FORSCHUNGSBERICHT DES LANDES NORDRHEIN -WESTF ALEN Nr. 2697/Fachgruppe Mathematik/Informatik Herausgegeben im Atiftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn vom Minister fUr Wissenschaft und Forschung Johannes Rau Gabriele Dickmeis Dipl. - Math. Werner Dickmeis Lehrstuhl A fUr Mathematik der Rhein. -Westf. Techn. Hochschule Aachen Beste Approximation in Raumen von beschrankter p-Variation WESTDEUTSCHER VERLAG 1977 CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Dickmeis. Gabriele Beste Approximation in R~umen von beschr~nkter p-Variation / Gabriele Dickmeis; Werner Dickmeis. - 1. Aufl. - Opladen: Westdeutscher Verlag, 1977. (Forschungsberichte des Landes NOrdrhein Westfalen; Nr. 2697 Fachgruppe Mathematik, Informatik) ISBN-13: 978-3-531-02697-8 e-ISBN-13: 978-3-322-88190"""8 001: 10.100'7/978-3-322-88190-8 NE: Dickmeis, Werner: © 1977 by Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen Gesamtherstellung: Westdeutscher Verlag Inhalt Seite 1. Einleitung 1 2. Definitionen der p-Variation 5 2.1 Verschiedene gebr~uchliche Definitionen 5 2.2 p-Variation und Translationsinvarianz 8 2.3 Weitere Definitionen 9 3. R~ume von Funktionen von beschr~nkter p-Variation 10 3.1 Die Wiener Klassen wP 10 3.2 Die Teilr~ume vP 15 4. Approximationstheorie in den R~umen V~TI 20 4.1 Grundlagen 20 4.2 UberprUfung der Voraussetzungen 22 4.3 Hauptsatz fUr die beste Approximation in V~TI 26 4.4 Lipschitzklassen in V~TI 27 4.5 Fehlerschranken fUr Sn(f) und 0n(f) 29 Literaturverzeichnis 33 - 1 - 1. Einleitung Die Verallgemeinerung des bekannten Begriffs der be schr~nkten (totalen) Variation einer Funktion f uber einem Intervall der reellen Achse zur sogenannten beschr~nkten p-Variation V (f), 1 ~ p ~ 00, erfolgte durch N. Wiener [46], p und zwar urn ein Kriterium fur die Konvergenz von Fourier- reihen zu erhalten. Tats~chlich ist gerade die Beschr~nkt­ heit der p-Variation eine hinreichende Bedingung fur die Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion (vgl. Abschnitt 4.4). Kriterien fur die Konvergenz der Fourier reihe zu erhalten, war auch Motivation fur eine weitere Ver allgemeinerung zur sogenannten beschr~nkten ~-Variation (vgl. Abschnitt 2.1). Diese Arbeit befaBt sich haupts~chlich mit den Funktionen von beschr~nkter p-Variation, und zwar yom Standpunkt der Approximationstheorie aus. Es werden dabei vor allem Konver genzaussagen mit Approximationsordnungen angestrebt. So werden dann auch in Abschnitt 4.4 Fehlerabsch~tzungen fur die n-te Teilsumme der Fourierreihe und fur die Fejerschen arithmeti schen Mittel hergeleitet. In Abschnitt 2.1 geben wir die gebr~uchlichsten Definitionen fur Funktionen von beschr~nkter p-Variation an. Diese zum Teil formal recht unterschiedlichen Definitionen, die nur selten miteinander verglichen wurden, sind jedoch gleich in dem Sinne, daB die Endlichkeit der verschiedenen p-Variationen fur ein festes p immer zur gleichen Funktionenklasse fuhrt. Fur unsere Zwecke ist jedoch die in Abschnitt 2.2 gegebene Definition (Definition 1) am besten geeignet, da sie fur 2rr-periodische Funktionen den Wert der p-Variation unabh~ngig von dem jeweils zugrundegelegten Intervall der L~nge 2rr bestimmt (vgl. (2.6)). Diese Translationsinvarianz ist n~mlich fundamental fur die Gultigkeit von Jackson- und Bernstein-Ungleichungen, die in Abschnitt 4.3 benotigt werden. In Abschnitt 2.3 wird kurz auf die Verallgemeinerung der p-Variation zur ~-Variation einge- - 2 - gangen, sowie auf die MBglichkeit einer weiteren Verallge meinerung des klassischen Begriffs der totalen Variation einer Funktion hingewiesen. 1m dritten Kapitel besch~ftigen wir uns vor allem mit den Eigenschaften derjenigen Funktionenr~ume, die durch die Be schr~nktheit der p-Variation definiert sind. In Abschnitt 3.1 untersuchen wir diese nach N. Wiener benannten Klassen wP und geben mehrere in der Literatur ubliche Normen fur diese an. Auch hier wir unter dem Gesichtspunkt der R~ume w~hlen Translationsinvarianz diejenige Norm, fur die der Raum ein homogener Banachraum wird und die deshalb fur unsere Zwecke am geeignetsten ist. In Abschnitt 3.2 werden gewisse Teil- r~ume von wP betrachtet. Die Definition der Teilr~ume vP be ruht dabei im wesentlichen auf einer mit wachsendem p, 1 <:p <:"", zunehmende Abschw~chung der absoluten Stetigkeit, so da~ Vi aus den absolut stetigen und V"" aus den gewBhnlich stetigen Funktio nen besteht. Umgekehrt wird bei der Definition der Teilr~ume cP die ubliche Stetigkeitsbedingung versch~rft. Daher steht bei A.P. Terehin [41] ein verallgemeinerter Stetigkeitsmodul (vgl. Abschnitt 2.1) im Vordergrund, der diese Bedingung beschreibt. Fur eine dritte Definition von Teilr~umen W*p bzw. CW*p ist das Verhalten der Funktionen in ihren Unstetigkeitsstellen ma~­ gebend. Wie dann aus der in Lemma 3 angegebenen Tabelle, die die Inklusionen zwischen den hier vorgestellten R~umen angibt, unter anderem ersichtlich ist, sind die R~ume VP, cP und CW*p fur 1 < P <: "" identisch und bestehen aus den in der WP-Topologie stetigen Funktionen (vgl. Lemma 5). Da~ die in Lemma 3 angege benen Inklusionen der R~ume echt sind, wird durch Beispiele be legt. Es ist zu bemerken, da~ wesentliche Teile dieser Ergeb nisse von E.R. Love [27] bewiesen wurden. 1m vierten und letzten Kapitel, in dem Approximationss~tze in den R~umen V~~ untersucht werden, kommen wir schlie~lich zu den Hauptergebnissen dieser Arbeit. Dazu werden in Ab schnitt 4.1 allgemeine Grundlagen und Hilfsmittel bereitge stellt und im folgenden Abschnitt 4.2 dann verifiziert. An dieser Stelle wird dann auch die Translationsinvarianz der - 3 - von uns gew~hlten Norm in wP entscheidend benutzt, da die be notigten Jackson- und Bernstein-Ungleichungen nun so fort aus allgemeinen Ergebnissen fur homo gene Banachr~ume gefolgert werden konnen, also nicht gesondert hergeleitet werden mussen. Mit Hilfe der Translationsoperatoren (vgl. (2.7)) definieren wir analog zu den klassischen F~llen einen Stetigkeitsmodul, der dann auch mit dem K-Funktional (im Sinne von (4.6)) ver ist. In diesem Abschnitt sind wiederum tr~glich Ergebnis~e von E.R. Love von zentraler Bedeutung. In Abschnitt 4.3 er halten wir schlie~lich als Anwendung des allgemeinen Approxi mationssatzes von P.L. Butzer-K. Scherer [14,15] (siehe auch [25]) einen ~quivalenzsatz uber die beste Approximation durch Polynome in der WP-Topologie fur V~n' der einen Jackson-Typ Satz, einen Umkehrsatz vom Bernstein-Typ, einen Satz uber simultane Approximation und einen Satz vom Zamansky-Typ mit den entsprechenden Umkehrungen beinhaltet. In Abschnitt 4.4 werden Lipschitzklassen definiert, die sich bezuglich der Differentiation ihrer Elemente genauso verhalten wie die be kannten klassischen Lipschitzklassen. Aus den bisher ge wonnenen Ergebnissen erhalten wir in Abschnitt 4.5 Konvergenz aussagen fur die n-ten Teilsummen der Fourierreihe S (f) und n fur die Fejerschen arithmetischen Mittel der Fourierreihe 0n(f) von Funktionen fEV~rr' 1,.;p";oo. Fur Funktionen fEV~n' 1";p<oo, konnen wir die bekannte reine Konvergenzaussage lim liS (f)-fll C = 0 n-><'" n fur f E CW~n' 1";p < 00, nun auch mit Konvergenzordnungen versehen (N = Menge der naturlichen Zahlen): falls fELip (a;VP2 ), O<a<s, sEIN, 1";p < 00, (siehe Satz 3). s n Fur die Fejer-Polynome 0n(f) erhalten wir (Satz 4) sogar eine Approximationsaussage in der starkeren WP-Topologie: O(n-1) , a > 1, II ° (f)-fll = O(n -1 log n), a = 1, (n-+- oo), n p o (n -a) , a < 1, - 4 - falls fELip s (a.,vP2 ), O<a.<s, sEIN, l';;p';;oo. Dies ist im 'IT Fall p = das bekannte bestmogliche Ergebnis. 1m Fall p = 1 00 erhalten wir (z.B. fur a. = 1) nicht nur lIon(f)-fIi C = O(n -1 log n) (n+ oo), sondern zusatzlich fur die Ableitungen 2 'IT d 1 f Idu[o (f)(u)-f(u)] Idu = O(n- log n) (n+oo), o n was eine Aussage uber simultane Approximation ist. Fur 1 < P < 00 ist die Aussage von Satz 4 also als intermediare Approximations aussage zwischen den beiden Grenzfallen der gewohnlichen Approximation (p = (0) und der simultanen Approximation (p 1) anzusehen. Zum sei erwahnt, schon in den Arbeiten P.L. Butzer- Schlu~ da~ W. Oberdorster [11;12] Funktionen von beschrankter Variation eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit den Darstellungssatzen von linearen Funktionalen uber C[a,b], C(R), C (R) und C (R) ge- o 00 spielt haben. Es erschien also zweckma~ig, im Anschlu~ an diese Arbeiten Funktionen von beschrankter p-Variation zu untersuchen. Der Beitrag des erstgenannten Verfassers wurde im Rahmen des Forschungsvorhabens "Momentenprobleme, Darstellungssatze fur lineare Funktionale mit Anwendungen", Geschaftszeichen II B7 - FA 5843, vom Minister fur Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen gefordert. Diese Abhandlung stellt einen weiteren Zwischenbericht zu diesem Vorhaben dar. Der Beitrag des zweitgenannten Autors wurde zum Teil durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft (Bu 166/30) unterstutzt. Die Autoren bedanken sich bei Herrn Dr. H.J. Wagner fur das Interesse an diesem Thema, insbesondere in Zusammenhang mit der Arbeit G. Dickmeis [17], die als Vorlaufer dieser Arbeit anzu sehen ist, sowie bei Herrn Professor Dr. P.L. Butzer, Herrn Prof. Dr. E.R. Love (Melbourne) und Herrn Dr. L. Hahn fur die kriti sche Durchsicht des Manuskripts und den vie len wertvollen Hinwei- - 5 - sen, die sehr zum Zustandekommen dieser Arbeit beigetragen haben. Wir danken auch Frau M. Hennekes fur die sorgf~ltige Gestal tung des Manuskripts. 2. Definitionen der p-Variation 2.1 Verschiedene gebr~uchliche Definitionen Zur Definition einer Funktion f: [a,b] +IR von beschr~nkter p-Variation sind in der Literatur mehrere Ans~tze ublich. Viel fach geht man von Zerlegungen Z des abgeschlossenen und be schr~nkten lntervalls [a,b] der reellen Achse IR aus und definiert (l';;p<oo), (2.1) V (fjZ,a,b) = V CfjZ) = p p (p = 00), (2.2) v (f;a,b) = V (f) = sup V (f;Z,a,b). p p Z P Dabei betrachtet M. Bruneau [5,6] (in [5] in Banachraumtermino logie) Zerlegungen Z der Form (2.3) fur die er gem~~ (2.1) V (f,Z) bildet und uber die er in (2.2) p das Supremum nimmt. B.l. Golubov [19] betrachtet dagegen fur (2.1) und (2.2) nur Zerlegungen Z der Form Z {a = x < xl < •.• < x = b} . o n Ebenso verfahren E.R. Love [27], A.P. Terehin [42] und - 6 - und R.N. Siddiqui [36]. In Arbeiten von L.C. Young [48], A.P. Terehin [41,43], B.I. Golubov [21], R.N. Siddiqui [37] und in ahnlicher Form bei N. Wiener [46] wird zunachst in (2.2) nur das Supremum liber die Zerlegungen Z gebildet mit und erhalt somit aus (2.2) die Gro£en VO(f). Mit V (f) be- p p zeichnen sie dann den Grenzwert (2.4) Eine weitere Moglichkeit, Funktionen von beschrankter p Variation einzuflihren, kann man z.B. in E.R. Love -L.C. Young [28] finden. Dort ist n sup{ L I f(bk) - f( ak) I p} IIp k=l (2.5) V (f) . p sup sup I f(bk) - f(ak) I (p = 00), l';;k<n wobei das Supremum liber aIle moglichen endlichen Folgen {(ak,bk)}~=l von paarweise disjunkten offenen Teilintervallen (ak,bk) c [a,b] gebildet wird. Bei allen oben genannten Autoren hei£t eine Funktion f: [a,b] +JR dann von beschrankter p-Variation auf [a,b], wenn gilt V (f) < p 00. Samtliche oben beschriebenen verschiedenen p-Variations begriffe V (f), induziert durch die jeweiligen Betrachtungs p weisen, definieren jedoch stets die gleiche Klasse von Funktio nen (siehe Abschnitt 3.1), wenn auch der Wert von V (f) jeweils p verschieden sein kann. Dies ergibt sich aus elementaren Ab- schatzungen, wie auch aus der folgenden Uberlegung ersichtlich ist. Exemplarisch zeigen wir hier, da£ der Variationsbegriff V (f) nach M. Bruneau gema£ (2.2) endlich ist, wenn die Varia- p - 7 - tion V (r) gem~e (2.4) endlich ist. p Sei also limlS+O+ V~ (r) < co. Dann gibt es eine Zahl MU) > 0 und ein ISo> 0, so dae VIS(n ";MU) fUr aIle IS"; IS . Sei nun Z p 0 eine beliebige Zerlegung der Form (2.3). Setzt man ° } Ml = { x. E Z; I x. 1 - x . I ..; J J + J 0 ° } M2 = { x. E Z; I x. 1 - x . I > ° (=Z\ Ml ), J J + J dann ist n-l V (f;Z) = { l P k=O ~(n ..; vOo(n +2I1fll e«b-a)/0 )l/p..; <co, ° p da die erste Summe durch ein VpU,z') mit Ml c:2' und 112'11 ..; 00 majorisiert werden kann, und da II file := sUPxE[a,b] If(x) I *) ° endlich ist, wenn Vpo(f) endlich ist (vgl. Lemma l(i». Somit ist fUr 1"; p < co alles bewiesen. Fur p = co verUiuft der Beweis analog. *) Die Bezeichnung lIo ll e wird hier nicht nur fUr stetige, sondern allgemeiner auch fUr beschrankte Funktionen benutzt.