5 BAB II KAJIAN TEORI Bab ini akan membahas mengenai pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan pembahasan mengenai model Seemingly Unrelated Regression (SUR). Pengertian-pengertian dasar yang akan dibahas pada bab ini adalah: A. Jenis-jenis Data Dalam ekonometri dikenal tiga jenis data yaitu data time series, data cross section dan data panel (Wooldridge, 2004 :5-10). 1. Data time series adalah data yang ditampilkan berdasarkan waktu, seperti data bulanan, data harian, data mingguan atau jenis waktu yang lain. Contoh data time series adalah; a. Data penjualan bulanan sepeda motor di daerah A dari tahun 2000 sampai 2007. b. Data produksi harian bahan baku X pada bulan September 2008. c. Data agregat penjualan tahunan PT ABC untuk periode 2000-2008 2. Data Cross Section adalah data pada satu atau lebih variabel yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu. Contoh data cross section adalah a. Data biaya promosi di sepuluh area pemasaran produk X selama bulan januari 2008. b. Data produksi bahan baku X, Y, Z untuk tahun 2008. 5 6 3. Data Panel adalah gabungan data yang mengandung unsur time series dan cross section. Contoh data panel adalah data penjualan produk X dari tahun 2000 sampai 2006 untuk setiap area penjualan di lima area penjualan yang ada. B. Matriks Matriks memegang peranan yang sangat penting dalam dunia statistika dan matematika. Dengan matriks, penulisan persamaan matematika menjadi lebih singkat dan efektif. Definisi 2.1 (Anton, 2000 : 22) Sebuah matriks adalah susunan persegi panjang atau persegi dari bilangan- bilangan atau variabel. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Penulisan matriks menggunakan huruf tebal dan kapital. 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑗 , 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑗 𝑨 = �𝑎𝑖𝑗� = � � ⋮ ⋮ ⋮ dengan menyatakan entri yang terdapa𝑎t𝑖 1dala𝑎m𝑖2 bar…is i d𝑎a𝑖n𝑗 kolom j pada matriks 𝑎𝑖𝑗 A. Matriks kolom (vektor kolom) adalah matriks yang terdiri dari satu kolom dan n baris, sedangkan yang disebut dengan matriks baris (vektor baris) adalah matriks yang terdiri dari satu baris dan k kolom. 7 Definisi 2.2 (Kolman,1997:13) Dua matriks dan dikatakan sama ( ) jika dan hanya 𝑨 = �𝑎𝑖𝑗� 𝑩 = �𝑏𝑖𝑗� 𝑨 = 𝑩 jika keduanya memiliki orde yang sama dan semua elemen yang bersesuaian (seletak) sama, yaitu jika dan hanya jika ( 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 𝑖 = 1,2,…,𝑚 ;𝑗 = 1,2,…,𝑛) Definisi 2.3 (Anton, 2000 : 23) Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan orde sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang bersesuaian, dan selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang bersesuaian. Matriks-matriks dengan orde berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Definisi 2.4 (Kolman, 1997:14) Jika A adalah suatu matriks dan k adalah sebarang skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k. Penulisan dalam notasi matriks jika maka 𝑨 = �𝑎𝑖𝑗�, (𝑘𝑨)𝑖𝑗 = 𝑘(𝑨)𝑖𝑗 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 Definisi 2.5 (Gujarati, 2004 : 917) Jika A adalah sebuah matriks dan B adalah sebuah matriks , maka hasil kali AB adalah matriks 𝑚𝑥 𝑟yang elemen-elemennya didefinis𝑟ik𝑥a𝑛n sebagai berikut ; untuk mencari ang𝑚go𝑥t𝑛a dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan elemen-elemen 8 yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya yang dihasilkan. Definisi perkalian matriks mensyaratkan bahwa banyak kolom faktor pertama A sama dengan banyak baris faktor kedua B untuk membentuk hasil kali AB. Jika syarat ini tidak terpenuhi, hasil kalinya tidak terdefinisi. Dalam notasi matriks, 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑟 ⎡𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑟⎤ 𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑗 ⋯ 𝑏1𝑛 ⎢ ⎥⎡ ⎤ 𝑨𝑩 = ⎢⎢𝑎⋮𝑖1 𝑎⋮𝑖2 ⋯ 𝑎⋮𝑖𝑟 ⎥⎥⎢⎢𝑏2⋮1 𝑏2⋮2 ⋯ 𝑏2⋮𝑗 ⋯ 𝑏2⋮𝑛⎥⎥ ⎢ ⋮ ⋮ ⋮ ⎥⎣𝑏𝑟1 𝑏𝑟1 ⋯ 𝑏𝑟𝑗 ⋯ 𝑏𝑟𝑛⎦ ⎣𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑟⎦ Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks AB adalah 𝑟 [𝑨𝑩]𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗 = ∑𝑘=1𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 Berikut terdapat beberapa jenis matriks khusus yaitu: 1. Matriks persegi, adalah suatu matriks dengan banyaknya baris m sama dengan banyaknya kolom n (m=n) untuk semua matriks A . Jika m=n, maka A disebut matriks persegi orde n. 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑨 = �𝑎𝑖𝑗� = � � ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 2. Matriks identitas, adalah suatu mat𝑎ri𝑛k1s de𝑎n𝑛g2an ⋯elem𝑎e𝑛n𝑛-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen-elemen lainnya bernilai nol. Biasanya matriks ini diberi simbol I . 9 3. Matriks simetris. Jika matriks , i,j = 1,2,…,n (A merupakan 𝑨 = �𝑎𝑖𝑗� matriks persegi) dan , maka A disebut matriks simetris. Matriks 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 simetris juga dapat didefinisikan sebagai matriks persegi yang simetris terhadap diagonal utamanya. Matriks simetris identik dengan transposnya ( atau . Untuk suatu matriks B orde , dan B ′ ′ ′ 𝑨 = 𝑨 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ) 𝑚𝑥𝑛 𝑩𝑩 𝑩 simetris dengan orde dan . 4. Matriks diagonal, ad𝑚ala𝑥h𝑚 suatu𝑛 𝑥m𝑛atriks dengan elemen-elemen selain pada diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan 5. Matriks nol, adalah suatu 0m.atriks dimana semua elemen mempunyai nilai nol. Biasanya diberi simbol 0. Jika A adalah sebarang matriks dan 0 adalah matriks nol dengan orde sama, maka A+0= A. Definisi 2.6 (Timm, 2002 :28) Jika A adalah sebarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan dan ′ didefinisikan dengan matriks n x m dengan menukar baris dan kolom matrik𝑨s Teorema 2.1 (Timm, 2002 : 28) Untuk matriks-matriks A, B dan skalar k , berlaku sifat-sifat transpos matriks sebagai berikut: 1. ′ ′ 2. (𝑨 ) = 𝑨 ′ ′ ′ 3. (𝑨±𝑩) = 𝑨, de±n g𝑩an k adalah sebarang skalar ′ (𝑘𝑨) = 𝑘𝑨′ 10 4. ′ ′ ′ ( 𝑨𝑩) = 𝑩 𝑨 1. Determinan Matriks Definisi 2.7 (Anton, 2000 :77) Jika A adalah matriks persegi, maka minor entri dinyatakan dengan dan 𝑎𝑖𝑗 𝑀𝑖𝑗 didefinisikan sebagai determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari faktor A. Bilangan 𝑨 dinyatakan sebagai dan 1+𝑗 (−1) 𝑀𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗 dinamakan kofaktor entri . 𝑎𝑖𝑗 Teorema 2.2 (Steven, 2002 : 66) Determinan matriks yang berukuran nxn dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam sua𝑨tu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menjumlahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni untuk setiap dan , maka: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 det(𝑨) = |𝑨| = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 +⋯+𝑎𝑛𝑗𝐶𝑛𝑗 (perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j) dan det(𝑨) = |𝑨| = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2+⋯+𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛 (perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i) 11 Berdasarkan sifat determinan matriks, dapat diturunkan definisi matriks singular dan matriks nonsingular sebagai berikut: Definisi 2.8 (Assauri, 1983 : 78) Jika suatu matriks A, determinannya sama dengan nol atau maka matriks yang demikian disebut sebagai matriks singular, seddeatn(𝑨gk)a=n 0matriks nonsingular yaitu jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol atau . det(𝑨) ≠ 0 2. Invers Matriks Definisi 2.9 (Lay, 1998 :110) Invers dari suatu matriks persegi A didefinisikan sebagai yang memenuhi −1 persamaan berikut: 𝑨 −1 −1 𝑨𝑨 = 𝑨 𝑨 = 𝑰 Teorema 2.3 (Lay, 1998 : 110) Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka (2.1) −1 1 𝑨 = det(𝑨)𝑎𝑑𝑗(𝑨) merupakan transpos dari matriks kofaktor yang terbentuk dari matriks A. 𝑎𝑑𝑗(𝑨) 12 Teorema 2.4 (Johnson, 2007 : 96) Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi dengan orde sama dan memiliki invers, maka: a. −1 ′ ′ −1 b. (𝑨 ) = (𝑨 ) −1 −1 −1 (𝑨𝑩) = 𝑩 𝑨 Teorema 2.5 (Anton, 2000 : 37) Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka: a. dapat dibalik dan −1 −𝟏 −1 b. 𝑨Untuk sebarang skalar (k𝑨 yan)g tid=ak𝑨 sama dengan nol, matriks kA dapat dibalik dan −1 1 −1 (𝑘𝑨) = 𝑘𝑨 3. Perkalian Kronecker (Kronecker Product) Perkalian kronecker antara dua matriks dan dapat dituliskan sebagai 𝑨𝑚𝑥𝑛 𝑩𝑝𝑥𝑞 (Timm , 2002 : 33) Jika 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 dan 𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛 𝑨𝑚𝑥𝑛 = �𝑎𝑖𝑗� = � � 𝑩𝑝𝑥𝑞 = �𝑏𝑖𝑗� = ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑞 , maka perkalian kronecker A dan B adalah 𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑞 ⎛ ⎞ ⋮ ⋮ ⋮ ⎝𝑏𝑝1 𝑏𝑝2 ⋯ 𝑏𝑝𝑞⎠ 13 𝑎11𝑩 𝑎12𝑩 ⋯ 𝑎1𝑛𝑩 (2.2) 𝑎21𝑩 𝑎22𝑩 ⋯ 𝑎2𝑛𝑩 𝑨⨂𝑩 = � � ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑩 𝑎𝑚2𝑩 ⋯ 𝑎𝑚𝑛𝑩 Teorema 2.6 (Greene, 2003 : 825) Jika merupakan matriks berukuran dan berukuran , maka 𝑨 𝑚𝑥𝑚 𝑩 𝑛𝑥𝑛 a. −𝟏 −𝟏 −1 b. (𝑨⨂𝑩) = 𝑨 ⨂ 𝑩 ′ (𝑨⨂𝑩) = 𝑨′⨂𝑩′ 4. Bentuk Kuadratik dan Matriks Definit Definisi 2.10 (Johnston, 1972: 106) Jika diberikan A matriks persegi berukuran yang simetris, dan x merupakan vektor kolom, maka bentuk disebut be𝑛n𝑥tu𝑛k kuadratik (quadratic form) dari A. 𝒙′𝑨𝒙 Definisi 2.11 (Johnston, 1972: 106) Matriks A dikatakan definit positif jika dan hanya jika > 0 untuk semua , dan dikatakan semidefinit positif jika 0 un𝒙tu′𝑨k 𝒙semua x. 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙′𝑨𝒙≥ Definisi 2.12 (Assauri, 1983: 133) Matriks A dikatakan definit negatif jika dan hanya jika < 0 untuk semua , dan dikatakan semidefinit positif jika 0 un𝒙tu′𝑨k 𝒙semua x. 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙′𝑨𝒙≤ 14 Teorema 2.7 (Judge dkk., 1988: 961) Jika A adalah suatu matriks definit positif maka a. definit positif −𝟏 b. T𝑨erdapat sebuah matriks nonsingular P sedemikian sehingga = dan −𝟏 =I. 𝑷′𝑷 𝑨 𝑷𝑨𝑷′ C. Matriks Data Multivariat Secara umum, sampel data pada analisis multivariat dapat digambarkan dalam bentuk sebagai berikut: Variabel-1 Variabel-2 Variabel-j Variabel-p Pengamatan-1 ⋯ ⋯ Pengamatan -2 𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑗 ⋯ 𝑥1𝑝 𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑗 ⋯ 𝑥2𝑝 Pengamatan -i ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑖1 𝑥𝑖2 ⋯ 𝑥𝑖𝑗 ⋯ 𝑥𝑖𝑝 Pengamatan -n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑗 ⋯ 𝑥𝑛𝑝 Bentuk n pengamatan terhadap p variabel dapat ditunjukkan dalam bentuk matriks X dengan n baris dan p kolom berikut: 𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑗 ⋯ 𝑥1𝑝 ⎡𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑗 ⋯ 𝑥2𝑝⎤ ⎢ ⎥ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑿 = ⎢𝑥𝑖1 𝑥𝑖2 ⋯ 𝑥𝑖𝑗 ⋯ 𝑥𝑖𝑝⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎥ keterangan: ⎣𝑥𝑛1 𝑥𝑛2 ⋯ 𝑥𝑛𝑗 ⋯ 𝑥𝑛𝑝⎦ : data pengamatan ke-i pada variabel ke-j 𝑥n 𝑖𝑗 : banyaknya pengamatan p : banyaknya variabel