Wolfgang Fischer Ingo Lieb Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie vieweg studium Aufbaukurs Mathematik Herausgegeben von Gerd Fischer Manfredo P. do Carmo Differentialgeometrie von Kurven und Flachen Wolfgang Fischer/I ngo Lieb Funktionentheorie Wolfgang Fischer / Ingo Lieb Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie Otto Forster Analysis 3 Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Alexander Prestel Einfuhrung in die mathematische Logik und Modelltheorie Grundkurs MathemaTIk Gerd Fischer Otto Forster Lineare Algebra Analysis 2 Gerd Fischer Gerhard Frey Analytische Geometrie Elementare Zahlentheorie Otto Forster U. Friedrichsdorf / A. Prestel Analysis 1 Mengenlehre fur den Mathematiker VIEWEG MATHEMATIK LEXIKON Begriffe/ Definitionen/Satze/ Beispiele fur das Grundstudium Wolfgang Fischer Ingo Lieb Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionentheorie Mit 48 Abbildungen Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Fischer, Wolfgang: Ausgewahlte Kapitel aus der Funktionen theorie/Wolfgang Fischer; Ingo Lieb. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1988. (Vieweg-Studium; 48: Aufbaukurs Mathematik) ISBN-13: 978-3-528-07248-3 e-ISBN-13: 978-3-322-89857-9 DOl: 10.1007/978-3-322-89857-9 NE: Lieb, Ingo:; GT Quellenhinweis: Bild VI-27 (Ikosaedernetz) ist entnommen: C. Caratheodory, Funktionentheorie Bd. 2, Birkhauser, Basel 1950 (Fig. 89, Seite 157). Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann. Aile Rechte vorbehalten © Friedl. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1988 Das Werk einschliel1lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung aul1erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfaltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Satz: Vieweg, Braunschweig und Wiesbaden v InhaItsveneichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VII Leitfaden ................................................. IX Kapitel I Hennitische Metriken und nonnale Familien ................... 1 § 1. Hermitische Metriken .................................... 1 § 2. Das Lemma von Ahlfors ................ ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 3. Bedeckung von Kreisscheiben (Satze von Bloch und Landau) .......... 9 § 4. Normale Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 § 5. Die Satze von Montel und Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 KapitellI Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flachen . . . . . . . . . . . . .. 23 § 1. Analytische Fortsetzung und Homotopie ....................... 24 § 2. Die Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 § 3. Riemannsche Gebiete und vollstandige analytische Fortsetzung . . . . . . . .. 33 § 4. Riemannsche Flachen .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 § 5. Differentialformen...................................... 47 § 6. Die universelle Uberlagerung einer Riemannschen Flache .. . . . . . . . . . .. 52 § 7. Verzweigungspunkte..................................... 61 Kapitel III Hannonische Funktionen und das Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . .. 67 § O. Differenzierbare Rander und differenzierbare Funktionen ............ 67 § 1. Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 § 2. Subharmonische Funktionen ............................... 77 § 3. Das Dirichlet-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 § 4. Glatt berandete Gebiete und das Hopf-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 § 5. Der Hodge-Operator und die Greenschen Formeln ................. 90 § 6. Die Greensche Funktion eines beschrankten Gebietes ............... 95 § 7*. Die Fundamenta1l6sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105 KapitelJV Der Unifonnisiemngssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109 § 1. Der Satz und die Beweismethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110 § 2. Die Greensche Funktion einer Riemannschen Flache . . . . . . . . . . . . . . .. 112 § 3. Der Abbildungssatz ftir positiv berandete Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115 § 4. Harmonische Funktionen auf nicht positiv berandeten Flachen . . . . . . . .. 116 § 5. Der Abbildungssatz ftir nullberandete Flachen ... . . . . . . . . . . . . . . . .. 120 § 6. Anwendungen des Uniformisierungssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121 VI Inha1tsverzeichnis Kapitel V Funktionentheorie im Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 133 § O. Integrierbarkeit........................................ 133 § 1. Das Poisson-Integral ..................................... 138 § 2. Nichttangentiale Konvergenz ............................... 146 § 3. HardY-Raume ho1omorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 152 § 4. Die Poisson-Jensen-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158 § 5. Nullstellen............................................ 162 § 6. Nullstellen der Randfunktion ............................... 169 § 7. Der RaumH1 .•......•••.•.....•.••..••......•..•..... 171 § 8. Das Corona-Theorem .................................... 175 Kapitel VI Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 § 1. Stetige Fortsetzung konformer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188 § 2. Analytische Rander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193 § 3. Das Modulnetz und die Picardschen Satze ... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200 § 4. Abbildungen von Kreisbogenpolygonen ........................ 204 § 5. Die hypergeometrische Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213 § 6. Kreisbogendreiecke und die B10chsche Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224 § 7. Modulfunktionen und Dreiecksgruppen ........................ 228 § 8. Modulfunktionen und elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236 § 9. Abbildungen durch elliptische Funktionen ...................... 242 § 10. Polyeder-Funktionen..................................... 247 Kapitel VII Hilbertriiume und konfonne Abbildungen ................... 253 § 1. Hilbertsche Funktionenraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254 § 2. Holomorphe quadratintegrable Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 257 § 3*. Orthonormalbasen im Bergman-Raum ......................... 262 § 4. Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269 § S. Der Satz von Bell ....................................... 272 § 6. Regularitatssatze ffir den Kreis .............................. 278 § 7. Der Satz von Painleve-Warschawski ........................... 283 § 8. Potentialtheoretische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 287 § 9*. Eine asymptotische Darstellung ffir die Bergman-Projektion ........... 289 § 10*. Der Szego-Kern ........................................ 294 § 11 *. Die Cauchy-Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 301 § 12*. Plemeljsche Formeln ..................................... 30S § 13*. Cauchy-Kern, Szego-Kern und Riemannsche Abbildungsfunktion ....... 313 Literaturverzeichnis .......................................... 318 Wichtige Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 321 Namen-und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322 VII Vorwort Das vorliegende Buch ist einigen Ergebnissen und Methoden der geometrischen Funk tionentheorie gewidmet: Holomorphe Funktionen werden also als spezielle Abbildungen ebener Gebiete angesehen und unter diesem Blickwinkel untersucht. Die Stoffauswahl ist (au~er durch den pers6nlichen Geschmack der Autoren) durch folgende Uberlegungen bestimmt: 1. Da Gebiete durch ihren Rand gegeben werden, ist das Randverhalten konformer Abbildungen ein Hauptthema der Darstellung. Es wird in Kapitel VI bei reell-analytisch berandeten einfach zusammenhangenden Gebieten untersucht; die hier erzielten Ergebnisse erOffnen einen Zugang zu einer gro~en Klasse nichtelementarer analytischer Funktionen (den elliptischen Modulfunktionen und Schwarzschen Dreiecksfunktionen), die ihrerseits mit der klassischen hypergeometrischen Differentialgleichung (VI. § 5) zusammenhangen. 1m siebten Kapitel beweisen wir die Existenz differenzierbarer Fortsetzungen konformer Abbildungen auf den Rand im FaIle glatt berandeter Gebiete beliebigen Zusammenhangs. Der Beweis beruht auf dem Transformationsverhalten des Bergmanschen Projektions operators und ist der komplexen Analysis mehrerer Variablen entlehnt. Das Ergebnis kann dann zum Aufbau einer Theorie der Hardy-Raume auf glatt berandeten Gebieten herangezogen werden - siehe 4 - und ftihrt gleichzeitig zu Regularitatssatzen der Poten tialtheorie - siehe 3. 2. Die Konstruktion der universellen Uberlagerung eines ebenen Gebietes liefert oft entscheidende Informationen tiber das Gebiet selbst; daflir geben wir in Kapitel IV, § 6 typische Beispiele. Wir widmen daher zwei Kapitel (II und IV) der elementaren Theorie Riemannscher Flachen und dem Beweis des Uniformisierungssatzes; der Beweis wird durch Konstruktion der Greenschen Funktion geftihrt, also mit potentialtheoretischen Hilfsmitteln. 3. Methoden der reellen Analysis und der Funktionalanalysis (Integrationstheorie, Hilbertraume, Integraltransformationen) sind flir die hier behandelten Fragen von beson derem Wert; insbesondere wird der enge Zusammenhang zwischen holomorphen und harmonischen Funktionen an mehr Stellen ausgenutzt, als wir aufzahlen k6nnen. AIle ben6tigten Hilfsmittel aus der Theorie harmonischer Funktionen werden im dritten Kapitel (gleich fUr Riemannsche Flachen) bereitgestellt. In Kapitel VII, § 8 k6nnen wir gleichzeitig mit der Randregularitat konformer Abbildungen die Randregularitat des Dirichlet-Problems beweisen (die also hier ein Ergebnis, nicht ein Hilfsrnittel der Funk tionentheorie ist); hier kommt die enge Verzahnung von Funktionentheorie und Poten tialtheorie besonders deutlich zum Ausdruck. 4. Ein Hilfsmittel fUr die konforme Abbildung und gleichzeitig von selbstandigem Interesse ist die Funktionentheorie im Einheitskreis als Beispiel fUr Funktionentheorie auf beschrankten Gebieten. Kapitel V ist einer Einftihrung in diese Theorie gewidmet, VIII Vorwort die bis zum Beweis des Corona-Theorems ftihrt. Diese Oberlegungen konnen mit den Mitteln des siebten Kapitels auf beliebige glatt berandete Gebiete iibertragen werden - wir beschranken uns auf den Fall einfachen Zusammenhangs und begniigen uns dabei mit einer Diskussion des Hardy-Raumes H2 und des zugehorigen Szegoschen Projektions operators. In diesen Rahmen fligt sich auch die genaue Untersuchung der Cauchyschen Integralformel (L 2-Beschranktheit und Plemeljsche Formeln) ein. 5. Die Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlicher wird zwar in diesem Buch nirgends entwickelt, sie motiviert aber an vielen Stellen Stoffauswahl und Darstel lung: eine gauze Reihe der hier behandelten Fragen fiihrt irn hoherdirnensionalen Fall auf tiefliegende und erst teilweise geloste Probleme, und einige unserer Methoden sind in der Theorie sowohl einer als auch mehrerer Variablen anwendbar. Das gilt insbesondere fiir die Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas in Kapitel lund flir die Hilbertraum Methoden im letzten Kapitel. Die Entwicklung der komplexen Analysis mehrerer Variabler in den letzten zwanzig lahren laBt vermuten, daB sie mehr Beziige zur klassischen Funk tionentheorie besitzt, als sich bisher gezeigt haben. Aus dem reichen Gebiet der Funktionentheorie einer Veranderlichen eine ausgewogene Auswahl zu treffen, ist iiberaus schwierig; wir haben es noch nicht einmal angestrebt. Unsere Darstellung kann am ehesten als ein Blick auf die Theorie einer Veranderlichen yom Standpunkt der mehrdirnensionalen komplexen Analysis verstanden werden - die Auswahl sowohl der Ergebnisse als auch der Methoden sind hierdurch bestirnmt. Dem entsprechend haben einige Fragen, die in der Lehrbuchliteratur bisher seltener behandelt worden sind, bei uns einen breiten Raum gefunden; das gilt besonders flir Kapitel VII, aber auch fiir Teile von Kapitel lund V. Zum Ausgleich blieben wichtige Fragenkreise der klassischen Funktionentheorie - auch der geometrischen - vollig unberiicksichtigt. An vielen Stellen konnten wir friiheren Darstellungen der Funktionentheorie folgen. So stiitzen wir uns Mters auf Golusin [Go], in Kapitel VI auch auf die Lehrbiicher von Caratheodory [Cal und Rudin [Ru]; Kapitel V schlieBt eng an Koosis [Ko] an, und fiir die Kapitel I und IV war uns die Darstellung von Ahlfors [Ah] besonders wertvoll. Ober den Inhalt des Buches haben wir mehrfach Vorlesungen (in Bonn, Bremen, Miinster und Princeton) fiir Studenten yom S. Semester an gehalten; die Reaktion der Horer war uns ebenso niitzlich wie die Ratschlage und Hinweise zahlreicher Kollegen. Dipl.-Math. H. Kriete, Dr. K. Leschinger und Prof. Dr. M. Range haben das Manuskript irn ganzen oder in Teilen gelesen und kritisch kommentiert. Unterstiitzt wurde unsere Arbeit durch die Universitaten Bremen und Bonn, die vorlesungsfreie Semester gewiihrten, sowie durch Reisestipendien der Deutschen Forschungsgemeinschaft. Frau B. Leutloff, Frau E. Hiisemann, Frau H. Eckl und Frau H. Pirk haben zahlreiche Varianten des Manuskriptes getippt; Dipl. Mathematikerin I. Michels und Dr. A. StrauB haben uns beirn Korrekturlesen unterstiitzt. - Wir danken sehr herzlich flir all diese Hilfe. Unser be sonderer Dank gilt dem Vieweg-Verlag und vor allem Frau Dipl.-Math. U. Schmickler Hirzebruch flir die sorgfaltige und fachkundige Betreuung des Manuskripts wahrend der Drucklegung. W. Fischer, I. Lieb IX Leitfaden Die Grundlagen der Funktionentheorie, wie sie etwa in Fischer / Lie b [FL] dargestellt sind, werden vorausgesetzt. Die ersten beiden Kapitel erganzen und vervollstandigen den Inhalt von [FL]. Dber die Abhangigkeit der einzelnen Abschnitte voneinander gibt das untenstehende Schema Auskunft. Mit einem Stern" *" markierte Paragraphen sind im Vergleich zu den anderen Abschnitten weniger wichtig (und oft schwieriger); markierte Dbungen sind i. a. besonders schwierig oder umfangreich. Oft sollen solche Dbungsaufgaben den Leser einfach zu eigenem Literatur studium oder selbstandigen Untersuchungen anregen. Die unmarkierten Paragraphen von vier oder fi.inf Kapiteln lassen sich unserer Erfahrung nach in einer einsemestrigen Vorlesung behandeln - im librigen k6nnen die einzelnen Teile des Buches in sehr verschieden artige Vorlesungen eingearbeitet werden oder als Grundlage von Serninaren dienen. Beispiele fUr Auswahlen aus dem Stoff: a) I, II, III. 1-3,5,6, IV b) I, V.1,2, VI c) III, V, VII. GrundJagen der Funktionentheorie, z.B. [FL] I I I Ill. 1-3 II. 1-6 I\ ;1_5~ V.1-2 ~/ ~ Ill. 5-7 II. 7 \ Ill. 4 VI. 6 I VII. 1-7 IV. 1-5 ~ I VII. 8-9 IV.6 ~-- VII. 10-13 V.8 1 Kapitel I Hermitische Metriken und normale Familien Die nichteuklidische Metrik im Einheitskreis ist Beispiel einer hermitischen Metrik negativer Krummung; sie llilit sich unter allen derartigen Metriken durch eine Extremaleigenschaft der Krtimmung charakteri sieren (§§ 1,2). Diese Information, die als Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas angesehen werden kann, liilit sich zum Studium holomorpher Funktionen im Einheitskreis verwenden (Satze von Bloch und Landau in § 3); man erhii.lt dartiber hinaus eine wesentliche Verallgemeinerung des Montel schen Satzes liber beschrankte Funktionenfamilien und damit einen Beweis des Satzes von Picard (§§ 4, 5). Das technische Hauptergebnis dieses Kapitels, Satz 2.2, wurde von L. Ahlfors 1938 verOffentlicht; die Anwendungen in § 3 stammen ebenfalls von ihm. Unsere Darstellung folgt Golusin. Die Satze von Bloch und Landau wurden (mit schwacheren Abschatzungen) von A. Bloch 1925 und E. Landau 1929 bewiesen. § 4 geht auf H. Grauert und H. Reckziegel (1965) zurlick, die Satz 4.1 in allgemeinerer Form aufstellen - vgl. auch Kap. IV, § 6. Die elementare Konstruktion der Metrik in Satz 5.2 stammt eben falls von diesen Autoren; Satz 5.1 wurde ursprlinglich von P. Montel1912 mittels der Theorie der elliptischen Modulfunktionen bewiesen - diesen und weitere Beweise bringen wir im Veriauf des Buches. Der Beweis des Picardschen Satzes geht in dieser Form ebenfalls auf Montel (1912) zuruck; den Satz selbst hat E. Picard 1879 aufgestellt. § 1. Hermitische Metriken Das Schwarzsche Lemma ([FL], IX, Satz 4.1) fand eine besonders anschauliche Interpreta tion in den Begriffen der nichteuklidischen Geometrie: jede holomorphe Abbildung f des Einheitskreises D in sich ist abstandsverktirzend (fiir die nichteuklidische Distanz!), und geht auch nur ein Punktepaar in ein aquidistantes iiber, so ist f ein Automorphismus von D und damit abstandserhaltend. Wir wollen nun, urn das Schwarzsche Lemma zu verallgemeinern und auf tiefliegende Probleme der Funktionentheorie anzuwenden, den geometrischen Begriffsapparat ausbauen. Definition 1.1. i) Eine hermitische Metrik auf einem Gebiet Gist eine stetige Funktion A auf G, die mit Ausnahme isolierter Nullstellen positiv ist. ii) Die Lange eines stilckweise stetig differenzierbaren Weges C in G mit Parametrisie rung r: [a, b] G bezilglich einer hermitischen Metrik A ist die Zahl -7 b SA Sir' A LACC) = (z) Idzl = (t)1 ('y(t)) dt . C a Urn darauf hinzuweisen, d~ hermitische Metriken zur Langendefinition dienen, bezeich nen wir Metriken in der Regel nicht mit A, /J., ... , sondern mit ds = A (z) Idzl