda ortaya çıkabilecek olan eksiklikler, öğrencide alan ölçme kavramının hatalı ya da eksik oluşmasına yol açabilir. Basamaklar incelendiğinde, birimin alan ölçmedeki yerinin önemli olduğu görülmektedir (Reynolds ve Wheatley, 1996). 182 Sinan OLKUN, Özhan ÇELEBİ, Esra FİDAN, Özlem ENGİN, Cansev GÖKGÜN Öğrenciler için birim karenin “alanı kaplama” özelliğinin olup olmadığı konusunda yapılan araştırmalar öğrencilerin birim kareleri ayrık birer parça olarak gördüklerini, şekli kaplayan bir özelliğe sahip olduğunu algılamakta zorlandıklarını göstermektedir (Kamii ve Kysh, 2006). Kamii ve Kysh’ın çalışmalarında (2006) öğrencilerin birçoğunun birim karenin parçalanamaz olduğunu düşündükleri ve kareleri bir alanı kaplayan birimler olarak algılamadıkları ortaya çıkmıştır. Öğrencilerin alan korunumunu kazanmadıklarını düşündürecek şekilde, bir şeklin parçalara ayrılıp aynı parçaların farklı şekilde yerleştirilmesiyle oluşturulan yeni şeklin alanının orijinal şeklin alanından farklı olduğunu ifade ettikleri görülmüştür (Kamii ve Kysh, 2006; Şişman ve Aksu, 2009). Bu çalışmanın amacı Kamii ve Kysh’ın (2006) yaptığı çalışmayı temel alarak birim kare, alan kavramı, alan ölçümü ve alan formülü ile ilgili olarak Türk öğrencilerin durumlarını belirlemektir. Bu amaçla aşağıdaki sorulara cevap aranmıştır: 1) “Birim kare” 4, 6, 8 ve 9. sınıf öğrencileri için bir alan ölçme birimi midir? 2) 8 ve 9. sınıf öğrencileri için karenin alan kaplama özelliği var mıdır? 3) Öğrencilerin standart alan sorularındaki davranışları nasıldır? 2. YÖNTEM 2.1 Katılımcılar Araştırma grubu, çeşitli sosyo-ekonomik düzeylerden, Ankara, Bolu, Kırıkkale ve Karabük illerinde bulunan 4, 6, 8 ve 9. sınıf öğrencilerinden oluşmaktadır. Araştırmaya katılan öğrencilerin sınıf ve cinsiyetlerine göre sayıları Tablo-1’de gösterilmiştir. Tablo-1. Sınıf ve Cinsiyete Göre Katılımcı Sayısı Sınıf Kız Erkek Toplam 4 37 26 63 6 35 35 70 8 32 33 65 9 21 27 48 Toplam 125 121 248 2.2 Ölçme Aracı Öğrencilerle yapılan bireysel görüşmelerde toplam 6 tane problem durumu kullanılmıştır. Kamii ve Kysh’ın (2006) çalışmalarındaki uygulamaya paralel olarak bu durumlardan ilki araştırmaya katılan bütün öğrencilere, 2, 3, 4, 5 ve 6. sorular yalnızca 8 ve 9. sınıflara sorulmuştur. Soruların ilk 4 tanesi Kamii ve Kysh’ın (2006) araştırmalarından alınmıştır. Birim karelerin verildiği bu 4 soruda birim kareleri alan bulmada kullanmayan öğrencilerin alan formülü kullanma eğilimlerinin test edilmesine yönelik olan 5 ve 6. sorular araştırmacılar tarafından oluşturulmuştur. Beşinci soruda ölçüleri verilmiş bir dikdörtgenin, 6. soruda ölçüleri verilmiş bir dik yamuğun alanı sorulmaktadır. Bu sorular öğrencilerin işlemsel bilgilerini ölçmek amacıyla okullarda sıklıkla kullanıldığı için herhangi bir geçerlik, güvenilirlik çalışmasına ihtiyaç duyulmamıştır. 2.3 İşlem İlk soru için geometri tahtası üzerinde 3x3’lük bir kare ve 2x4’lük bir dikdörtgen oluşturulmuştur (Şekil-1). Öğrenciye, oluşturulan şekilleri birer çikolata olarak hayal etmesi söylenmiş, büyük bir çikolata almak isterse, hangisini seçeceği sorulmuştur. Gözlemci, öğrencinin söylediklerini ve yaptıklarını not almıştır. Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı 183 Şekil-1. Birinci Soru İçin Geometri Tahtası Üzerinde Oluşturulan Şekiller İki, 5 ve 6. sorular, sırasıyla Şekil-2’deki gibi hazırlanıp, çoğaltılarak öğrencilere verilmiştir. Üç soruda da görülen şekillerin alanları istenmektedir. Öğrenciler kâğıtlar üzerinde çalışarak soruları cevaplamışlardır. Şekil – 2. 2, 5 ve 6. Sorularda Alanı Sorulan Şekiller Üçüncü soru için 2x2 cm boyutlarında renkli kareler hazırlanıp beyaz karton üzerine Şekil-3 a ve b’deki gibi yapıştırılarak konumlandırıldıktan sonra öğrencilere gösterilerek “Bu şeklin alanı nedir?” sorusu ile iki şeklin de alanları ayrı ayrı sorulmuştur. Öğrencilerin yarısına a’daki şekil önce, diğer yarısına da b’deki şekil önce sorulmuştur. Öğrencilerin kullandıkları çözüm stratejileri gözlemciler tarafından not edilmiştir. (a) (b) Şekil – 3. 3. Soruda Alanı Sorulan Şekiller Dördüncü soru için 3x6 birimlik bir dikdörtgen ve 4 birim genişliğinde dikdörtgen bir şerit hazırlanmıştır (Şekil-4). Öğrencilere 3x6’lık dikdörtgenin alanına eş alana sahip bir şekli, şeridin ucundan düz bir çizgi halinde keserek elde etmenin yolu sorulmuştur. Şekil – 4. 4. Soruda Kullanılan Dikdörtgen ve Şerit Öğrencilerle yapılan görüşmeler sonucunda kaydedilen notlar ve öğrencilerin üzerinde işlem yaptığı kâğıtlar incelenerek öğrencilerin her bir görevi doğru olarak yerine getirip getirmediği ve görevi yaparken nasıl bir strateji kullandığı belirlenmiştir. Tüm okullardan gelen veriler birleştirildikten sonra doğru ve yanlış cevaplar sınıf düzeyine ve cinsiyete göre sayısal olarak incelenmiştir. Sayısal işlemlerin yanı sıra öğrencilerin kullandıkları stratejiler de incelenerek yorumlanmıştır. 184 Sinan OLKUN, Özhan ÇELEBİ, Esra FİDAN, Özlem ENGİN, Cansev GÖKGÜN 3. BULGULAR 3.1 Birinci Soruya Verilen Cevaplar ve Kullanılan Stratejilerin Uygunluğu Birinci soru, araştırma grubunun tamamına yöneltilmiş olup, kareyi seçen öğrencilerin tümünün cevapları doğru kabul edilmiştir. Kareyi seçme nedeninin matematiksel olarak makul olup olmaması ayrı bir kısımda incelenmiştir. Soruya yanlış yanıt veren öğrencilerin kullandıkları stratejiler de makul değil kabul edilmiştir. Tablo-2 incelendiğinde, öğrencilerin yaklaşık %82’sinin 1. soruya doğru cevap verdiği fakat doğru cevap verenlerin neredeyse yarısının makul olmayan bir strateji kullanarak doğru cevaba ulaştığı görülmektedir. Öğrencilerin yaklaşık %18’i ise 1. soruya yanlış yanıt vermiş ve kullandıkları stratejiler de dolayısıyla makul bulunmamıştır. Tablo-2. Öğrencilerin 1. Soruya Verdikleri Cevaplar ve Makul Strateji Kullanımı Soru 1 Kabul Edilebilirlik Toplam Makul Değil Makul Yanlış 44 (%17,7) 0 (%0) 44 (%17,7) Doğru 101 (%40,7) 103 (%41,5) 204 (%82,3) Toplam 145 (%58,5) 103 (%41,5) 248 (%100) Tablo-3’te öğrencilerin 1. soruya verdikleri yanıtların sınıf düzeyine göre dağılımı gösterilmiştir. Tabloya göre 8. sınıfa kadar sınıf düzeyiyle birlikte doğru cevap yüzdesi de düzenli bir şekilde artmaktadır. Dokuzuncu sınıflarda ise doğru cevapların oranında 8. sınıflara göre istatistiki olarak anlamlı olmamakla birlikte bir düşüş görülmektedir. Bu düşüş beklenmedik bir durumdur. Ancak bu farkın sebebi, 9. sınıfların seçildiği okulların başarılı öğrencilerce tercih edilmeyen okullardan olması olabilir. Tablo-3. Birinci Soruya Verilen Doğru/Yanlış Cevapların Sınıf Düzeyine Göre Dağılımı Soru 1 Sınıf Düzeyi Toplam 4 6 8 9 Yanlış 19 (%29,7) 14 (%19,7) 6 (%9,2) 5 (%10,4) 44 Doğru 45 (%70,3) 57 (%80,3) 59 (%90,8) 43 (%89,6) 204 Toplam 64 (%100) 71 (%100) 65 (%100) 48 (%100) 248 Tablo 4’te verilen sınıflar arasındaki farkların ardışık sınıflar için istatistiki olarak anlamlı olmadığı bulunmuştur. Yalnızca 8 ve 9. sınıflar, 4. sınıflara göre anlamlı düzeyde daha başarılıdır. Birinci soruyu doğru yapan öğrencilerin kullandıkları stratejinin makul olup olmadığı Tablo-5’te ve Şekil-5’te görülmektedir. Özellikle Şekil-5 incelendiğinde, sınıf düzeyi arttıkça, makul stratejiler kullanan öğrenci sayısının da arttığı açık şekilde görülmektedir. 9. sınıflarda verilen yanlış cevapların oranının 8. sınıflara göre daha yüksek olduğu gibi, makul bir strateji kullanılmadan ulaşılan doğru cevapların oranı da 9. sınıflarda daha yüksektir. Bu durum istatistiksel olarak anlamlı olmamakla birlikte yine de beklenmeyen bir durumdur. Bunun nedeni yine yukarıda belirtildiği gibi okullar arası farklar ya da gözlemci, il veya bireysel farklılıklarla ilgili olabilir. Öğrencilerin makul kabul edilen stratejilerinin artışında 8. sınıfta görülen anlamlı (Tablo- 6) sıçrama, ilköğretim çağında geçirdikleri hızlı bilişsel gelişim süreciyle ilgili olabilir. Sekizinci sınıftaki öğrenciler 6. sınıftakilere göre soyut kavramlara daha fazla aşinadırlar ve belirledikleri stratejilerde bu aşinalığın etkisi görülmektedir. Bu yüzden 1. soruyu cevaplarken şekil ya da Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı 185 çevre uzunluğundan yola çıkmak yerine alan hesabı gibi daha soyut ve makul çözüm yollarını tercih etmiş olabilirler. Alan formülü de birim kareleri saymaya göre daha kısa ve yanlış yapma olasılığı düşük bir yoldur. Tablo – 4. Verilen Doğru/Yanlış Cevapların Sınıf Düzeyine Göre Karşılaştırması Sınıf N ORT. S t P 4 64 ,70 ,460 Soru 1 6 71 ,80 ,401 1,335 ,184 4 64 ,70 ,460 Soru 1 8 65 ,91 ,292 3,009* ,003 4 64 ,70 ,460 Soru 1 9 48 ,90 ,309 2,647* ,009 6 71 ,80 ,401 Soru 1 8 65 ,91 ,292 1,755 ,082 6 71 ,80 ,401 Soru 1 9 48 ,90 ,309 1,427 ,156 8 65 ,91 ,292 Soru 1 9 48 ,90 ,309 ,207 ,837 *0,01 düzeyinde anlamlı Tablo – 5. Birinci Soruya Matematiksel Olarak Makul ve Makul Olmayan Strateji Seçimi Makul /Değil Sınıf Düzeyi Toplam 4 6 8 9 Makul Değil 33 (%73,3) 34 (%59,6) 19 (%32,2) 15 (%34,9) 101 Makul 12 (%26,7) 23(%40,4) 40 (%77,8) 28 (%65,1) 103 Toplam 45 57 59 43 204 Makul ve makul olmayan akıl yürütmelerin oranının sınıf düzeyine göre anlamlı bir şekilde değişip değişmediğini kontrol etmek için uygulanan t-testlerinin sonuçları birleştirilerek Tablo-6’da verilmiştir. Tablo-6’da görüldüğü gibi 4 ve 8. sınıflar, 4 ve 9. sınıflar, 6 ve 8. sınıflar ve 6 ve 9. sınıflar birbirlerinden istatistiki olarak anlamlı düzeyde farklıdırlar. Ne 4 ve 6. sınıflar ne de 8 ve 9. sınıflar birbirlerinden anlamlı düzeyde farklı değillerdir. Bu yüzden sınıflar arası farkın büyük oranda 8. sınıftaki sıçramadan kaynaklandığı görülmektedir. Şekil – 5.Makul Ve Makul Olmayan Stratejilerin Sınıf Düzeyine Göre Değişimi Tablo – 6. Öğrencilerin Makul Akıl Yürütmelerinin Sınıflara Göre Karşılaştırılması 186 Sinan OLKUN, Özhan ÇELEBİ, Esra FİDAN, Özlem ENGİN, Cansev GÖKGÜN Sınıf N ORT. S t P 4 64 ,19 ,393 Makul/M.Degil 6 71 ,32 ,471 1,832 ,069 4 64 ,19 ,393 Makul/M.Degil 8 65 ,62 ,490 5,471* ,000 4 64 ,19 ,393 Makul/M.Degil 9 48 ,58 ,498 4,544* ,000 6 71 ,32 ,471 Makul/M.Degil 8 65 ,62 ,490 3,527** ,001 6 71 ,32 ,471 Makul/M.Degil 9 48 ,58 ,498 2,847** ,005 8 65 ,62 ,490 Makul/M.Degil 9 48 ,58 ,498 ,340 ,734 *0,01 ; **0,05 düzeyinde anlamlı 3.2 Öğrencilerin Birinci Soruya Verdikleri Cevaplara Ulaşırken İzledikleri Yollar Gözlemciler, öğrencilerin birinci soruya verdikleri cevaba nasıl ulaştıklarını not etmişlerdir. 1. soruda makul bir strateji kullanan öğrencilerin izledikleri yollar iki başlıkta toplanmaktadır: 1- Birim kareleri kullanarak: Bu yolu kullanan öğrenciler, şekillerin içinde bulunan birim kareleri sayarak, içinde fazla birim kare olan şekli seçmişlerdir. Bu yolu izleyen 43 öğrenci vardır ve toplam öğrenci sayısının %42’sine karşılık gelmektedir. Birim kareleri sayan öğrenci sayısı, sınıf düzeyi arttıkça azalmaktadır. 4. sınıflarda 11 (%92), 6. sınıflarda 18 (%78), 8. sınıflarda 7 (%18) kişi, alanı bulurken birim kareleri saymıştır. 9. sınıflarda birim kareleri sayarak alan bulan öğrenci yoktur. Birim kareleri sayarak alanı bulan kızlar, tüm kızların %37’sini oluşturmaktadır. Tüm erkeklerin ise % 45’i birim kareleri saymıştır. 2- Alan formülünden yola çıkarak: Bu yolu kullanan öğrenciler karenin ve dikdörtgenin iki kenar uzunluğunu çarparak alanlara ulaşmış, buradan da alanı büyük olan şekli seçmişlerdir. Bu yolu izleyen 60 (%58) öğrenci vardır. Alan formülünden yola çıkan öğrenci sayısı sınıf düzeyiyle birlikte artış göstermiştir. Dördüncü sınıflarda 1 (%8), 6. sınıflarda 5 (%22), 8. sınıflarda 33 (%82), ve 9. sınıflarda 28 (%100) öğrenci alan ölçerken En x Boy formülünü kullanmışlardır. Kız öğrencilerin %63’ü alan formülünü kullanırken erkeklerde bu oran %55’te kalmıştır. Birinci soruda makul olmayan stratejiler kullanan öğrencilerin kullandıkları yolların daha çeşitli olduğu görülmektedir: 1- Görsel olarak karar veren öğrenciler: Bu tip öğrenciler cevaplarını herhangi bir matematiksel işlem yapmadan, göz kararı ya da yalnızca şekillerin görüntüsünü temel alarak cevap vermişlerdir. 2- Geometri tahtası üzerindeki noktaları sayarak: Bu yol, en çok kullanılan yanlış yoldur. Geometri tahtasında kullanılan lastiğin çevrelediği alanın içinde kalan noktaları sayan öğrenciler bu grubun içindedir. Ayrıca noktaları sayarak şekillerin en ve boylarını bulup alan formülü kullanan öğrenciler de bu gruptadır. Son gruptaki öğrencilerin yalnızca 2 tanesi 8. sınıfta olduğundan yalnızca bu öğrencilerin diğer sorulardaki davranışı incelenebilmiş ve bu öğrencilerin 5 ve 6. soruları alan formülünden giderek doğru yaptıkları ancak ikinci soruda kenar uzunluğu bulurken şekildeki çentikleri saydıkları görülmüştür. Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı 187 3- Kenar uzunlukları ya da çevreye göre: Kenar uzunluklarını ya da çevreyi hesaplayıp, bu ölçüleri kıyaslayarak cevabını veren öğrenciler bu gruba dâhil edilmiştir. Bu gruptaki öğrenci sayısı, ilk iki gruba göre daha azdır. 4- Diğer: Herhangi bir strateji kullanmayan, rastgele cevap veren öğrenciler bu gruba dâhil edilmiştir. 3.3 Öğrencilerin İkinci Soruya Verdiği Cevaplar İkinci soruyu doğru/yanlış yapan öğrenciler ve sınıf içindeki yüzdeleri Tablo-7’de görülmektedir. Hem 8 hem de 9. sınıfta öğrencilerin yaklaşık üçte biri 2. soruyu yanlış cevaplamışlardır. Verilen cevapların doğruluğu ile ilgili olarak sınıflar arası anlamlı bir fark bulunamamıştır (Tablo-13). Tablo - 7. İkinci Soruya Verilen Cevapların Dağılımı Soru 2 Sınıf Düzeyi 8 9 Toplam Yanlış 23 (%35,9) 18 (%37,5) 41 Doğru 41 (%64,1) 30 (%62,5) 71 Toplam 64 (%100) 48 (%100) 112 İkinci soruyu doğru yapan öğrencilerin yaklaşık %83’ü şekli iki parçaya bölüp oluşan dörtgenlerin alanlarını formül kullanarak hesaplayıp toplamışlardır. Geri kalan %17’lik kısım ise şekli birim karelere ayırmıştır. Alan formülünün 8 ve 9. sınıf öğrencilerinde kullanılması normaldir. Alan formülünü kullananların oranı 8. sınıflarda %74, 9. sınıflarda ise %97’dir. Kızların %47’si alan formülünü kullanırken erkeklerin %53’ü alan formülünden yararlanmıştır. Soruyu yanlış yapan öğrencilerin birçoğunun herhangi bir açıklaması bulunmazken, bir kısmı çevre hesaplamış, bir kısmı da kenar uzunluğunu belirlerken şeklin kenarındaki çentikleri saydığı için hataya düşmüştür. 3.4 Öğrencilerin Üçüncü Soruya Verdiği Cevaplar Sekizinci sınıfta öğrencilerin büyük çoğunluğu 3. sorunun a bölümüne doğru cevap vermişlerdir. Dokuzuncu sınıflarda bu oran bir miktar düşmüştür (Tablo-8). Bu düşüş istatistiksel olarak anlamlı bulunmamıştır (Tablo-13). 3x3’lük bir karenin alanının hesaplanmasında 9. sınıf öğrencilerinin %23’lük kısmının yanlış cevap vermesi beklendik bir sonuç değildir. Öğrenciler, karenin alanı ile ilköğretim birinci kademede tanışmaktadırlar ve 9. sınıfa kadar çeşitli şekillerde birçok kez karşılaşmaktadırlar. Dolayısıyla 9. sınıftaki bir öğrenciye karenin alanının karmaşık gelmemesi beklenmektedir. Herhangi bir araç kullanılarak ölçümün yapılmadığı soruda öğrenciler, sorunun cevabını birim kare cinsinden vermeyi düşünememiş olabilirler. Bu durumda karenin, bu öğrenciler için bir alan birimi olmadığı söylenebilir. Üçüncü sorunun b bölümünde yanlış yapanların sayısı 8. sınıflarda 2 katına çıkarken 9. sınıflarda artış oranı daha azdır (Tablo-9). Bu bölümde de 8 ve 9. sınıflar arasında anlamlı bir fark görülmemiştir (Tablo-13). Üçüncü sorunun b bölümünün a bölümünden tek farkı, birim karelerin düzensiz yerleşmesidir. 3. sorunun a bölümünü doğru, b bölümünü yanlış yapan öğrenciler, düzenli ve düzensiz dizilmiş eşit sayıdaki birim karenin farklı alanlara sahip olabileceğini düşünmüş olabilirler. Bu öğrencilerin alanı, birim kare sayısıyla ilişkilendirmedikleri söylenebilir. Tablo - 8. Üçüncü Soru A Bölümüne Verilen Cevapların Dağılımı Soru 3a Sınıf Düzeyi 188 Sinan OLKUN, Özhan ÇELEBİ, Esra FİDAN, Özlem ENGİN, Cansev GÖKGÜN 8 9 Toplam Yanlış 6 (%9,2) 11 (%23,0) 17 Doğru 59 (%90,8) 37 (%77,0) 96 Toplam 65 (%100) 48 (%100) 113 Tablo - 9. Üçüncü Soru (b) Bölümüne Verilen Cevapların Dağılımı Soru 3b Sınıf Düzeyi 8 9 Toplam Yanlış 13 (%20,0) 15 (%31,2) 28 Doğru 52 (%80,0) 33 (%68,8) 85 Toplam 65 (%100) 48 (%100) 113 3.5 Öğrencilerin Dördüncü Soruya Verdikleri Cevaplar ve Kullandıkları Stratejiler 4. soruya verilen cevaplardan Şekil-6’da görülen I, II, III, IV ve benzeri olanlar doğru kabul edilmiştir. Şekil 6’daki I ve III durumlarında şerit düz bir çizgi boyunca kesilmemiş olmasına rağmen sorunun ölçmeyi amaçladığı birim kareleri bölebilmeyi içerdiğinden dolayı bu durumlar da doğru cevap olarak görülmüştür. Birim kareleri bölmeyen ve/veya verilen dikdörtgenle eşit alana sahip bir parça bulamayan öğrencilerin cevapları yanlış sayılmıştır. Katılımcıların yarısından fazlası (%58) 4. soruyu Şekil-6’daki gibi yapmamıştır. Yanlış yapma oranı 9. sınıflarda daha yüksektir (Tablo-10) fakat aradaki fark istatistiksel olarak anlamlı değildir (Tablo-13). Doğru yapan öğrenciler Şekil-6’daki yollardan birini kullanırken, yanlış yapan 65 öğrenciden 45’i (%69) birim kareleri bölmeden zikzak çizmişlerdir. Öğrencilerin zikzak şeklinde çizimler yapmış olması, birim kareyi bölünemeyen bir bütün olarak algılamalarından kaynaklanabilir. Bu öğrencilerin, alanın sürekli olduğunu tam olarak kavrayamadıkları da düşünülebilir. 4. soruyu birim kareleri bölmediği için yanlış yapan öğrenciler dışındaki öğrencilerin neredeyse tamamının ise anlaşılır bir stratejisi bulunmamaktadır. Tablo - 10. Dördüncü Soruya Verilen Cevapların Dağılımı Soru 4 Sınıf Düzeyi 8 9 Toplam Yanlış 34 (%52,3) 31 (%64,6) 65 Doğru 31 (%47,7) 17 (%35,4) 48 Toplam 65 (%100) 48 (%100) 113 I II III IV Şekil – 6. Dördüncü soru için doğru kabul edilen cevaplar 3.6 Öğrencilerin Beşinci Soruya Verdikleri Cevaplar ve Kullandıkları Stratejiler Beşinci soruda, kısa kenarının yanında 4, uzun kenarının yanında 6 yazan bir dikdörtgenin alanı sorulmaktadır. Soruyu doğru yapan toplam öğrenci sayısı 102’dir. Doğru cevaba ulaşan Birim Kare ve Alan Formülünün Türk Öğrenciler İçin Anlamı 189 öğrenci 8 ve 9. sınıfların %89’luk kısmını oluşturmaktadır. Bu oran, 8 ve 9. sınıfların 1. soru için bulunan oranıyla neredeyse aynıdır. Hem 1. soruyu, hem de 5. soruyu yanlış yapan 4 öğrenci vardır ve bu öğrenciler 9. sınıf öğrencisidir. Beşinci soruda 8. sınıflarda verilen doğru cevaplar, 9’lara göre daha yüksek bir yüzdeye sahiptir (Tablo-11) fakat aradaki fark istatistiksel olarak anlamlı değildir (Tablo-13). Tablo - 11. Beşinci Soruya Verilen Cevapların Dağılımı Soru 5 Sınıf Düzeyi 8 9 Toplam Yanlış 5 (%7,7) 7 (%14,6) 12 Doğru 60 (%92,3) 41 (%85,4) 101 Toplam 65 (%100) 48 (%100) 113 Soruyu doğru cevaplayan öğrencilerin kullandıkları stratejiler incelendiğinde, tamamının dikdörtgenin alan formülünü (En x Boy) kullandıkları görülmektedir. Yanlış yapan öğrencilerden 2 tanesi alan formülünü kullanmış fakat işlem hatası yapmış, 1 tanesi en ve boy ölçülerini toplamıştır. Geri kalan öğrenciler herhangi bir strateji kullanmamışlardır. Standart alan sorularında öğrencilerin öncelikle alan formülü kullanmaya yöneldikleri söylenebilir. 3.7 Öğrencilerin Altıncı Soruya Verdikleri Cevaplar ve Kullandıkları Stratejiler Altıncı soruda bir dik yamuğun alanı sorulmaktadır. Sekizinci ve 9. sınıf öğrencileri, yamuğun alanını önceki sınıflarda görmektedirler. Ayrıca sorudaki dik yamuk kolayca bir dikdörtgen ve bir üçgene ayrılabilmektedir. İstatistiksel olarak anlamlı bir fark oluşmasa da (Tablo-13), 9. sınıflar 8’lere göre daha fazla doğru cevap vermişlerdir (Tablo-12). Bunun sebebi yamuğun alanı ile ilgili kazanımların ilköğretim 8. sınıfta (MEB, 2009) bulunmazken, ortaöğretim 9. sınıfta (MEB, 2010) bulunması ve dolayısıyla 9. sınıfların yamuğun alanı ile ilgili bilgilerinin daha taze olması olabilir. Soruyu doğru yapan öğrencilerin %65’i yamuğu bir dörtgen ve bir üçgene bölerek alan formülü ile hesaplama yapmıştır. Doğrudan yamuğun alan formülünü kullananların oranı ise %31’dir. Aradaki bu fark, yamuğun alan formülünün dikdörtgen ve üçgeninkine göre nispeten daha karmaşık oluşuna bağlanabilir. Öğrencilerin %4’lük kısmı ise yamuğu bir dikdörtgene tamamlamıştır. Alan formülünü kullanan 24 öğrenciden 21’i (%88) 9. sınıf öğrencisidir. Bu da, önceki paragrafta yazılmış olan yamuğun alanının eğitim programlarındaki yeri ile ilgili düşünceyi destekler nitelikte bir sonuçtur. Tablo - 12. Altıncı Soruya Verilen Cevapların Dağılımı Soru 6 Sınıf Düzeyi 8 9 Toplam Yanlış 24 (%36,9) 12 (%25,0) 36 Doğru 41 (%63,1) 36 (%75,0) 77 Toplam 65 (%100) 48 (%100) 113 Soruyu yanlış yapan 36 öğrenciden 23’ü herhangi bir strateji kullanmamıştır. Geriye kalan 13 öğrencinin 7’si işlem hatası yapmıştır. Yanlış yapan öğrencilerin 24’ü (%67) 8. sınıf öğrencisidir. Bu oranın büyük olması da kazanımın 9. sınıfta olması ile ilgili olabilir. Fakat eğer sonuç kazanımla ilgiliyse, 8. sınıfta bir önceki sene işlenen kazanımın unutulmuş olması önemli bir bulgudur. Bu durum öğrencilerin yamuğun alan formülünü sebepleriyle içselleştiremediklerini, yalnızca ezberlediklerini ve sonra da unuttuklarını gösteriyor olabilir.