Universidade Federal do Esp´ırito Santo Departamento de Matema´tica Programa de Mestrado Profissional em Matema´tica PROFMAT Augusto C´ezar Tiradentes Monteiro ˜ ´ INTRODUC¸AO AO TREINAMENTO OLIMPICO: UMA PROPOSTA PARA OS ALUNOS DA REDE ´ PUBLICA ESTADUAL Vito´ria-ES 2017 ii ´ AUGUSTO CEZAR TIRADENTES MONTEIRO ˜ ´ INTRODUC¸AO AO TREINAMENTO OLIMPICO: UMA PROPOSTA PARA OS ´ ALUNOS DA REDE PUBLICA ESTADUAL Trabalho apresentado ao Programa de Po´s-Graduac¸˜aoPROFMATdoDeparta- mento de Matem´atica da Universidade Federal do Esp´ırito Santo, como requi- sito para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica. ˆ Orientador: Prof. Dr. VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER Vit´oria-ES 2017 iii ´ AUGUSTO CEZAR TIRADENTES MONTEIRO ˜ ´ INTRODUC¸AO AO TREINAMENTO OLIMPICO: UMA PROPOSTA PARA OS ´ ALUNOS DA REDE PUBLICA ESTADUAL Trabalho apresentado ao Programa de Po´s-Graduac¸˜aoPROFMATdoDeparta- mento de Matem´atica da Universidade Federal do Esp´ırito Santo, como requi- sito para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica. Aprovada em 15 de agosto de 2017. BANCA EXAMINADORA ˆ Prof. Dr. VALMECIR ANTONIO DOS SANTOS BAYER - Orientador Universidade Federal do Esp´ırito Santo Prof. Dr. MOACIR ROSADO FILHO Universidade Federal do Esp´ırito Santo ´ ˜ Profa. Dra. ANDREA GOMES GUIMARAES Universidade Federal Fluminense Vit´oria-ES 2017 iv Agradecimentos A DEUS, que sempre me deu for¸cas para nunca desistir. A minha ma˜e, Aparecida, meu eterno agradecimento. Sempre acreditando em minha capacidade. A minha amada esposa, Vanessa, por ser ta˜o importante na minha vida. Obrigado pela paciˆencia e compreens˜ao. Ao meu orientador, Valmecir, por sua dedica¸ca˜o, competˆencia e especial aten¸ca˜o nas reviso˜es e sugest˜oes. A todos os professores do mestrado que, de alguma forma, contribu´ıram para minha forma¸c˜ao. A CAPES, pelo apoio financeiro concedido. Lista de Figuras 2.1 Nove Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ 2.2 Arvore de Enumerac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Exemplo 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Questa˜o 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Defini¸ca˜o de aˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Aˆngulos de 0◦ e de 360◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ˆ 2.7 Angulo raso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.8 O radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ˆ 2.9 Angulos opostos pelo v´ertice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.10 Retas paralelas cortadas por uma transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.11 Soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ˆ 2.12 Angulo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.13 Diagonais em quadrila´teros, pent´agonos e hexa´gonos . . . . . . . . . . . . 40 2.14 Questa˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.15 Questa˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.16 Questa˜o 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.17 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1 Racioc´ınio L´ogico - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Racioc´ınio L´ogico - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Racioc´ınio L´ogico - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Aritm´etica - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Aritm´etica - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6 Aritm´etica - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7 Aritm´etica - Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8 Aritm´etica - Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 v vi 3.9 Questa˜o 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.10 Problemas de Contagem - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.11 Problemas de Contagem - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.12 Problemas de Contagem - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.13 Problemas de Contagem - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.14 Problemas de Contagem - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.15 Problemas de Contagem - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ˆ 3.16 Angulos - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ˆ 3.17 Angulos - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ˆ 3.18 Angulos - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ˆ 3.19 Angulos - Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ˆ 3.20 Angulos - Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ˆ 3.21 Angulos - Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 ˆ 3.22 Angulos - Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ˆ 3.23 Angulos - Problema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 vii Lista de Tabelas 1.1 Diagn´ostico da Avalia¸c˜ao Objetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Escolhas de Adalberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Sum´ario Agradecimentos iv Lista de Figuras vi Lista de Tabelas vii Resumo x Abstract xi 1 Introdu¸c˜ao 1 1.1 Justificativa e importaˆncia do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Metodologia do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Estrutura da disserta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Diagn´ostico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Sequˆencia Did´atica das Atividades 8 2.1 Resolu¸c˜ao de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Tipologia de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Modelos de Resolu¸ca˜o de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Introdu¸ca˜o ao Racioc´ınio L´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 O que ´e Lo´gica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Conjuntos do Nu´meros Naturais e Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Propriedades dos Nu´meros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 viii ix 2.3.3 Nu´meros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.4 Propriedades dos Nu´meros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Problemas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1 Introduc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.3 Princ´ıpio Multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.4 Problemas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ˆ 2.5 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Defini¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Retas paralelas cortadas por uma transversal . . . . . . . . . . . . . 37 ˆ 2.5.3 Pol´ıgonos e Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Procedimento Experimental 43 3.1 Ana´lises Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Sujeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Institui¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Descri¸ca˜o da aplica¸ca˜o das sequˆencias dida´ticas . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Ana´lise dos resultados das sequˆencias dida´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Introduc¸˜ao ao Racioc´ınio Lo´gico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Conjunto dos Nu´meros Naturais e Inteiros . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.3 Problemas de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ˆ 3.3.4 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Conclus˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Referˆencias Bibliogr´aficas 63 A Anexos 65 A.1 Anexo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A.2 Anexo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 x Resumo As provas da OBMEP - Olimp´ıada Brasileira de Matema´tica das Escolas Pu´blicas – apre- sentam um grau de dificuldade elevado para a maioria dos alunos da rede pu´blica. Al´em disso, nota-se tamb´em a falta de habilidade do professor em preparar os alunos para esse tipo de avalia¸ca˜o. Diante de toda essa problem´atica, dois professores de uma escola pu´- blica do munic´ıpio de Serra – ES desenvolveram a proposta, aqui apresentada, de treino ol´ımpico composto por sequˆencias dida´ticas com um desenvolvimento teo´rico contextua- lizado, seguido de uma lista de problemas ja´ utilizados em provas da OBMEP. Palavras-chave: OBMEP, rede pu´blica, sequˆencias dida´ticas, problemas, matem´atica.