Arcos na Circunferência 1. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,IIeIII, nas figuras a seguir. Admita que: - as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são respectivamente iguais a 2 3 decímetros; - durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam. Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo que representa a base do cilindro. 2. (Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular, uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da praça é a) 125π 175 b) π 125 c) π 250 d) π e) 250π www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 15 3. (Fgv 2013) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e BAˆE60. Se os arcos BPC,CQD e DRE têm medidas iguais, a medida do ângulo BEˆC, indicada na figura por α, é igual a a) 20° b) 40° c) 45° d) 60° e) 80° 4. (Uem 2013) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 u.c. Sejam A, B, C, D e E pontos sobre essa circunferência, nesta ordem, e tais que AD e BE sejam diâmetros. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABD e ACD são triângulos retângulos. 02) O quadrilátero ABDE é um retângulo. 04) A área do triângulo ACD é maior do que 4 u.a. 08) A medida do ângulo AEˆB é a metade da medida do ângulo EOˆD. 3 16) A área do quadrilátero ABDE é maior do que da área do círculo. 4 5. (G1 - cftmg 2013) Considere três circunferências de raio unitário e de centros A, B e C, conforme a figura. Dessa forma, o perímetro da região sombreada, em unidades de comprimento, é π a) . 3 π b) . 2 c) π. d) 2π. www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 15 6. (Insper 2013) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido da equipe que seria responsável pela filmagem dos eventos que lá aconteceriam: “É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual acoplaremos uma câmera de controle remoto. Para que a câmera não precise ficar mudando a calibragem do foco a cada movimentação, o ângulo de abertura com que a câmera captura as imagens do palco deve ser sempre o mesmo, conforme ilustração abaixo. Por exemplo, dos pontos P e P a câmera deve ter o mesmo ângulo de abertura α para o 1 2 palco.” Das propostas de trilho a seguir, aquela que atende a essa necessidade é a) b) c) d) e) www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 15 7. (G1 - cftmg 2013) Um hexágono regular de área 12 cm2 e de centro P foi pintado em duas tonalidades, conforme a figura. A área pintada na tonalidade mais clara, em cm2, é a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 8. (Enem 2012) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 9. (Enem PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC. Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 15 10. (Mackenzie 2012) Na figura, se a circunferência tem centro O e BC = OA, então a razão entre as medidas dos ângulos AÔDe CÔB é 5 a) 2 3 b) 2 c) 2 4 d) 3 e) 3 11. (G1 - ifsp 2011) Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco é 100º e a do arco é 194º. O valor de x, em graus, é a) 53. b) 57. c) 61. d) 64. e) 66. www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 15 12. (Fuvest 2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; (2) AB = OB; (3) CÔD mede α radianos. Nessas condições, a medida de ABˆ O, em radianos, é igual a: a) π - (α/4) b) π - (α /2) c) π - (2α/3) d) π - (3α/4) e) π - (3α/2) 13. (Fgv 2008) Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e E, respectivamente. A medida do menor arco BE na circunferência construída é a) 72°. b) 108°. c) 120°. d) 135°. e) 144°. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 15 14. (Ufrrj 2005) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto O é o centro do círculo de raio 2 m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é a) 2 m. b) 3 m. c) 3 2m. d) 2 5m. e) 2 3m. 15. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os segmentos PB e PD são secantes à circunferência, as cordas AD e BC são perpendiculares e AP = AD. A medida x do ângulo BPD é a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 15 16. (G1 - cftmg 2005) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é a) 70 b) 90 c) 110 d) 130 17. (G1 - cftmg 2005) Na figura, o triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo comprimento é 10 ð cm. Se o lado AB mede 6 cm, a medida do lado BC, em cm, é a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 15 18. (Ufes 2004) Na figura, os segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110 graus e o ângulo CAD mede 45 graus. A medida, em graus, do ângulo APD é a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 19. (Uerj 2003) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura a seguir. Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 metro um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando ð = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é: a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 20. (Enem 2002) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente postos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas. www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 15 Gabarito: Resposta da questão 1: Na figura, temos: 3 tg60 x 1 x a 3 2 3 a4 2 2π 3120 2π 3 y   360 3 Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:  2π 3 daxaxy6 dm  3    Resposta da questão 2: [C] Admitindo R a medida do raio, temos: 4π 100 125 144 rad R . 5 R π Resposta da questão 3: [B] Seja S um ponto do menor arco BE. Como BPCCQDDRE2α, segue-se que BSE3606α. Portanto, como EAB é excêntrico exterior, temos BQEBSE 6α(3606α) EAB 60 2 2 606α180 α 40. www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 15