AAArrrcccooo GGGeeeooodddééésssiiicccooo dddeee SSStttrrruuuvvveee Pep Vañó Piedra DDeeppaarrttaammeennttoo ddee FFííssiiccaa yy QQuuíímmiiccaa IES Andreu Sempere (Alcoi) Índice Introducción Medición de la Tiieerrrraa ppoorr EErraattóósstteenneess Al-BBiirruunnii yy llaa mmeeddiiddaa ddeell ddiiáámmeettrroo ddee llaa TTiieerrrraa Gemma FFrriissiiuuss yy llaa ttrriiaanngguullaacciióónn ddee llaa ccaarrttooggrafía (siigglloo XXVVIIII) RReeddeess ddee ttrriiaanngguullaacciióónn mmooddeerrnnaass.. Willebrord Snell LLaa AAccaaddéémmiiee RRooyyaall ddeess SScciieenncceess ddee PPaarrííss ffuunnddaaddaa eenn 11666666 ((ssiglo XVII) • Jean PPiiccaarrdd ((11662200-1683) yy PPhhiilliippppee ddee LLaa HHiirree.. MMaappaa ddee FFrraanncciiaa Siglo XVIII • MMaauuppeerrttuuiiss ((11669988-1759). Expedición a Laponia • LLaa CCoonnddaammiinnee ((11770011-1774) y Bouguer (1698-11775588)),, JJoorrggee JJuuaann yy AAnnttoonniioo ddee UUllllooaa.. EExxppeeddiicciióónn aall virreinato de Perú • IInnssttrruummeennttaacciióónn 1 Prolongación hacia España del meridiano de Francia.Siglo XIX El elipsoide de Gauss El geoide de Stokes Geodesia. Conceptos generales. Elipsoide de referencia Siglos XX-XXI. La Tierra medida desde el espacio • Método dinámico • Altimetría o triangulación Esferoide de referencia La geodesia espacial y el dato digital Redes GPS1990 Friedrich Georg Wilheilm Struve (1816-1888). Arco Geodésico de Struve Medidas del meridiano a lo largo de la historia Bibliografía Páginas Web 2 Introducción EEElll nnnooodddooo nnnooorrrttteee dddeeelll aaarrrcccooo dddeee SSStttrrruuuvvveee,,, mmmaaarrrcccaaadddooo pppooorrr uuunnn ooobbbeeellliiissscccooo cccooonnnmmmeeemmmooorrraaatttiiivvvooo,,, eeennn FFFuuugggllleeennnaaaeeesss,,, Noruega. LLaa ffoottooggrraaffííaa ddee FF.. BBaannddaarriinn.. © Centro del Patrimmoonniioo MMuunnddiiaall ddee llaa UUNNEESSCCOO EEEsss lllaaa úúúnnniiicccaaa yyy lllaaa ppprrriiimmmeeerrraaa vvveeezzz qqquuueee hhhaaa sssiiidddooo aaaccceeeppptttaaadddaaa uuunnnaaa cccaaannndddiiidddaaatttuuurrraaa tttooopppográfica que cruza diez países: NNNooorrruuueeegggaaa,,, SSSuuueeeccciiiaaa,,, FFFiiinnnlllaaannndddiiiaaa,,, FFFeeedddeeerrraaaccciiióóónnn rrruuusssaaa,,, EEEssstttooonnniiiaaa,,, LLLeeetttooonnniiiaaa,,, LLLiiitttuuuaaannniiiaaa,,, BBiieelloorrrruussiiaa,, MMoollddaavviiaa yy UUccrraanniiaa.. LLaa ffeeddeerraacciióónn iinntteerrnnaacciioonnaall ttooppooggrrááffiiccaa ssee rreeffeerrííaa aa eessttee mmoonnuummeennttoo eenn llooss ssiigguuiieenntteess ttéérrmmiinnooss:: “EEElll aaarrrcccooo gggeeeooodddééésssiiicccooo dddeee SSStttrrruuuvvvrrreee eeesss uuunnnaaa tttrrriiiaaannnggguuulllaaaccciiióóónnn tttooopppooogggrrráááfffiiicccaaa qqquuueee ssseee eeexxxtttiiieeennndddeee dddeeesssdddeee HHHaaammmmmmeeerrrfffeeesssttt eeennn eeelll nnnooorrrttteee dddeee NNNooorrruuueeegggaaa hhhaaassstttaaa eeelll MMMaaarrr NNNeeegggrrrooo,,, cccrrruuuzzzaaannndddooo dddiiieeezzz pppaaaíííssseeesss yyy extendiéndose a lo laarrggoo dde 2882200 kkmm.. LLooss ppuunnttooss ggeeooddééssiiccooss ssee rreeaalliizzaarroonn eennttrree llooss aaañññooosss 111888111666 yyy 111888555555 pppooorrr eeelll aaassstttrrróóónnnooommmooo FFFrrriiieeedddrrriiiccchhh GGGeeeooorrrggg WWWiiilllhhheeelllmmm SSStttrrruuuvvveee yyy oootttrrrooosss,,, rrreeeppprrreeessseeennntttaaa uuunnnaaa dddeee lllaaasss mmmááásss ppprrreeeccciiisssaaasss mmmeeedddiiiccciiiooonnneeesss dddeee uuunnn gggrrraaannn ssseeegggmmmeeennntttooo dddeee uuunnn mmeerriiddiiaannoo.. EEll rreessuullttaaddoo ddee eessttaass mmeeddiicciioonneess aayyuuddóó aa eessttaabblleecceerr uunn vvaalloorr mmááss pprreecciissoo dddeee lllaaa fffooorrrmmmaaa yyy tttaaammmaaañññooo dddeee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa yyy mmmaaarrrcccóóó uuunnn hhhiiitttooo iiimmmpppooorrrtttaaannnttteee eeennn eeelll dddeeesssaaarrrrrrooollllllooo dddeee lllaaasss ccciiieeennnccciiiaaasss dddeee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa yyy lllaaa eeelllaaabbbooorrraaaccciiióóónnn dddeee mmmaaapppaaasss tttooopppooogggrrráááfffiiicccooosss... EEEsss uuunnn eeejjjeeemmmppplllooo eexxttrraaoorrddiinnaarriioo ddee ccoollaabboorraacciióónn cciieennttííffiiccaa eennttrree cciieennttííffiiccooss ddee ddiiffeerreenntteess nnaacciioonnaalliiddaaddeess yyy aaasssiiimmmiiisssmmmooo dddeee cccooolllaaabbbooorrraaaccciiióóónnn eeennntttrrreee dddiiissstttiiinnntttaaasss mmmooonnnaaarrrqqquuuíííaaasss,,, uuunnniiidddaaasss pppooorrr uuunnnaaa mmmiiisssmmmaaa cccaaauuusssaaa ccciiieeennntttííífffiiicccaaa ...EEElll aaarrrcccooo ooorrriiigggiiinnnaaalll tttiiieeennneee 222555888 tttrrriiiááánnnggguuulllooosss ppprrriiinnnccciiipppaaallleeesss cccooonnn 222666555 pppuuunnntttooosss geodésicos”. EEnnttrree llooss mmoonnuummeennttooss iinncclluuiiddooss eenn eell PPaattrriimmoonniioo ddee llaa HHuummaanniiddaadd ddee llaa UUNNEESSCCOO hhhaaayyy aaalllggguuunnnooosss rrreeelllaaaccciiiooonnnaaadddooosss cccooonnn lllaaa ccciiieeennnccciiiaaa... SSSeeegggúúúnnn lllaaa UUUNNNEEESSSCCCOOO,,, ssseee tttrrraaatttaaa dddeee """uuunnnaaa mmmuuueeessstttrrraaa eeexxxtttrrraaaooorrrdddiiinnnaaarrriiiaaa dddeee lllaaa cccooolllaaabbbooorrraaaccciiióóónnn ccciiieeennntttííífffiiicccaaa eeennntttrrreee eeexxxpppeeerrrtttooosss dddeee dddiiissstttiiinnntttooosss pppaaaíííssseeesss,,, aaasssííí cccooommmooo uuunnn eejjeemmpplloo ddee ccooooppeerraacciióónn eennttrree vvaarriiooss mmoonnaarrccaass eeuurrooppeeooss eenn pprroo ddeell pprrooggrreessoo cciieennttííffiiccoo"".. EEll aaarrrcccooo ppprrriiimmmiiigggeeennniiiooo eeessstttaaabbbaaa cccooonnnssstttiiitttuuuiiidddooo pppooorrr 222555888 tttrrriiiááánnnggguuulllooosss yyy 222666555 pppuuunnntttooosss fffiiijjjooosss ppprrriiinnnccciiipppaaallleeesss,,, mmmiiieeennntttrrraaasss qqquuueee eeelll sssiiitttiiiooo iiinnnssscccrrriiitttooo aaaccctttuuuaaalllmmmeeennnttteee eeennn lllaaa LLLiiissstttaaa dddeeelll PPPaaatttrrriiimmmooonnniiiooo MMMuuunnndddiiiaaalll dddeee lllaaa HHuummaanniiddaadd ddee llaa UUNNEESSCCOO ccoommpprreennddee 3344 ddee llooss ppuunnttooss ffiijjooss oorriiggiinnaalleess sseeññaallaaddooss mmmeeedddiiiaaannnttteee pppeeerrrfffooorrraaaccciiiooonnneeesss eeennn rrrooocccaaasss,,, cccrrruuuccceeesss dddeee hhhiiieeerrrrrrooo,,, tttúúúmmmuuulllooosss yyy ooobbbeeellliiissscccooosss... 3 MMaappaa ddeell aarrccoo ggeeooddééssiiccoo de Struve ccoonn llooss ssiittiiooss sseelleecccciioonnaaddooss ddee llaa nnoommiinnaacciióónn.. EEaaccaallaa aapprrooxxiimmaaddaa 1: 6 millones “SSii ssee aacceeppttaa llaa vveerrddaadd lliitteerraall ddee ttooddaass llaass ppaallaabbrraass ddee llaa BBiibblliiaa,, llaa TTiieerrrraa ttiieennee qquuee ssseeerrr ppplllaaannnaaa... LLLooo mmmiiisssmmmooo ooocccuuurrrrrreee cccooonnn eeelll CCCooorrrááánnn... PPPooorrr tttaaannntttooo,,, dddeeeccclllaaarrraaarrr qqquuueee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa eeesss rrreeedddooonnndddaaa eeeqqquuuiiivvvaaallleee aaa dddeeeccciiirrr qqquuueee uuunnnooo eeesss aaattteeeooo... EEEnnn 111999999333,,, lllaaa aaauuutttooorrriiidddaaaddd rrreeellliiigggiiiooosssaaa sssuuuppprrreeemmmaaa ddee AArraabbiiaa SSaauuddíí,, eell jjeeqquuee AAbbddeell-AzizIbnBaaz, emitió uunn eeddiiccttoo oo ffaattwwaa ddeeccllaarraannddoo qqquuueee eeelll mmmuuunnndddooo eeesss ppplllaaannnooo... TTTooodddooo eeelll qqquuueee cccrrreeeaaa qqquuueee eeesss rrreeedddooonnndddooo nnnooo cccrrreeeeee eeennn DDDiiiooosss yyy dddeeebbbeee ssseeerrr cccaaassstttiiigggaaadddooo... NNNooo dddeeejjjaaa dddeee ssseeerrr iiirrróóónnniiicccooo qqquuueee lllaaa lllúúúccciiidddaaa eeevvviiidddeeennnccciiiaaa dddeee qqquuueee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa eeesss uuunnnaaa eessffeerraa,, iinnffeerriiddaa ppoorr eell aassttrróónnoommoo ggrreeccoo-egipcio del siglo II Cllaauuddiioo PPttoolloommeeoo, fuese tttrrraaannnsssmmmiiitttiiidddooo aaa OOOcccccciiidddeeennnttteee pppooorrr aaassstttrrróóónnnooommmooosss mmmuuusssuuulllmmmaaannneeesss yyy ááárrraaabbbeeesss... EEEnnn eeelll sssiiiggglllooo IIIXXX bbbaaauuutttiiizzzaaarrrooonnn aaalll llliiibbbrrrooo dddeee PPPtttooolllooommmeeeooo,,, eeennn eeelll qqquuueee ssseee dddeeemmmuuueeessstttrrraaa lllaaa eeesssfffeeerrriiiccciiidddaaaddd dddeee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa,,, ccoommoo eell AAllmmaaggeessttoo,, ""eell mmááss ggrraannddee". (Carl Sagan: EEll mmuunnddoo yy ssuuss ddeemmoonniiooss) 4 HHiissttóórriiccaammeennttee ssee ssuuppuussiieerroonn mmúúllttiipplleess ffoorrmmaass:: CCCooonnnccceeepppccciiióóónnn dddeee lllaaa tttiiieeerrrrrraaa eeennn eeelll uuunnniiivvveeerrrsssooo ssseeegggúúúnnn aaannntttiiiggguuuaaasss ccciiivvviiillliiizzzaaaccciiiooonnneeesss aaasssiiiááátttiiicccaaasss LLLooosss hhhiiinnndddúúúeeesss cccrrreeeíííaaannn qqquuueee eeessstttaaabbbaaa aaafffiiirrrmmmaaadddaaa eeennn lllooosss lllooommmooosss dddeee cccuuuaaatttrrrooo eeellleeefffaaannnttteeesss qqquuueee ssseee sseennttaabbaann ssoobbrree uunnaa ttoorrttuuggaa ggiiggaanntteessccaa.. La primerrraaa pppeeerrrsssooonnnaaa qqquuueee,,, aaalll pppaaarrreeeccceeerrr,,, sssuuugggiiirrriiióóó qqquuueee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa nnnooo eeerrraaa ppplllaaannnaaa sssiiinnnooo eeesssfffééérrriiicccaaa,,, fffuuueee PPPiiitttááágggooorrraaasss... PPPeeerrrooo AAArrriiissstttóóóttteeellleeesss rrreeesssuuummmiiióóó lllaaasss rrraaazzzooonnneeesss,,, pppooosssiiibbbllleeemmmeeennnttteee hhhaaaccciiiaaa -350, las cuales siguen vigentes. AA mmeeddiiddaa qquuee uunnoo ssee traslada al noorrttee,, llaass eessttrreellllaass ssuurrggeenn ppoorr eell hhoorizonte sseepptteennttrriioonnaall,, mmiieennttrraass qquuee ddeessaappaarreecceenn ppoorr eell mmeerriiddiioonnaall yy ccuuaannddoo uunnoo aavvaannzzaa hhaacciiaa eell suuurrr sssuuuccceeedddeee lllooo cccooonnntttrrraaarrriiiooo... LLLaaa sssooommmbbbrrreee dddeee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa sssooobbbrrreee lllaaa LLLuuunnnaaa ddduuurrraaannnttteee uuunnn eeecccllliiipppssseee llluuunnnaaarrr eeesss siempre un arco. Cuando los barcos zarpan y se internan eenn eell mmaarr,, eell ccaasscco siempre pppaaarrreeeccceee qqquuueee ssseee ooocccuuullltttaaa aaannnttteeesss qqquuueee lllaaa sssuuupppeeerrreeessstttrrruuuccctttuuurrraaa,,, yyy eeessstttooo sssuuuccceeedddeee aaasssííí eeennn cccuuuaaalllqqquuuiiieeerrr dirección.. TTooddoo eelllloo iinnddiiccaa qquuee llaa TTiieerrrraa eess eessfféérriiccaa.. 5 IImmaaggeenn ddee DDee Sphaera MMuunnddii ((cc.. 11223300)),, ddee JJoohhaannnneess ddee SSaaccrroobboossccoo.. RReemmoonnttáánnddoonnooss aa llaa civilización griega,, ddiiggaammooss qquuee ssee iimmaaggiinnaabbaa llaa TTiieerrrraa ccoommoo un disco plano rrooddeeaaddoo ppoorr eell rrííoo OOccééaannoo ((Homero). Por otro lado, llooss PPiittaaggóórriiccooss y Platón sostenían que era una eessffeerraa ppeerrffeeccttaa por razones filosóficas. Es AArriissttóótteelleess quien aporta eevviiddeenncciiaass ddee llaa ffoorrmmaa eessfféérriiccaa aall oobbsseerrvvaarr qquuee eenn llooss eclipses de Luna la sombra ppprrroooyyyeeeccctttaaadddaaa pppooorrr nnnuuueeessstttrrrooo ppplllaaannneeetttaaa eeesss ccciiirrrcccuuulllaaarrr... AAArrriiissstttóóóttteeellleeesss fffuuueee eeelll ppprrriiimmmeeerrr hhhooommmbbbrrreee qqquuueee sssuuupppooo expresssaaarrr cccooonnn ccclllaaarrriiidddaaaddd qqquuueee cccuuuaaannntttooo hhhaaayyy sssooobbbrrreee lllaaa TTTiiieeerrrrrraaa eeesss aaatttrrraaaííídddooo hhhaaaccciiiaaa eeelll ccceeennntttrrrooo,,, yyy lllaaa fffuuueeerrrzzzaaa qquuee hhaaccee ttaall ccoossaa ppoossiibbllee ssee llllaammaa gravedad;; ggrraacciiaass aa eelllloo llooss hhaabbiittaanntteess ddeell hheemmiissffeerriioo sssuuurrr nnnooo ssseee cccaaaeeennn... AAA pppaaarrrtttiiirrr dddeee eeesssttteee mmmooommmeeennntttooo,,, lllaaa cccuuueeessstttiiióóónnn qqquuueee ssseee ppplllaaannnttteeeaaa eeesss lllaaa dddeee su tamaño. Eratóstenes de Cirene EEErrraaatttóóósssttteeennneeesss fffuuueee eeelll ppprrriiimmmeeerrr ccciiieeennntttííífffiiicccooo qqquuueee uuutttiiillliiizzzóóó lllaaasss hhheeerrrrrraaammmiiieeennntttaaasss dddiiissspppooonnniiibbbllleeesss eeesss lllaaa época, es decir, ppaallooss,, oojjooss,, ppiieess yy ssuu cceerreebbrroo.. LLaa pprriimmeerraa ccoonncclluussiióónn qquuee eexxttrraajjoo ffuuee qquuee, definitivamente, llaa TTiieerrrraa nnoo ppooddííaa sseerr planaaa,,, pppooorrrqqquuueee sssiii aaasssííí lllooo fffuuueeerrraaa,,, eeelll SSSooolll ppprrroooddduuuccciiirrríííaaa sssooommmbbbrrraaasss dddeee iiiggguuuaaalll lllooonnngggiiitttuuuddd pppaaarrraaa dddooosss pppooosssttteeesss ccoollooccaaddooss eennttrree ssíí aa ddiiffeerreenntteess ddiissttaanncciiaass.. La segunda, que EEErrraaatttóóósssttteeennneeesss mmmiiidddiiióóó lllaaa ccciiirrrcccuuunnnfffeeerrreeennnccciiiaaa ttteeerrrrrreeessstttrrreee pppooorrr ppprrriiimmmeeerrraaa vvveeezzz cccooonnn ggrraann eexxaaccttiittuudd eenn uunnaa ééppooccaa eenn llaa qquuee mmuuyy ppooccaa ggeennttee ppeennssaabbaa qquuee eell mmuunnddoo nnoo eerraa plano como una mesa. PPeerroo,, ¿cómo lo hizo? ¿enn qquuéé ssee bbaassóó ppaarraa hhaacceerr llaa mmeeddiiddaa ddeell rraaddiioo ddee llaa eessffeerraa tteerrrreessttrree?? EErraattóósstteenneess ssaabbííaa qquuee llooss rraayyooss ssoollaarreess iinncciiddííaann ppeerrppeennddiiccuullaarrmmeennttee,, al comienzo del verano en la ciudad eeggiipcia de Siena (actualmente Asuán), ppoorrqquuee ssuu lluuzz lllleeggaabbaa aall ffoonnddoo ddee uunn pprrooffuunnddoo ppoozzoo.. PPoorr oottrraa ppaarrttee,, eenn Alejandría,, ccuuaallqquuiieerr ppoossttee,, ccoollooccaaddoo vveerrttiiccaallmmeennttee hhaaccííaa uunnaa ppeeqquueeññaa ssoommbbrraa.. 6 Eratóstenes midió en 7.2º, respecto de la vertical, la inclinación de los rayos solares en Alejandría gracias a la existencia de esa sombra que le llevó a inducir que ese mismo arco separaba ambas ciudades. 7.2º Alejandría 792 km 7.2º 90º 82.8º 7.2º Siena Siena Alejandría Para determinar el radio de la Tierra le faltaba conocer la distancia entre ambas ciudades. Envió a un esclavo para que a pasos midiera tal distancia. El resultado fue de 5040 estadios egipcios, siendo un estadio egipcio 157.2 metros, resultando ser de 792.29 kilómetros. Con una simple proporción, llamando L a la longitud de la circunferencia se tiene que L 360 360 = → L = · 792.29 = 39 614.5 km 792.29 7.2 7.2 Utilizando un valor del número π = 3.14 (recordamos que en aquella época su valor no era totalmente conocido) resulta un radio de: 39614.5 R = = 6308 km 2π Observamos que la medición de la circunferencia terrestre por Eratóstenes tan solo tiene un error de aproximadamente 1% ya que la verdadera circunferencia es 40008 kilómetros. Impresionante. Este método de los arcos ya fue aplicado por Posidonio, (-135-51) que midió el arco entre Rodas y Alejandría, sustituyendo el Sol por la estrella Canopus, pero obtuvo un valor de unos 29 000 km para la circunferencia (unos 4615 km de radio). Al-Biruni y la medida del diámetro de la Tierra 7 Al-Biruni (973-1048) Abũ RRaayyhhããnn MMuuhhaammmmaadd iibbnn AAhhmmeedd aall-Bĩrũnnii nnaacciióó eenn JJoorraassaamm,, aaccttuuaall JJiivvaa eenn Uzbekistán,, eenn eell aaññoo 997733 yy mmuurriióó eenn 11004488 posiblemente en Ghazni, eenn lloo qquuee aaccttuuaallmmeennttee eeesss AAAfffgggaaannniiissstttááánnn... FFFuuueee uuunnnooo dddeee lllooosss gggrrraaannndddeeesss ccciiieeennntttííífffiiicccooosss yyy eeerrruuudddiiitttooosss dddeee lllaaa hhhiiissstttooorrriiiaaa;;; filósofo, mmmaaattteeemmmááátttiiicccooo,,, aaassstttrrróóónnnooommmooo,,, gggeeeóóógggrrraaafffooo,,, aaannntttrrrooopppóóólllooogggooo yyy eeennnccciiiccclllooopppeeedddiiissstttaaa... VVViiiaaajjjóóó eeexxxttteeennnsssaaammmeeennnttteee pppooorrr AAAsssiiiaaa CCCeeennntttrrraaalll yyy eeessscccrrriiibbbiiióóó eeennn ááárrraaabbbeee yyy pppeeerrrsssaaa... HHHiiizzzooo mmmuuuccchhhaaasss cccooonnntttrrriiibbbuuuccciiiooonnneeesss ooorrriiigggiiinnnaaales en aassttrroonnoommííaa yy mmaatteemmááttiiccaa.. EEss ffaammoossoo ppoorr mmeeddiirr eell ttaammaaññoo ddee llaa TTiieerrrraa ccoonn mmaayyoorr precisión qquuee ccuuaallqquuiieerr oottrroo ccoonn aanntteerriioorriiddaadd.. FFuuee ddiissccííppuulloo yy aammiiggoo ddee AAbbuu NNaassrr MMaannssuurr yy mmaannttuuvvoo uunnaa rreellaacciióónn eeppiissttoollaarr bbbaaassstttaaannnttteee iiinnnttteeennnsssaaa cccooonnn eeelll fffiiilllóóósssooofffooo yyy mmmééédddiiicccooo AAAvvviiiccceeennnaaa,,, aaasssííí cccooommmooo cccooonnn eeelll hhhiiissstttooorrriiiaaadddooorrr,,, fffiiilllóóósssooofffooo yyy moralista Ibn MMiisskkaawwaayyhh.. EErraa ccaappaazz ddee hhaabbllaarr vvaarriiooss iiddiioommaass eennttrree llooss qquuee ssee ccuueennttaann eell griego, el hheebbrreeoo,, eell ssiirriioo yy eell bbeerreebbeerr; aauunnqquuee eessccrriibbiióó ssuu oobbrraa eenn ppeerrssaa ((ssuu lleenngguuaa materna) y árabe. En el siglo XI Al-BBiirruunnii ((997733-11004488)),, uunnoo ddee llooss mmaayyoorreess ggeenniiooss ddee llaa cciivviilliizzaacciióónn musulmana, midió el radioo ddee llaa TTiieerrrraa ppoorr uunn pprroocceeddiimmiieennttoo ttaann nnoovveeddoossoo ccoommoo iinnggeenniioossoo trrraaasss dddeeessseeeccchhhaaarrr,,, pppooorrr fffaaallltttaaa dddeee aaapppoooyyyooo,,, eeelll iiinnnttteeennntttooo dddeee cccaaalllcccuuulllaaarrrlllooo pppooorrr lllaaa mmmeeetttooodddooolllooogggíííaaa tttrrraaadddiiiccciiiooonnnaaalll eeennn llaass llllaannuurraass eexxiisstteenntteess aall SS.. WW.. ddeell MMaarr CCaassppiioo.. EEnn ssuu Tahdid eexxpplliiccaa ddeettaallllaaddaammeennttee eell procedimiento seguido. EEnn pprriimmeerr lluuggaarr mmiiddee llaa aallttiittuudd ddee uunnaa mmoonnttaaññaa ssiigguuiieennddoo eell ssiigguuiieennttee ddiiaaggrraammaa eenn qquuee ttaann ssoolloo ssee rreeqquuiieerree ccoonnoocceerr llooss áánngguullooss AA , A y la distancia D. 1 2 8 DtgA tgA AAssíí ppuueess llaa aallttuurraa HH vviieennee ddaaddaa ppoorr H= 1 2 . tgA −tgA 1 2 El propio Al-BBiirruunnii rreeaalliizzóó llaass oobbsseerrvvaacciioonneess eenn uunn ppiiccoo aall SS.. WW.. ddee NNaannddaannaa (((PPPaaakkkiiissstttááánnn)))... LLLooosss rrreeesssuuullltttaaadddooosss ooobbbttteeennniiidddooosss,,, ssseeegggúúúnnn ééélll,,, fffuuueeerrrooonnn pppaaarrreeeccciiidddooosss aaa lllooosss lllooogggrrraaadddooosss pppooorrr lllooosss eeeqqquuuiiipppooosss dddeee aaalll MMMaaa'''mmmuuunnn,,, aaaccceeeppptttaaannndddooo qqquuueee aaaqqquuueeellllllooosss fffuuueeerrrooonnn mmmááásss cccooorrrrrreeeccctttooosss aaa ttteeennnooorrr dddeeelll iinnssttrruummeennttaall eemmpplleeaaddoo.. LLaa ccoonnssiiddeerraacciióónn aanntteerriioorr rreessuullttaabbaa sseerr cciieerrttaa aaddeemmááss ppoorr nnoo hhaabbeerr ttteeennniiidddooo eeennn cccuuueeennntttaaa eeelll vvvaaalllooorrr dddeee lllaaa rrreeefffrrraaacccccciiióóónnn aaalll mmmeeedddiiirrr lllooosss tttrrreeesss ááánnnggguuulllooosss ccciiitttaaadddooosss... EEnn sseegguunnddoo lluuggaarr mmiiddee llaa ddeepprreessiióónn α ddeell hhoorriizzoonnttee sseennssiibbllee,, rreeaalliizzaaddoo ddeessddee eessaa mmoonnttaaññaa yy ccoommoo vveemmooss eenn eell ssiigguuiieennttee ddiibbuujjo: DDiiaaggrraammaa qquuee iilluussttrraa uunn mmééttooddoo pprrooppuueessttoo yy uuttiilliizzaaddoo ppoorr AAll-BBiirruunnii ppaarraa eessttiimmaarr eell rraaddiioo yy llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa ddee llaa Tierra El ángulo α ddee ddeepprreessiión ((eell áánngguulloo ccoonn qquuee vveemmooss eell hhoorriizzoonnttee mmaarrííttiimmoo ddeessddee llaa cima de la montaña) eess ttaammbbiiéénn eell áánngguulloo ccoorrrreessppoonnddiieennttee aall aarrccoo ddee llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa tteerrrreessttrree BBCC qquuee eess aaddeemmááss eell áánngguulloo AAOOCC.. DDee llaa iigguuaallddaadd ppiittaaggóórriiccaa (r +h)2 = r2 + L2 se obtiene r2 + 2rh+ h2 = r2 + L2, siendo L la ddiissttaanncciiaa ddee AA aa CC yy rr eell rraaddiioo ddee llaa TTiieerrrraa.. DDeesspprreecciiaannddoo eell iinnffiinniittééssiimmoo ddee sseegundo orden h2 ((ppuueess ssuu vvaalloorr eess iinnssiiggnniiffiiccaannttee ccoonn rreessppeeccttoo aa llaass oottrraass mmaaggnniittuuddeess)) queda r2 + 2rh = r2 + L2de donde 22rh = L2, y por tanto L= 2rh y como 9 α ≈ sinα ≈tgα = (cid:1)= √(cid:4)(cid:2)(cid:5)= (cid:4)(cid:5) (cid:6) (cid:2) (cid:2) (cid:2) se obtiene que 2h r = . α2 Hoy diríamos, utilizando el mismo diagrama y la trigonometría actual, que r = hcosα . 1−cosα Pero permanece el problema de cómo determinar el ángulo α. Lo ideal sería hacerlo con un taquímetro, pero como no se suele disponer de este instrumento en un lugar de veraneo, puede hacerse de forma un tanto más rústica. Tómese un tubito de al menos 3 m de longitud, llénese de agua, colóquese en dirección hacia el horizonte marítimo y diríjase la visual entre los dos niveles de agua. Se verá que esta no coincide con el horizonte, sino que queda algo por encima. Mídase la variación vertical v (en metros) entre las alturas del agua y v α ≈ radianes 3 El valor del radio de la Tierra dado por Al-Biruni fue de 12851369 codos, es decir, 6 339.9 km, tan solo 16.8 km menos que el valor moderno de 6356.7 km. Siglo XVI: Gemma Frisius y la triangulación de la cartografía 10