Teubner Studienskripten (TSS) Mit der preiswerten Reihe Teubner Studienskripten werden dem Studenten ausgereifte Vorlesungsskripten zur UnterstUtzung des Studiums zur VerfUgung ge stellt. Die sorgfaltigen Darstellungen, in Vorle sungen erprobt und bewahrt, dienen der EiAfOhrung in das jeweilige Fachgebiet. Sie fassen das fUr das Fachstudium notwendige Prasenzwissen zusammen und ermoglichen es dem Studenten, die in den Vor lesungen erworbenen Kenntnisse zu festigen, zu ver· tiefen und weiterfUhrende Literatur heranzuziehen. FUr das fortschreitende Studium k5nnen Teubner Studienskripten als Repetitorien eingesetzt werden. Die auch zum Selbststudium geeigneten Ver5ffent lichungen dieser Reihe sollen darUber hinaus den in der Praxis Stehenden Uber neue Str5mungen der einzelnen Fachrichtungen orientieren. Zu diesem Buch Dieses Skriptum behandelt den zweiten Teil des Fachs "Allgemeine Elektrotechnik" an der Fach hochschule Hamburg. (Der erste Teil ist in TSS 50 dargestellt - weitere Teilgebiete finden sich in TSS 7 und 61.) Es setzt mathematische Grund kenntnisse und die Grundlagen der Gleichstrom technik sowie der elektrischen und magnetischen Felder voraus. Es wiederholt im Anhang die kom plexe Rechnung, die Ortskurventheorie und die Verfahren zur Losung linearer Gleichungssysteme. Dieses auch zum Selbststudium geeignete Skriptum wendet sich mit 150 Beispielen und Ubungsaufga ben an die Studenten der Fachhochschulen und Technischen Universitaten sowie an Interessenten, die ihre Kenntnisse tiber die Berechnung von Wech selstromschaltungen erweitern wollen. Es behan delt die heute wichtigen Berechnungsverfahren, die zur Analyse von Schaltungen benutzt werden. Berechnung von Wechselstromschaltungen Von Professor Dr.-lng. P. Vaske 4. Auflage Mit 167 Bildern, 150 Beispielen und Aufgaben, 11 Tafeln B. G. Teubner Stuttgart 1990 Prof. Dr.-lng. Paul Vaske 1924 in Cloppenburg geboren. 1946 bis 1951 Studium der Elektrotechnik an der Technischen Hochschule Darmstadt. 1951 bis 1959 Leiter einer Entwicklungsgruppe fUr Spalt polmotoren, Universalmotoren und Hausgerate in der AEG Fabrik Oldenburg. Seit 1959 Dozent bzw. Professor fUr Elektrische Maschinen und Allgemeine Elektrotechnik an der Fachhochschule Hamburg. 1961 Promotion an der Tech nischen Hochschule Hannover. ClP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Vaske, Paul: Berechnung von Wechselstromschaltungen / von P. Vaske. - 4. Aufl. - Stuttgart: Teubner, 1990 (Teubner-Studienskripten ; 65 : Elektrotechnik) ISBN-13: 978-3-519-30065-6 e-ISBN-13: 978-3-322-89146-4 DOl: 10.1007/978-3-322-89146-4 NE: GT Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrecht lich geschUtzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders fUr Vervielfalti gungen, tibersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche run@ und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © B. G. Teubner Stuttgart 1980 Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen Vorwort Elektrische Verbraucher werden heute durch Wechselstrom mit elektrischer Energie versorgt, und die meisten nachrichten technischen Gerate enthalten Wechselstromkreise. Die Berech nung von Wechselstromschaltungen stellt daher eine wichtige Aufgabe innerhalb der Elektrotechnik dar. Sie wird meist im Fach 'Grundlagen der Elektrotechnik' gelehrt. Hier werden zunachst die Kennzeichen sinusformiger Wechsel groBen herausgearbeitet und ihre Behandlung in Zeit- und Zeigerdiagrammen sowie mit der komplexen Rechnung darge stellt. Das Verhalten der Grund-Zweipole Wirkwiderstand, In duktivitat und Kapazitat wird ausfuhrlich betrachtet. Mit ihnen werden Parallel- und Reihenschaltungen aufgebaut sowie Ersatzschaltungen abgeleitet. Die allgemeine Behandlung von Wechselstrom-Netzwerken gibt Gelegenbeit, die vom Gleichstrom bekannten Behandlungsver fahren, wie Spannungs- und Stromteilerregel, Netzumformung, Oberlagerungsgesetz, Ersatzquellen sowie Maschenstrom- und Knotenpunktpotential-Verfahren auf den Wechselstrom anzuwen den. Hierbei kann gezeigt werden, wann Zeigerdiagramm oder komplexe Rechnung Vorteile haben. Auch wird die Darstellung des Verhaltens in Ortskurven und Frequenzgangen eingehend behandelt. Bei den Schwingkreisen werden zunachst die idealisierten verlustlosen Schaltungen und ihre Resonanzstellen betrachtet und anschlieBend das Verhalten der verlustbehafteten Schal tung en mit Gute, Bandbreite und Resonanzuberhohung unter sucht. Seine Anwendung findet dies bei Leistungsanpassung und Widerstanstransformation. Die Betrachtung sinusformiger Vorgange mit fester Frequenz wird bald auf veranderbare Frequenzen ausgeweitet. Ebenso werden schon bei den einfachen Wechselstrom-Zweipolen Orts kurven behandelt. - 6 - Komplexe Rechnung und Ortskurventheorie werden als mathema tische Verfahren vorausgesetztj die wichtigen Zusammenhange sind allerdings im Anhang nochmals zusammengestellt. Dort findet man auch weiterfuhrende Literatur. In den Text sind viele Beispiele mit ausfuhrlicher Erklarung des Losungswegs eingestreut. FUr weitere Ubungsaufgaben wer den die Losungen im Anhang mitgeteilt. Auf Beweise und Ab leitungen wird nur eingegangen, wenn diese ein tieferes Ver standnis und Hinweise zur Anwendung der dargestellten Ver fahren vermitteln. Auf diese Weise sollen die GroBenordnun gen der betrachteten Begriffe verdeutlicht und es solI das Verstandnis der physikalischen Zusammenhange gefordert wer den. Der Anfanger hat mit der Wechselstromlehre zuerst meist groBe Schwierigkeitenj er muB daher die Anwendung ihrer Ver fahren in vielen Beispielen uben. Die Normen werden beachtet, soweit sie einander nicht wider sprechen. FUr konstante GroBen und die Betrage der Wechsel stromgroBen werden groBe Buchstaben (z.B. U, I, P, S), fur zeitabhangige GroBen dagegen Kleinbuchstaben (z.B. u, i) oder der Index t (z.B. in St) verwendet. Die Formelzeichen der komplexen GroBen sind unterstrichen (z.B. Q, 1, §, I, ~). Es wird uberall das Verbraucher-Zahlpfeil-Syste'm be nutzt und nur mit GroBengleichungen und den gesetzlichen SI-Einheiten gearbeitet. Hamburg, im Winter 1975 Paul Vaske Vorwort zur 3. Auflage Die Darstellungen wurden den neueren Normen angeglichen - insbesondere beim Phasenwinkel. Ferner wurden Hinweise auf Taschenrechner erganzt. Hamburg, im Herbst 1984 Paul Vaske Inhalt Seite 1. Darstellung sinusformiger WechselgroBen 11 1.1. Zeitfunktion und Zeitdiagramm 11 1.1.1. Kennzeichen von WechselgroBen 12 1.1.2. KenngroBen von Sinus- 12 groBen 1.2. Zeigerdiagramm 17 1.2.1. Zeiger 18 1.2.2. Zahlpfeile 19 1.2.3. Anwendung 20 1.30 Komplexe SinusgroBen 24 1.3.1. Komplexer Drehzeiger 24 1.3.2. Komplexer Festzeiger 25 2. Grundgesetze bei Sinusstrom 29 2.1. Verhalten der Grund-Zweipole 29 2.1.1. Wirkwiderstand 30 2.1.2. Induktivitat 32 2.1.30 Kapazitat 37 2.1.4. Allgemeiner Sinusstrom-Zweipcl 40 2.1.5. Allgemeiner Sinusstromkreis 45 2.2. Parallelschaltung von Grund-Zweipolen 50 2.2.1. Knotenpunktsatz 51 2.2.2. Parallelschaltung von zwei Grund 52 Zweipolen 2.2.3. Allgemeine Parallelschaltung 55 2.2.4. Ortskurven 60 2.3. Reihenschaltung von Grund-Zweipolen 64 2.3.1. Maschensatz 64 2.3.2. Reihenscbaltung von zwei Grund 65 Zweipolen 2.3.3. Allgemeine Reihenschaltung 69 2.3.4. Ortskurven 72 2.4. Ersatzschaltungen 78 2.4.1. Parallel-Ersatzschaltung 78 2.4.2. Reiben-Ersatzschaltung 81 - 8 - Seite 2.~.3. Vergleich der Ersatzschaltungen 86 2.~.4. Umrechnung 86 2.~.5. Graphische Umwandlung 89 3. Sinustrom-Netzwerke 94 3.1. Berechnung einfacher Schaltungen 94 3.1.1. Regeln flir die Anwendung der Kirch- 94 hoffschen Gesetze 3.1.2. Komplexe Spannungs- und Stromteiler- 98 regel 3.1.3. Uberlagerungsgesetz 100 3.1.4. Netzumformung 102 3.1.5. Ersatzquellen 105 3.1.6. Vergleich 108 3.2. Berechnung von Maschennetzen 117 3.2.1. Begriffe 117 3.2.2. Maschenstrom-Verfahren 119 3.2.3. Knotenpunktpotential-Verfahren 123 3.3. Ortskurven 128 3.3.1. Veranderung der Schaltungselemente 128 3.3.2. Frequenzgang 135 ~. Schwingkreise 142 ~.1. Verlustlose Schwingkreise 142 4.1.1. Resonanz 142 4.1.2. Kennleitwert, Kennwiderstand und 145 Verstimmung 4.1.3. Schwingkreise aus drei Blindwider- 146 standen 4.1.4. Reaktanzsatze von Foster 148 4.2. Verlustbehaftete Schwingkreise 157 4.2.1. Verhalten von Leitwert und Wider- 157 stand ~.2.2. Glite und Dampfung 159 4.2.3. Normierung 161 ~.2.4. Bandbreite 162 4.2.5. Ortskurven 165 - 9 - Seite 4.2.6. Resonanzuberhohung 168 4.3. Leistungsanpassung 171 4.3.1. Zusammenwirken von Sinusstrom- 171 Quellen und -Zweipolen 4.3.2. Anpassungsbedingungen 172 4.3.3. Fehlanpassungskreis 176 4.3.4. Resonanztransformation 177 Anhang 182 Weiterfuhrende Bucher 182 Komplexe Rechnung 184 Ortskurven 196 Losungen zu den Ubungsaufgaben 206 Formelzeichen 219 Sachverzeichnis 222 1. Darstellung sinusformiger WechselgroBen Gegenuber der elektrischen Energieversorgung oder elektri schen Informationstechnik mit Gleichstrom hat der Wechsel strom wesentliche Vorteile: Er kann in seiner GroBe trans formiert und Wechselstromenergie kann so uber weite Entfer nungen verlustarm verteilt werden; mit elektromagnetischen Wellen kann man Informationen drahtlos ubertragen. Mehrpha sen-Wechselstromsysteme ermoglichen auBerdem einen geringen Leitungsaufwand und Motoren einfachster Bauart /21/1). Daher wird fast die gesamte elektrische Energie in Dreiphasen Wechselstromgeneratoren gewonnen. Sinusformiger Wechselstrom hat noch besondere Vorzuge: Si nusformige Wechselspannungen u sind in allen linearen Schal tungselementen, wie Wirkwiderstand R, Induktivitat L, Kapa zitat C, auch mit sinusformigen Stromen i verbunden und die Leistung St verlauft dann ebenfalls sinusformig. Generatoren und Transformatoren mit sinusformiger Spannung durfen para l lelgeschaltet werden, ohne daB unzulassige Ausgleichsstrome flieBen. (Allerdings bedarf es einiger MaBnahmen, um im Wechselstromgenerator eine ausreichend sinusformige Spannung zu erzeugen /16/.) AuBerdem ist die Sinusschwingung einfach in einer mathematischen Funktion zu erfassen, wobei ihre Ab leitungen wieder Sinusfunktionen sind. Hieraus ergeben sich auch besonders einfache Behandlungsmethoden. Wir wollen nun zunachst die KenngroBen sinusformiger Wech selgroBen und ihre Beschreibung durch mathematische Funktio nen, Zeit- und Zeigerdiagramme und ihre Behandlung mit der komplexen Rechnung kennenlernen. 1.1. Zeitfunktion und Zeitdiagramm Wah rend stationare Gleichstrome allgemein mit dem groBen Buchstaben I als Formelzeic·hen versehen werden, wendet man fur die Zeitwerte von WechselgroBen kleine Buchstaben bei 1) Siehe Verzeichnis der weiterfuhrenden Bucher im Anhang.