Appunti di Analisi matematica Paolo Acquistapace 27 ottobre 2008 Indice 1 Numeri 1 1.1 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Il sistema dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Assioma di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Numeri naturali, interi, razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 La formula del binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.8 Radici n-sime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9 Valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.10 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.11 Geometria nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.12 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2 Successioni 112 2.1 Limiti di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.3 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.4 Criteri di convergenza per le serie . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.5 Assoluta convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2.6 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.7 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.8 Riordinamento dei termini di una serie . . . . . . . . . . . . . 170 2.9 Moltiplicazione di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 3 Funzioni 184 3.1 Spazi euclidei Rm e Cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.2 Funzioni reali di m variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 i 3.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.4 Propriet`a delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 3.5 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4 Calcolo differenziale 238 4.1 La derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 4.2 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.3 Propriet`a delle funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . 265 4.4 Condizioni sufficienti per la differenziabilit`a . . . . . . . . . . 273 4.5 Differenziabilit`a di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . 276 4.6 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 4.7 Confronto di infinitesimi e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . 286 4.8 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 4.9 Massimi e minimi relativi per funzioni di una variabile . . . . 308 4.10 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di piu` variabili . . . . . 317 4.12 Convessit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 5 Calcolo integrale 332 5.1 L’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 5.2 Propriet`a dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.3 Alcune classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . 347 5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale . . . . . . . . . . 353 5.5 Metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 5.6 Formula di Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 5.7 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 6 Equazioni differenziali 383 6.1 Generalit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 6.2 Alcuni tipi di equazioni del primo ordine . . . . . . . . . . . . 397 6.3 Equazioni lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . 404 Indice analitico 411 ii Capitolo 1 Numeri 1.1 Alfabeto greco Un ingrediente indispensabile per lo studente che affronta un corso di analisi matematica `e la conoscenza dell’alfabeto greco, di cui verranno usate a vario titolo gran parte delle lettere (minuscole e maiuscole). Eccolo: alfa α A iota ι I ro ρ P beta β B cappa κ K sigma σ Σ gamma γ Γ lambda λ Λ tau τ T delta δ ∆ mu (mi) µ M iupsilon υ Y epsilon ε E nu (ni) ν N fi ϕ Φ zeta ζ Z csi ξ Ξ chi χ X eta η H omicron o O psi ψ Ψ teta ϑ Θ pi π Π omega ω Ω Esercizi 1.1 1. Scrivere il proprio nome e cognome in lettere greche. 1.2 Insiemi Il concetto di insieme `e un concetto primitivo, quindi non si pu`o definire se non ricorrendo a circoli viziosi; comunque in modo vago ma efficace possiamo dire che un insieme `e una collezione di elementi. Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole A,B,... e gli elementi di un insieme con lettere minuscole 1 a,b,x,t,... . Per evitare paradossi logici, `e bene parlare di insiemi solo dopo aver fissa- to un insieme “universo” X, che `e l’ambiente dentro al quale lavoriamo, e considerarne i vari sottoinsiemi(cio`e gli insiemi A contenuti in X). La scelta dell’ambiente X va fatta di volta in volta e sar`a comunque chiara dal conte- sto. Come si descrive un insieme? Se esso `e finito (ossia ha un numero finito di elementi), e questi elementi sono “pochi”, ci`o pu`o avvenire elencandoli; ma se l’insieme ha “molti” elementi, o ne ha addirittura una quantit`a infinita (si dice allora che l’insieme `e infinito), esso si pu`o descrivere individuando una propriet`a p(x) che gli elementi x dell’universo X possono possedere o no, e che caratterizza l’insieme che interessa. Per esempio, l’insieme A = {1,2,3,4,6,12} `e altrettanto bene descritto dalla propriet`a p(x) = “x `e divisore di 12”, la quale, all’interno dei numeri naturali (che in questo caso costituiscono il nostro universo), contraddistingue esattamente gli elementi dell’insieme A. Introduciamo alcuni simboli che useremo costantemente nel seguito. • x ∈ A significa: x appartiene ad A, ovvero x `e un elemento di A. • A ⊆ B, B ⊇ A significano: A `e contenuto in B, ovvero B contiene A, ovvero ogni elemento di A `e anche elemento di B, o anche A `e sottoinsieme di B. • A = B significa: A coincide con B, ovvero A e B hanno gli stessi elementi, ovvero A ⊆ B e B ⊆ A. • A ⊂ B, B ⊃ A significano: A `e strettamente contenuto in B, ovvero A `e sottoinsieme proprio di B, ovvero ogni elemento di A `e elemento di B ma esiste almeno un elemento di B che non `e elemento di A, ovvero A ⊆ B ma A non coincide con B. Per negare le propriet`a precedenti si mette una sbarretta sul simbolo corri- spondente: ad esempio, x ∈/ A significa che x non appartiene all’insieme A, A 6= B significa che gli insiemi A e B non hanno gli stessi elementi (e dunque 2 vi `e almeno un elemento che sta in A ma non in B, oppure che sta in B ma non in A), eccetera. Sia X un insieme e siano A,B sottoinsiemi di X. Definiamo: • A∪B = unione di A e B, ossia l’insieme degli x ∈ X che appartengono ad A oppure a B (oppure ad entrambi). • A ∩ B = intersezione di A e B, ossia l’insieme degli x ∈ X che appartengono sia ad A che a B. • A\B = differenza fra A e B, ossia l’insieme degli x ∈ X che apparten- gono ad A, ma non a B. • Ac = X \ A = complementare di A in X, ossia l’insieme degli x ∈ X che non appartengono ad A. • ∅ = insieme vuoto, ossia l’unico insieme privo di elementi. Si noti che A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B∩A, ma in generale A\B 6= B\A. Se A∩B = ∅, gli insiemi A e B si dicono disgiunti. Vi sono altre importanti propriet`a degli insiemi e delle operazioni su di es- si, di cui non ci occupiamo qui: ne parleremo di volta in volta quando ci occorreranno. Introduciamo ora alcuni insiemi importanti: • N = insieme dei numeri naturali = {0,1,2,3,4,5,6,7,...}. • N+ = insieme dei numeri naturali diversi da 0 = {1,2,3,4,5,6,7,...}. 3 • Z = insieme dei numeri interi = {0,1,−1,2,−2,3,−3,4,−4,...}. • Q = insieme dei numeri razionali, cio`e di tutte le frazioni p con p ∈ Z, q q ∈ N+. • R = insieme dei numeri reali: su questo insieme ci soffermeremo a √ √ lungo; esso contiene Q, ma anche numeri rrazionali come π,e, 2, 3. • C = insieme dei numeri complessi, cio`e i numeri della forma a + ib, con a,b ∈ R; la quantit`a i si chiama unit`a immaginaria e verifica l’uguaglianza i2 = −1: essa non `e un numero reale. Anche su questo insieme avremo molto da dire. Notiamo che valgono le inclusioni N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. Nelle nostre formule useremo alcuni altri simboli che sono delle vere e proprie abbreviazioni stenografiche, e che andiamo ad elencare. • Il simbolo ∀ significa “per ogni”: dunque dire che “x ∈ B ∀x ∈ A” equivale a dichiarare che ogni elemento di A sta anche in B, cio`e che A ⊆ B. • Il simbolo ∃ significa “esiste almeno un”: dunque affermare che ∃x ∈ A tale che x ∈ B”vuol dire che c’`e almeno un elementodi Ache staanche in B, ossia che A ∩ B non `e vuoto. i due simboli ∀, exists vengono detti “quantificatori esistenziali”. • Il simbolo ∃! significa “esiste un unico“: dunque la frase “∃! x ∈ A tale che x ∈ B” indica che c’`e uno ed un solo elemento di A che sta in B, ossia che A∩B `e costituito da un solo elemento. • Il simbolo : significa “tale che”: dunque l’affermazione “∃! x ∈ A : x ∈ B” ha lo stesso significato dell’enunciato del punto precedente. • Il simbolo =⇒ significa “implica”: quindi la frase x ∈ A =⇒ x ∈ B vuol dire che se x ∈ A allora x ∈ B, ossia A ⊆ B. • Il simbolo ⇐⇒ significa “se e solo se”: si tratta della doppia implica- zione, la quale ci dice che i due enunciati a confronto sono equivalenti. Ad esempio la frase “x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B” indica che A = B. 4 Nel nostro corso non ci occuperemo di questioni di logica formale e non parle- remo di predicati, proposizioni, variabili, tabelle di verit`a, eccetera; cerchere- mo di ragionare secondo il nostro buon senso, affinato (si spera) dalle passate esperienze scolastiche, rimandando al corso di logica la sistemazione rigorosa di questi aspetti. Ci limitiamo ad osservare che la pulizia formale `e sempre utile ma non determinante: l’affermazione di poco sopra “∃x ∈ A : x ∈ B” `e formalmente perfetta ma, se ad esempio A = {n ∈ N : n ≤ 5}, B = {n ∈ N : n2 > 25}, essa risulta inesorabilmente falsa. Come si fa a negare un’affermazione della forma “∀x ∈ A ∃y ∈ B tale che x = y”? Dobbiamo formulare l’esatto contrario dell’enunciato precedente: dunque, a lume di naso, ci sar`a almeno un x ∈ A per il quale, comunque si scelga y ∈ B, sar`a sempre x 6= y; ovvero, “existsx ∈ A tale che ∀y ∈ B risulta x 6= y. Si noti come i quantificatori ∃ e ∀ si siano scambiati di posto. Un’altra importante operazione fra due insiemi X,Y `e il prodotto cartesiano X ×Y: esso `e definito come l’insieme di tutte le coppie (x,y) con x ∈ X e y ∈ Y. Pu`o anche succedere che Y = X, ed in tal caso scriveremo spesso X2 in luogo di X ×X; in questo caso si noti che entrambe le coppie (x,y) e (y,x) appartengono all’insieme X2, e che esse sono diverse l’una dall’altra. Esercizi 1.2 1. Sia A ⊆ R. Scrivere la negazione delle seguenti affermazioni: (i) ∃y ∈ R : x < y ∀x ∈ A, (ii) ∀x ∈ A ∃y ∈ A : x < y, (iii) ∃y,z ∈ R : y < x < z ∀x ∈ A, (iv) ∀x ∈ A ∃y,z ∈ A : y < x < z. 5 2. Elencare gli elementi di ciascuno dei seguenti insiemi: A = (cid:8)k ∈ Z : 1 ∈ Z(cid:9); k B = {k ∈ Z : ∃h ∈ Z : k = 6h}; C = {n ∈ N : ∃m ∈ N : m ≤ 10,n = 6m}; D = (cid:8)n ∈ N : 1 ∈ N(cid:9); n+2 E = {n ∈ N : ∃m ∈ N : n = 3m}; F = {n ∈ N : n+m > 25 ∀m ∈ N}. 3. Dimostrare che (cid:26) x2 −5x+6 (cid:27) x ∈ R : > 0 =]−∞,1[∪[3,+∞[. x2 −3x+2 4. Sono vere le seguenti affermazioni? (i) 1 ∈ {x ∈ R : x2 < 1}, (ii) 0 ∈ {x ∈ R : x2 < 1}, (iii) −1 ∈ {x ∈ R : x2 = 1}, (iv) −2 ∈ {x ∈ R : x2 ≤ 4}. 5. Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R2: A = {(x,y) ∈ R2 : y = 2x}, B = {(y,x) ∈ R2 : y = 2x}, C = {(x,y) ∈ R2 : x = 2y}. 6. Siano A,B,C,D sottoinsiemi di un insieme X. Provare le seguenti relazioni (formule di de Morgan: (i) (A∪B)∩(C ∪D) = (A∩C)∪(B ∩D), (ii) (A×B)∩(C ×D) = (A∩C)×(B ∩D), (iii) (A×B)∪(C ×D) ⊆ (A∪C)×(B ∪D), (iv) (A∪B)\C = (A\C)∪(B \C), (v) (A∩B)\C = (A\C)∩(B \C). 6 1.3 Funzioni Uno dei concetti piu` importanti della matematica, e non solo dell’analisi, `e quello di funzione. Una funzione f `e una corrispondenza (di qualunque na- tura) fra due insiemi X e Y, con l’unica regola di associare ad ogni elemento x di X uno e un solo elemento di Y, che viene indicato con f(x). Si suole scrivere f : X → Y (si legge “f da X in Y”) e si dice che f `e definita su X, a valori in Y. L’insieme X `e il dominio di f, mentre l’immagine, o codominio, di f `e il sottoinsieme f(X) di Y costituito da tutti i punti di Y che sono “immagini” mediante f di punti di X, cio`e sono della forma f(x) per qualche x ∈ X. Pu`o benissimo capitare che uno stesso y sia immagine di diversi punti di X, ossia che si abbia y = f(x) = f(x0) per x,x0 ∈ X e x 6= x0; quello che non pu`o succedere `e che ad un x ∈ X vengano associati due distinti elementi di Y, cio`e che risulti f(x) = y e f(x) = y0 con y 6= y0. Esempi di funzioni appaiono dappertutto: a ciascun membro dell’insieme S degli studenti che sostengono un esame si pu`o associare il relativo voto: questa `e una funzione S → N. Ad ogni citt`a d’Italia si possono associare le temperature minima e massima di una data giornata: questa `e una funzione dall’insieme C delle citt`a capoluogo italiane nel prodotto cartesiano Z2. Ad ogni corridore che porta a termine una data corsa ciclistica si pu`o associare il tempo impiegato, misurato ad esempio in secondi: avremo una funzione a valori in R (se teniamo conto dei decimi, centesimi, millesimi, eccetera). Il grafico di una funzione f : X → Y `e il sottoinsieme del pro- dotto cartesiano X × Y costitui- to da tutte le coppie della for- ma (x,f(x)), cio`e da tutte e so- le le coppie (x,y) ∈ X × Y che risolvono l’equazione y = f(x). Le funzioni si possono “comporre”: se f : X → Y e g : Y → Z sono fun- zioni, ha senso considerare la funzione composta g ◦f : X → Z, definita da g ◦f(x) = g(f(x)) per ogni x ∈ X. Naturalmente, affinch´e la composizione abbia senso, occorre che il codominio di f sia contenuto nel dominio di g. Una funzione si dice iniettiva se a punti distinti vengono associate immagini distinte, ovvero se f(x) = f(x0) =⇒ x = x0. 7