Aufgaben aus der Technischen Mechanik Von Ferdinand Witten bauer o. o. Professor an der k. k. t6Chnischen Hochschule in Graz II. Band Fe s tig ke i tsl ehre 6J 1 Aufgaben nebst LOsungen und einer Formelsammlung Dritte, verbesscrte Auflage Mit 505 Textfiguren Berlin Verlag von Julius Springer 1918 AHe Roohte, insbesondere daB der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten. Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1918 ISBN 978-3-642-51773-0 ISBN 978-3-642-51813-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-51813-3 Vorwort zur 3. Anflage. Auch dieser Band bringt zum iiberwiegenden Teile leichte Auf gaben, die an der Hand von Vorlesungen iiber Festigkeitslehre gelost werden konnen. Eine Formelsammhmg am Schlusse des Buches, auf die in den Losungen oftmals hingewiesen wird, solI den Gebrauch erleichtern. Eine Anzahl von Beispielen wurde der technischen Literatur, insbesondere den Zeitschriften der letzten Jahre entnommen. Ich hofl'e hierdurch die Studierenden zu fruhzeitiger Beniitzung dieser ausgezeichneten Bildungsmittel anzuregen und ihr Interesse fUr die BedUrfnisse der Praxis zu gewinnen. Aber auch dem ausfiihrenden Ingenieur wird dieses Buch vielleicht willkommen sein, wenn er den Wunsch hat, die an der Schule erlangten Kenntnisse wieder aufzufrischen. Von vielen Seiten wurde eine Erweiterung dieser Sammlung gewfinscht. lch habe bei Herausgabe der vorliegenden dritten Auflage diesem Wunsche nach Moglichkeit zu entsprechen gesucht. Beispiele tiber ungleichartiges Material wurden nur so weit auf genommen, als sie ohne Kenntnis der Theorie des Eisenbetonbaues gelost werden konnen. Dieses Gebiet erfordert eine so eigen artige Behandlung, daB es nicht in dem Rahmen der allgemeinen Festigkeitslehre untergebracht werden kann. Immerhin werden einige vorbereitende Beispiele willkommen sein. Bei der Durchsicht dieses Bandes wurde ich von dem Herrn Ingenieur Professor Ric h a r d Can a val in dankenswerter Weise untersttitzt. Graz, im April 1918. F. Wittenbauer. Inhaltsverzeichnis. * Die mit diesem Zeichen versehenen Aufgaben erfordern die Kenntnis der Elemente der Differential- und Integral-Rechnung. Sait.. I. Spannungen und Formanderungen. 1. Ebener Spannungszustand . . 3 Aufgabe 1-17. 2. Raumlicher Spannungszustand 5 Aufgabe 18-32. 3. Dehnungen und Schiebungen . 8 Aufgabe 33-47. 4. Elastizitat des isotropen Korpers. 10 Aufgabe 48-62. ll. No rmalfestigkeit. 1. Festigke,itazahlen und zulassige Spannungen 1:3 Aufgabe 63-70. 2. Zug und Druck . . . . . . . . . . . . . . 14 Aufgabe 71-107. m. Biegungsfestigkeit. 1. Tragheitamomente und Widerstandsmomente . 21 Aufgabe 108-141. 2. Zentrifugrumomente und Hauptachsen Aufgabe 142-163. 3. Biegungsspannung und Biegungsachse 30 Aufgabe 164-176. 4. Der einseitig eingespannte Trager 32 Aufgabe 177-206. S. Der frei aufliegende Trager . . . 37 Aufgabe 207-243. 6. Der Trager mit Uberhitngenden Feldern 4-3 Aufgabe 244-260. 7. Statisch unbestimmte Tril.ger ..... . 47 Aufgabe 261-282. 8. Trager gleiohen Widerstandes gegen Biegung 51 Aufgabe 283-293. Inhaltsverzeichnis. v Selte IV. Normal· und Biegungsfestigkeit. 1. Null-Linie und Kern ..... 53 Aufgabe 294-300. 2. Zug, Druck und Biegung . . 53 Aufgabe 301-322. 3. Knickfestigkeit . . . . . 58 Aufgabe 323-353. V. Schub· und Biegungsfestigkeit. 1. Reiner Schub . . .. ... 64 Aufgabe 354-373. 2. Schub und Biegung . . . 67 Aufgabe 374-390. 3. Drehung .......... . 70 Aufgabe 391-420. 4. Drehung und Biegung. . . . 75 Aufgabe 421-426. VI. Ungleichartiges Material. . . . 77 Aufgabe 427-459. VII. Teehnische Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . .. 83 Aufgabe 460-474. VIII. Die FormlWderungsarbeit. 1. Die Formanderungsarbeit von Stangen, Triigern und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Aufgabe 475-505. 2. Das Prinzip der kleinsten Formanderungsarbeit 92 Aufgabe 506-536. 3. Die Abgeleitete der Formanderungsarbeit 98 Aufgabe 537-544. IX. Gekrnmmte Stl1be. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Aufgabe 545-56G. X. Dynamische Festigkeit. 1. Spannungen in bewegten Ki5rpel'Il . 104 AuIgabe 567-584. 2. Sto13festigkeit und Schwingungen 107 Aufgabe 585-611. Lasungen .... 111 Formelsammlung 381 Bezeichn nngen, welche in diesem Buche venvendet wurden. A = Arbeitsfestigkeit. ABC = Auflagerdrl1cke. B = Bruchlast bei exzentrischem Druck. E = Elastizitatszahl fl1r Zug und Druck (Elastizitatsmodul). Ee = Elastizitatszahl ftir Eisen. Ebd = Elastizitatszahl ftir Beton, Druck. Ebz = Elastizitatszahl fUr Beton, Zug. F = Querschnittsflache. Fo = Reduzierte Querschnittsflache (bei der Schubfestigkeit). G = Elastizitatszahl fllr Schub (Gleitmodul). G = Gewicht. H = Horizontalkraft. J = Tragheitsmoment einer Flache. J x = Tragheitsmoment einer Flache in bezug auf die Achse X. Jxy = Zentrifugalmoment in bezug auf die AchBen X und Y. J1 = maxJ, J2 = minJ, Haupttragheitsmomente. K = Hilfskraft. K = Druckfestigkeit. Kb = Biegungsfestigkeit. Kd = Drehungsfestigkeit. Kk = Knickfestigkeit. Ks = Schubfestigkeit. Kz = Zugfestigkeit. L = Bewegungs-Energie. M = Biegungsmoment. MA ME Me = Auflagermomente in A, B, C. Md = Drehungsmoment. NN = Null-Linie. P = Einzelne Last. P = Tragfahigkeit (zulassige Last). Pk = Knicklast. Q = Ve rteil te Last. Q = Querkraft (Scherkraft, Schubkraft). R = Last parallel zur AchBe. S = Schwingungsfestigkeit. 8 = Flachenmoment (bei der Schubfestigkeit). S = Schwerpunkt. T = Tragheitsmoment eines Korpers. T = Tragheitskraft. Bezeichnungen. VII U = Ursprungsfestigkeit. V = Rauminhalt. W = Widerstandsmoment. a b = Abstitnde einer Last von den Auflagern. abc = Konstanten der ArbeitBfestigkeit. abc = RichtungskonBtanten einer Geraden. at = NeuatmoBph!i.re (Druck von 1 kg auf 1 cmS). b = Breite eines Rechtecks. d = Durchmesser einer Welle. e = Raumdehnung (kubiBches Ausdehnungsverhil.ltnis). 8] eg = Entfernung der Biegungsachse von der meist gezogcnen bezw. gedrllckten Stelle im Querschnitt. f = Durchbiegung eines Tragers. f = Reibungszahl. g = Beschleunigung der Schwere. h = Hohe eines Rechtecks. i = Triigheitshalbmesser fUr Fliichen. i = E1J' Abkllrzung. k = zulassige Druckspannung. kb = zulll.sBigc BicgungBspannung. kd = zulll.sBige DrehungsBpannung. kit = zuliissige Knickspannung. ks = z1.11il.Bsige Schubspannung. kz = zulll.ssige Zl.1gBpannung. kg = Kilogramm. 1 = Spannweite eines Triigers. lr = Reduzierte Lange (bei der Knickfestigkeit). m = Verhaltnis der Langsdehnung zur Querzusammenziehung (PoiBBonBche Konstante). n = mmianx PP (be1' derA rb e'l tsf eBt.i g k C.I t). n = l~ Schlankheitsverhil.ltnis (bei der Knickfestigkeit). 1 . n = dynamischer Faktor (bei der Stof3feBtigkeit). p = Exzentrizitll.t der Normalkraft P eines Querschnitts. p = Gesamtspannung einer Ebene. PIP2Pa = Gesamtspannungen dreier senkrechter Ebenen. q = Last fl1r die Lil.ngeneinheit. r = Halbmesser eines Kreises. i-= Am! der Kraft R. SISg = grof3te Zugspannung bezw. Druckspannung im Querschnitt. t = Zeit. t = Tonne. VIII Bezeiohnungen. Xo = Abstand des Wendepunktes vom Auflager. z = Schwingun~ahl eines Tragers. Ze, Zs = SchwerpunktBabst&nd. S = Sicherheitsgrad (bei der Knickfestigkeit). A = Formll.nderungsarbeit. " = Befestigungszahl (bei der Knickfestigkeit). ,,= ~ Durchmesserverhilltnis eines Kreisringes. "0 = Anstrengungsverhilltnis (Drehung und Biegung~ r = EinheitBgewicht. r = Scbiebung. E=Dehnung. ~ = Verdrebungsbogen fl1r die Langeneinheit. ), = Winkelbeschleunigung. II-= Tetmajerscbe Zahl (bei Knickung und exzentrischem Druck). II-= Ebz:Ebd. 11-0 = B a () hache Zahl (bei Biegungsfestigkeit von GuBeisen). 'JI = Ee: Ebd. p = Krl1mmungshalbmesser. f! = Trllgheitshalbmesser fl1r Korper. a = N ormalspannung. ax = Normalspannung in Richtung der Achse X. al all "8 = Hauptspannungen. 'r = Schubspannung. rx = Schubspannung, welche die Achee X senkrecht schneidet. fP = Verdrehungswinkel f iJ' "" = Abkl1rzung. "" = Winkelgeschwindigkeit. Aufgaben. 1 I. Spannungen nnd Formanderungen. I. Ebener Spannungszustand. 1. In zwei senkrechten Ebenen eines Punktes wirken zwei Schubspannnngen "" und ""I unter den Winkeln a und al gegen die Schnittlinie der heiden Ebenen. In welchem Verhllltnis mtissen "" und ""I stehen? B 2. Zwei zueinander senkrechte Ehenen A C und Be werden nnr von den Schuhspannungen "" beansprucht. Wie groB muB der Winkel IX ge wiihlt werden, wenn die Ebene A B des kleinen Prismas AB C nur von einer Normalspannung be- A'-I.-....r~~ ansprucht werden soIl, und wie groB ist diese? 3. Ein kleines rechtwinkliges Prisma von den Ranten a, b, c wird am Ende mit der Kraft P belastet. Welche Schubspannung "" tritt in der strichlierten Diagonalebene auf? 4. Ein Stab von quadratischem Querschnitt all ragt ein kurzes SUick b aus der Mauer hervor und wird an seinem Ende durch eine Querkraft Q p beansprucht, die sich gleichiOrmig tiber die End Hache verteilt. Man ermittle die N ormalspannung in (J / A der Diagonalebene A B. / 5. Ein kleines gleich /3 / schenkliges, rechtwinkliges I B Prisma von der Rohe b wird von drei auBeren, nor Aufg.4. Aufg.5. malen Kraften im Gleich gewicht erhalten, die sich gleichformig fiber die Flachen verteilen und von denen P bekannt ist. Man Buche die N ormalspannung (J und die Schubspannung 'f einer beliebigen, nnter q> geneigten S&mittebene. 1*