5 BASİT ŞANS ÖRNEKLEMESİ 5.1 Aritmetik ortalamanın tahmini 5.1.1. Aritmetik ortalamanın varyansı 5.1.2. Aritmetik ortalama için güven aralığı 5.1.3. Aritmetik ortalamanın tahmininde örnek hacmi ve duyarlılık arasındaki ilişki 5.2 Toplamın tahmini 5.2.1. Toplamın varyansı 5.2.2. Toplam için güven aralığı 5.2.3. Toplamın tahmininde örnek hacmi ve duyarlılık arasındaki ilişki 5.3. Oranın tahmini 5.3.1. Oranın varyansını 5.3.2. Oran için güven aralığı 5.3.3. Oranın tahmininde örnek hacmi ve duyarlılık arasındaki ilişki Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 1 ÖrneklemeYöntemleri Bu ve bundan sonraki örnekleme yöntemleri incelenirken üzerinde durulacak noktalar sırasıyla; 1. hangi örnekleme yönteminin Niçin? Seçileceği, 2. ilgilenilen parametreler sırasıyla, populasyon ortalaması, populasyon toplamı ve populasyon oranı tahmin edicilerinin bulmak, 3. tahmin edicilerin duyarlılığını değerlendirebilmek amacı ile bu tahmin edicilerin standart hatalarını bulmak, 4. populasyon parametre tahminleri için güven aralıkları oluşturmak. 5. Duyarlılık ve gerekli örneğin hacmini bulmak. Uygulamada bu ikinci adımda yer alır. Örnekleme kuramı sonlu N sayıda populasyon birimi içeren populasyondan n hacimli örnekler seçme ve seçilen örneklerden tahminler yapma yöntemlerini inceler. Her bir örneğin eşit seçilme şansına sahip olduğu seçme işlemine Basit Şans Örneklemesi denir. Örnek Seçimi Basit Şans Sayıları Tablosu En çok kullanılan basit şans sayıları tablosu Kendall ve Smith’in Basit Şans Sayıları Tablosudur. Örneğin; 300 öğrenci olduğunu ve bu öğrencilerin ortalama ağırlığını tahmin etmek için 8 kişilik bir şans örneği seçilmek istendiğini varsayılsın. Öğrencilerin bir listesi yapılmış ve her bir öğrenciye 001’den 300’e kadar seri numarası verilmiş olsun. 300 rakamı üç basamaklı sayı olduğundan önce üç kolon kullanılır. Tesadüfi sayılar tablosundan aşağıdaki sayılar bulunur 231 117 070 092 978 055 433 433 979 891 148 938 615 937 259 389 495 313 726 814 973 367 570 610 113 örnek için aşağıdaki 8 sayı seçilir: 231, 55, 148, 117, 70, 92, 259, 113 ancak yukarıda 25 sayıdan sadece 8 sayı seçilmiş, şans sayılarının yaklaşık 2/3’lük bir kısmı kaybolmuştur. Bunu önlemenin bir yolu seçilen numaralardan sabit bir sayı çıkarmaktır. Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 2 ÖrneklemeYöntemleri Örnekte 300 sabit sayısı belirlenir. Şans Sayıları Sabiti Çıkarma alınan örnek örnek no 231 231 1 055 055 2 148 148 3 389 -300 89 4 973 Atla 117 117 5 433 -300 133 6 983 Atla 495 -300 195 7 367 -300 67 8 Burada sadece 10 sayı seçilerek şans sayıları belirlenmiştir. 5.1. Aritmetik Ortalamanın Tahmini 5.1.1. X’nın tahminleyicisi Örnek ortalaması, populasyon ortalamasının sapmasız, tutarlı ve minimum varyanslı tahmin edicisidir. X1, X2, .....,XN N hacimli populasyon ve x1, x2,......,xn n hacimli örnek olsun; 1 Popülasyon ortalaması : X= X X ......X  N 1 2 N 1 Örnek ortalaması : x  x x .......x  n 1 2 n x’nın populasyon ortalaması X’nın sapmasız bir tahminleyicisi olduğunu göstermek için şu şekilde ifade edilebilir: ˆ X x E(x)=Xx X’nın sapmasız bir tahminleyicisidir. Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 3 ÖrneklemeYöntemleri 5.1.1. Aritmetik ortalamanın Varyans  X’nin Varyansı i Örnekleme teorisinde Xi’nin varyansının iki alternatif tanımı vardır: 2 E(X X)2  1 N X X2 populasyon varyansıdır. İkincisi ise N i i1 1 N S2= (X X)2 şeklinde tanımlanır ve N yerine N-1 kullanılır. N1 i i1  x’nın varyansı X’nin varyansı tanımlandıktan sonra x’nın varyansı aşağıdaki gibi tanımlanır. i 2 E(xE(x))2 E(xX)2 x buradan aşağıdaki ifadelerin sağlandığı görülebilir: Aşağıdaki popülasyona ait varyans tanımları esas olarak teorik sonuçları türetmek için kullanılır. Özellikle varyans analizi ile ilgili tekniklerde S tanımı daha kullanıllıdır. Uygulamalarda ise populasyon varyansı yerine daha çok bunların tahminleri olan örnek varyansları (s) kullaılır. Nn 2  2  * yerine koymaksızın (iadesiz) örnekleme x N1 n Nn S2  2  * yerine koymaksızın (iadesiz) örnekleme x N n 2  2  yerine koyarak (iadeli) örnekleme x n N1 S2  2  * yerine koyarak (iadeli) örnekleme x N n Nn Nn Yukarıdaki ifadelerde ve varyans için sonlu populasyon düzeltme katsayısı (fpc= finite N1 N population correction) olarak adlandırılır. Burada Nn =1-(n/N) N Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 4 ÖrneklemeYöntemleri f=n/N örnekleme oranı olarak adlandırılır. N, n’e oranla büyük olduğunda sonlu populasyon düzeltme katsayısı 1’e yakınsar. f=n/N0.05 ise fpc ihmal edilebilir. f=n/N, %5’ten daha küçük olacak şekilde N belli bir büyüklüğü aştığında, populasyon hacminin standart hatası üzerine etkisi olmayacaktır. Ayrıca iadeli örneklemede 2 N1 S2  * idi. Uygulamalarda hemen hemen tüm durumlarda N yeterince büyüktür ve n N n N1 2 S2 dolayısıyla 1 alınabilir ve iadesiz örneklemede  ifadesine ulaşılır. N n n Takip eden araştırmalarda bu yaklaşım kullanılacak ve esas olarak kullanılacak iki formül aşağıdaki gibi kullanılacaktır. Nn S2 2  * Yerine koymaksızın (iadesiz) örnekleme x N n S2 2  Yerine koyarak (iadeli) x n Alıştırma: X1=1, X2=2, X3=3 populasyonuna sahip olunduğunu ve n=2 hacimli örnekler seçildiği varsayılsın. Hesaplamalar şu sonucu verecektir. 2 E(X X)2  1 N X X2=2/3 N i i1 1 N S2= (X X)2=1 N1 i i1 2’yı hesaplamak için x 2  1 M x X2 orijinal formülü kullanalım. Burada M, tüm mümkün örnek ortalamalarının x M i sayısıdır. Önce yerine koymaksızın (iadesiz) örnekleme durumu incelenmektedir. Örnekler Tablo 5.1 de verimeltedir. Tablo 5.1 Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 5 ÖrneklemeYöntemleri M Örnekler x x-X (x-X )2 1 1,2 1.5 -0.5 0.25 2 1,3 2.0 0 0 3 2,3 2.5 0.5 0.25 0.50 1 1 dolayısıyla 2  0.5= olur. Teorik formülümüzden x 3 6 Nn S2 321 1 1 2  * =  = elde ederiz ve görüldüğü gibi 2  olarak aynı x N n  3 2 6 x 6 sonuç elde edilir. İkinci olarak yerine koyarak (iadeli) örnekleme dikkate alınmaktadır. Örnekler Tablo 5.2 de verilmektedir. M=9 Tablo 5.2 M Örnekler x x-X (x-X )2 1 1,1 1.0 -1.0 1.00 2 1,2 1.5 -0.5 0.25 3 1,3 2.0 0 0 4 2,1 1.5 -0.5 0.25 5 2,2 2.0 0 0 6 2,3 2.5 0.5 0.25 7 3,1 2.0 0 0 8 3,2 2.5 0.5 0.25 9 3,3 3.0 1.0 1.00 3.00 2 xX2/N x 1 1 böylece 2  3= x 9 3 N1 S2 31 1 1 1 2  * = *  elde ederiz ve görüldüğü gibi 2  olarak aynı sonucu x N n 3 2 3 x 3 buluruz. Bununla birlikte uygulamada N genellikle büyük olduğundan 2 S2/n varsayılacaktır. x Not1: Genellikle yerine koyarak örnekleme için elde edilen varyans yerine koymadan örnekleme için elde edilen varyanstan daha büyük olur. Not2: Genellikle gerçek yaşamda S2’nin örnekten elde edilen bir tahmin edicisine ihtiyaç duyulur. Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 6 ÖrneklemeYöntemleri 2’nın tahminleyicisi x Gerçek yaşamdaki uygulamalar için 2’nın bir tahmin edicisinin bulunması gerekir. 2,S2 ye (ya da x x 2ye )bağımlı olduğu için, 2’nın sapmasız bir tahmin edicisini bulma problemi, S2 (ya da 2nin ) x bir tahmin edicisini bulmayı gerektirecektir. S2 nin sapmasız tahmin edicisi daha sonra 2’nın sapmasız x bir tahmin edicisini bulmak için kullanılacak örnek varyansını verecektir. i) Örnek varyansı Uygulamada daha çok örnek varyansı kullanılır 1 s2 = x x2 n>1 n1 i = 0 n=1 biçimindedir. ii) populasyon varyansının sapmasız tahmin edicisi s2,S2(ve 2)nin sapmasız bir tahmin edicisidir. E(s2)= 2 yerine koyarak örnekleme yapıldığında E(s2)=S2 yerine koymaksızın örnekleme yapıldığında Örnekleme genellikle yerine koymaksızın yapıldığı için esas olarak ikinci durum dikkate alınmaktadır. Bununla birlikte, N büyük olduğunda, N-1=N ve dolayısıyla S2=2 olacak, böylece S2 ve yaklaşık olarak eşit olacaktır. Alıştırma: Populasyonun N=3 öğrenciden oluştuğunu ve n=2 hacimli örnekler seçildiğini varsayalım. Öğrencilerin 2$, 3$ ve 4$ paraları olsun. Populasyon varyansı 2 E(X X)2  1 N X X2şeklinde iken örnek varyansı s2= 1 x x2 yerine N i n1 i i1 koyarak örnekleme yapıldığında 2’nin sapmasız bir tahminidir. 2 E(X X)2  1 N X X2=2/3 N i i1 Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 7 ÖrneklemeYöntemleri 1 M Örnekler x s2= x x2 n1 i   1 2,2 2.0 0.0 = (22)2(22)2 /(21)0 ((2-2) 2 2,3 2.5 0.5 3 2,4 3.0 2.0 4 3,2 2.5 0.5 5 3,3 3.0 0.0 6 3,4 3.5 0.5 7 4,2 3.0 2.0 8 4,3 3.5 0.5 9 4,4 4.0 0.0 6.0 E(s2) =s2p(s) 0.00.5.....0.50.0 2 E(s2) =  9 3 E(s2)=2 olur ve dolayısıyla s2 yerine koyarak örnekleme yapıldığında 2nin sapmasız bir tahmin edicisidir. Alıştırma Yerine koymaksızın örnekleme yapıldığı zaman , populasyon varyansı 1 N S2= (X X)2=1 olarak bulunur. Tüm mümkün örnekleri türetelim ve örnekler için s2 yi N1 i i1 hesaplayalım. M=3 1 M Örnekler x s2= x x2 n1 i   1 2,3 2.5 0.5= (22,5)2(32,5)2 /(21)0,5 2 2,4 3.0 2.0 3 3,4 3.5 0.5 0.52.00.5 3.0 Böylece E(s2)=  1 3 3 Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 8 ÖrneklemeYöntemleri Örnekleme yerine konulmaksızın yapıldığı zaman E(s2)=S2=1 dir. s2, S2’nin sapmasız bir tahmin edicisidir denir. s2 nin karekökü 1 s= x x2 örnek standart sapması olarak adlandırılır. s, S’nin sapmasız bir n1 i tahmin edicisi değildir. Ancak n büyük olduğunda (n>30) sapma küçülecek ve s, S’nin tahmin edicisi olarak kullanılabilecektir. 2’nın tahmini x s2 kullanılarak kolaylıkla 2’nin sapmasız bir tahmin edicisi bulunabilir. Formüllerde S2 yerine s2 x koyularak aşağıdaki sonuçlara ulaşılır. Nn s2 (a) ˆ2x  * yerine koymaksızın N n N1 s2 ˆ2x  * yerine koyarak N n s2 ˆ2x  yerine koyarak n (a) nolu eşitliğin sağ tarafının beklenen değeri alınırsa Nn s2 Nn S2 E( * ) * olur ve böylece ˆ2 ,2 nin sapmasız tahmin edicisi olur. Aynı N n N n x x zamanda aşağıdaki notasyon kullanılacaktır: Nn s2 s2= * yerine koymaksızın x N n s2 s2= yerine koyarak x n Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 9 ÖrneklemeYöntemleri 5.1.2. Aritmetik ortalama için güven aralığı Populasyon ortalaması için güven aralığı xz s  X xz s şeklinde ifade edilir. /2 x /2 x Güven aralığı P(x-z <X<x+z )=1- x x şeklinde ifade edilebilir. xX =z duyarlılığı gösterir. x Güven aralığını elde etmek için  ’yı bulmak gereklidir. Temel istatistikte yerine koyarak örnekleme x  için verilen  tanımı  = dir ve ’ya bağlıdır.  ’yı bulmak için önce 2 tanımlanmalıdır. x x n x Alıştırma : Büyük bir öğrenci grubunun ortalama I.Q.’sunu tahmin etmek için n=100 hacimli bir örnek seçilmiş olsun. Örnek ortalaması x=110 ve s=12 puandır. Xiçin %99 güvenilirlik düzeyine (z/2=3) göre güven aralığını elde ediniz. s 12 N=100 , x = 110 , s = 12 , Z=3 s = = =1.2 x n 100 P(xz s  X xz s )=%99 /2 x /2 x P(106.4<X<113.6) = 0,99 Prof.Dr.Levent ŞENYAY V- 10 ÖrneklemeYöntemleri