Ana´ lise na Reta Notas de aulas de Matema´tica - 2008 Departamento de Matema´tica - UEL Licenciatura em Matema´tica Prof. Ulysses Sodre´ ii UlyssesSodre´ 2008 [email protected] Notas de aulas de Ana´lise Real constru´ıdas a partir de diversos materiais utilizados em minhas aulas de Ana´lise na Reta na Universidade Estadual de Londrina, no en- tantoeudesejoque elassejamapenasumroteiropara asaulasena˜oesperoquetais notas venham a substituir qualquer livro de Ana´lise na reta. A ordem no material e´ a normalmente utilizada em livros de Ana´lise. Alguns conceitos foram extra´ıdos de alguns livros citados na Bibliografia, mas muitos deles foram fortemente modi- ficados. Em l´ıngua portuguesa existem poucos materiais de dom´ınio pu´blico, mas em l´ıngua inglesa ha´ diversos materiais que esta˜o dispon´ıveis na Internet. Sugeri- mosqueoleitorrealizepesquisasparaobtermateriaisgratuitosparaosseusestudos. Versa˜ocompiladanodia25deFevereirode2008. Pa´gina Matema´tica Essencial “PorqueDeusamouomundodetalmaneiraquedeuoseuFilhounigeˆnito, para que todo aquele que nele creˆ na˜o perec¸a, mas tenha a vida eterna. Porque Deus enviou o seu Filho ao mundo, na˜o para que julgasse o mundo, mas para que o mundo fosse salvo por ele. Quem creˆ nEle na˜o e´ julgado; mas quem na˜o creˆ, ja´ esta´ julgado; porquanto na˜o creˆ no nome dounigeˆnitoFilhodeDeus. Eojulgamentoe´ este: Aluzveioaomundo,e oshomensamaramantesastrevasquealuz,porqueassuasobraseram ma´s. Porque todo aquele que faz o mal aborrece a luz, e na˜o vem para a luz, para que as suas obras na˜o sejam reprovadas. Mas quem pratica a verdade vem para a luz, a fim de que seja manifesto que as suas obras sa˜o feitas em Deus.” A B´ıblia Sagrada, Joa˜o 3:16-21 ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008  C ´ I. AimportaˆnciadaAna´liseReal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Uma visa˜o geral sobre a Ana´lise Real – 1 • I.2 Contagem e medidas: Os nu´meros racionais – 3 • I.3 Relac¸o˜es e Func¸o˜es – 3 • I.4 Raiz quadrada de 2 – 4 • I.5 Nu´meros decimais–4• I.6 A´reasevolumes–5• I.7 Onu´meroPi–6• I.8 Func¸o˜estrigonome´tricas circulares–7• I.9 Soluc¸o˜esdeequac¸o˜eseopapeldacontinuidade–8• I.10 Logaritmos–8 • I.11 Taxadevariac¸a˜o–8• I.12 Crescimentodefunc¸o˜es–9• I.13 Equac¸o˜esdiferenciais –9• I.14 Concluso˜essobreaAna´lisenaReta–10• I.15 Conversacomoaluno–11 II. ElementosdeLo´gicaeConjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.1 Proposic¸o˜es–12• II.2 TautologiaseEquivaleˆnciaLo´gica–16• II.3 Conjuntosdefinidos porproposic¸o˜eslo´gicas–19• II.4 Operac¸o˜escomconjuntosatrave´sdaLo´gica–20• II.5 Quantificadores Lo´gicos – 22 • II.6 Negac¸a˜o de proposic¸o˜es com quantificadores – 23 • II.7 Proposic¸o˜es com valores lo´gicos nume´ricos – 26 • II.8 Conjuntos e suas principais propriedades–28• II.9 Propriedadesparanu´meromaiordeconjuntos–30 III. Relac¸o˜eseFunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III.1 Par ordenado – 31 • III.2 Produto cartesiano – 31 • III.3 Produto de nu´mero por conjunto–32• III.4 Relac¸o˜es–32• III.5 Aplicac¸o˜es–32• III.6 Dom´ınio,contradom´ınio eimagem–32• III.7 Restric¸a˜odeumaaplicac¸a˜o–33• III.8 Extensa˜odeumaaplicac¸a˜o – 33 • III.9 Aplicac¸a˜o injetiva – 34 • III.10 Aplicac¸a˜o sobrejetiva – 34 • III.11 Aplicac¸a˜o bijetiva – 34 • III.12 Compostas de aplicac¸o˜es – 34 • III.13 Imagem direta e inversa de conjunto–36 IV. Conjuntosenumera´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 IV.1 Equivaleˆnciadeconjuntos–38• IV.2 Relac¸a˜odeequivaleˆncia–39• IV.3 Relac¸a˜ode ordem–40• IV.4 Conjuntosfinitoseinfinitos–40• IV.5 Conjuntosenumera´veis–40• IV.6 Propriedadesdosconjuntosenumera´veis–41 V. Oconjuntodosnu´merosreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 V.1 O papel dos nu´meros reais – 44 • V.2 Grupos – 44 • V.3 Corpos – 46 • V.4 Corpos ordenados–48• V.5 OconjuntoNdosnu´merosnaturais–50• V.6 Princ´ıpiodeInduc¸a˜o Matema´tica – 51 • V.7 M´ınimo e Ma´ximo de um conjunto – 56 • V.8 O conjunto Z dos nu´merosinteiros–59• V.9 OconjuntoQdosnu´merosracionais–65• V.10 Oconjunto Rdosnu´merosreais–68 ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 CONTEU´DO iv VI. Sequ¨eˆnciasdenu´merosreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 VI.1 Sequ¨eˆncias reais – 72 • VI.2 Convergeˆncia – 74 • VI.3 Monotonicidade – 78 • VI.4 Subsequ¨eˆncias–79• VI.5 Limitac¸a˜o–80• VI.6 Me´diasusuais–82• VI.7 Me´diasversus progresso˜es – 83 • VI.8 Harmoˆnico global – 83 • VI.9 Desigualdades com me´dias – 84 • VI.10 Aplicac¸o˜es geome´tricas – 85 • VI.11 A construc¸a˜o do nu´mero de Euler – 85 • VI.12 Sequ¨eˆnciasaritme´ticasePA–88• VI.13 Sequ¨eˆnciasgeome´tricasePG–92• VI.14 Propriedadesdassequ¨eˆncias–99• VI.15 Sequ¨eˆnciasdeCauchy–99 VII. Conceitostopolo´gicosnaretareal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 VII.1 Intervalosreais–101• VII.2 Conceitostopolo´gicos–102• VII.3 Conjuntosabertos –104• VII.4 Conjuntosfechados–104• VII.5 Conjuntoscompactos–110 VIII.Se´riesnume´ricasreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VIII.1 Series reais – 113 • VIII.2 Se´ries convergentes – 114 • VIII.3 Crite´rios de con- vergeˆnciadese´ries–116• VIII.4 Operac¸o˜escomse´riesreais–120 IX. Limitesecontinuidadedefunc¸o˜esreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 IX.1 Limitesdefunc¸o˜esreais–121• IX.2 Limiteslaterais–123• IX.3 Limitesinfinitos– 124• IX.4 Teoremassobrelimitesdefunc¸o˜es–125• IX.5 Func¸o˜escont´ınuas–126• IX.6 Propriedades importantes das func¸o˜es cont´ınuas – 130 • IX.7 Continuidade uniforme – 133 X. Derivadasdefunc¸o˜esreais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 X.1 Derivadasefunc¸o˜esdiferencia´veis–134• X.2 Aplicac¸o˜esdasfunc¸o˜esdiferencia´veis –137• X.3 Derivadassucessivas–139 XI. IntegraldeRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 XI.1 Partic¸o˜esdeintervalos–141• XI.2 Propriedadesdasfunc¸o˜esintegra´veis–147• XI.3 OTeoremaFundamentaldoCa´lculo–147 XII. Sequ¨eˆnciaseSe´riesdefunc¸o˜esReais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 XII.1 Sequ¨eˆncias de func¸o˜es – 149 • XII.2 Convergeˆncia uniforme e continuidade – 152 • XII.3 Se´ries de func¸o˜es – 152 • XII.4 Convergeˆncia de se´ries de func¸o˜es – 153 • XII.5 Crite´riosparaconvergeˆnciauniforme–154• XII.6 Se´riesdePoteˆncias–156• XII.7 Se´ries deTayloredeMacLaurin–159 XIII.Integraisimpro´prias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 XIII.1 Integraisimpro´prias–161• XIII.2 Integraisimpro´priasese´riesreais–163• XIII.3 Aplicac¸o˜es dasintegraisimpro´prias–163 ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 ı C ´ I      ˆ ´ “Tu, pore´m, permanece naquilo que aprendeste, e de que foste inteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde a infaˆncia sabes as sagradas letras, que podem fazer-te sa´bio para asalvac¸a˜o,pelaqueha´ emCristoJesus. TodaEscriturae´ divina- menteinspiradaeproveitosaparaensinar,pararepreender,para corrigir,parainstruiremjustic¸a;paraqueohomemdeDeusseja perfeito,eperfeitamentepreparadoparatodaboaobra.” AB´ıblia Sagrada,IITimo´teo3:14-17        I.1. U ˜ A ´ R Apresentamosaqui,umsimplesresumosobreaimportaˆnciadaAna´liseReal,quee´ a a´readaMatema´ticaquetratasobreoformalismoeorigormatema´ticoparajustificar os principais conceitos do Ca´lculo Diferencial e Integral. Uma pequena parte deste materialfoiextra´ıdode[28]. Quandotaisconceitossetornammuitodif´ıceis,e´ necessa´riousarprocessosintuitivos que amenizam tais estudos e neste contexto sa˜o estudados com profundidade os conceitos de varia´vel, limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de func¸o˜escomointensousodeLo´gicaeTeoriadosConjuntos. A Matema´tica e´ decomposta tradicionalmente em treˆs partes: A´lgebra, Geometria e Ana´lise, sendo que a Ana´lise Real e´ a mais nova delas e consiste de ramificac¸o˜es do Ca´lculo,umateoriacriadanose´culoXVIIporNewtoneLeibniz,sendoestefatoum evento´ımparnahisto´riahumana,quefezposs´ıvelaexisteˆnciadaF´ısicaModerna. O interesse pelo Ca´lculo aparece no estudo de algum ca´lculo envolvido em um complicado processo ocorrido natural, em uma ma´quina, na sociedade ou em um mundo ideal. Comec¸amos pela ana´lise do que acontece localmente, sendo que a palavra localmente pode significar um intervalo de tempo muito curto, uma a´rea pequenaoupequenasvariac¸o˜esdequalqueroutraquantidade. Em muitos casos, e´ fa´cil obter a forma com va´rias quantidades dependentes local- menteumasdasoutras. Umaa´reaondeasfo´rmulasexprimemestainterdependeˆncia e´ aa´readeEquac¸o˜esdiferenciais. ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 I.1. UMAVISA˜OGERALSOBREAANA´LISEREAL 2 A segunda tarefa consiste em gerar, a partir de leis simples que regem o aconteci- mentolocal,leismuitomaiscomplicadas,descrevendooacontecimentoglobal. Este passo usualmente envolve a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais, tarefa puramente Matema´tica. Resolver equac¸o˜es diferenciais pode significar coisas distintas que dependem das situac¸o˜es. A`svezes,e´ poss´ıvelobterumafo´rmulaparaasoluc¸a˜o,masomaiscomum e´ garantir que existe uma soluc¸a˜o satisfazendo as condic¸o˜es desejadas e indicar um me´todoparaoca´lculoaproximadodessasoluc¸a˜o. Nenhum desses processos pode fornecer todas as respostas necessa´rias, pois com frequ¨eˆncia se deseja saber como a soluc¸a˜o depende das va´rias quantidades que entram no problema e o que acontece quando estas sofrem pequenas oscilac¸o˜es ou setornammuitograndes. Um exemplo de Isaac Newton. O movimento de nosso sistema solar durante um curto per´ıodo de tempo pode ser descrito da seguinte forma: Todo corpo celeste move-se em direc¸a˜o a cada um dos demais corpos celestes com uma acelerac¸a˜o diretamente proporcional a` massa do outro corpo e inversamente proporcional ao quadradodadistaˆnciaqueoseparadesteoutrocorpo. Com base no comportamento instantaˆneo dos planetas e de seus sate´lites, pode- mos obter os seus movimentos verdadeiros, o que significa resolver as equac¸o˜es diferenciaisdaMecaˆnicaceleste. Va´riasgerac¸o˜esdematema´ticosteˆmdesenvolvidome´todoseficientesparaisto,mas hoje o trabalho pode ser feito com relativa facilidade com o uso de modernos com- putadores,masoscomputadoresna˜opodemnosdizerseosistemasolarpreservara´ asuaformageralnumfuturodistante. Para discutir este problema de estabilidade sa˜o necessa´rias novas investigac¸o˜es teo´ricas. Acrescentamos que tais questo˜es de estabilidade sa˜o muito mais impor- tantesdoquepodeparecera` primeiravista. Desde a criac¸a˜o do Ca´lculo, a Ana´lise penetrou praticamente em todas as a´reas da Matema´tica, tanto por causa de sua intr´ınseca riqueza, quanto pelas suas mu´ltiplas aplicac¸o˜es. Suas subdiviso˜es adquiriram vida pro´pria e com frequ¨eˆncia sa˜o estu- dadascomfinsemsipro´prias. A experieˆncia mostra que a teoria de equac¸o˜es diferenciais quase sempre utiliza os me´todos e ide´ias desenvolvidas nas partes mais remotas da Ana´lise, bem como em outrosramosdaMatema´tica. Algumas disciplinas ativas em Ana´lise, nas quais resultados importantes teˆm sido obtidos recentemente: Teoria da Medida, Func¸o˜es de varia´veis complexas, Ana´lise harmoˆnica,Ana´lisefuncional,Equac¸o˜esdiferenciais,Teoriadasprobabilidades,etc. Na sequ¨eˆncia, apresentaremos algumas situac¸o˜es que justificam a necessidade do estudo da Ana´lise na reta. Tais motivos nem sempre ficam claros quando se estuda oCa´lculoDiferencialeIntegral. ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 I.2. CONTAGEMEMEDIDAS:OSNU´MEROSRACIONAIS 3       I.2. C : O ´ Contaremedirsa˜oatividadesfundamentais,associadasa`Matema´ticaeaMatema´tica espera que exista um sistema onde isto seja poss´ıvel. Esta introduc¸a˜o pretende mostrar ao aluno, alguns problemas encontrados no uso de nu´meros na realizac¸a˜o deumamedida,problemasessesquenosmotivamaoestudodaana´lisereal. = { , , , ,...} O conjunto N 1 2 3 4 dos nu´meros naturais e´ usado em contagens. Alguns chegam a aceitar o zero como um nu´mero natural, o que na˜o parece ser correto se estudarmos um pouco sobre a origem deste nu´mero em livros de Histo´ria da Matema´tica. Osnu´merosnaturaisna˜osa˜osuficientespararealizartodasasmedidas. Comfrequ¨eˆncia,necessitamossubdividirnossaunidadeba´sica. Aodividiraunidade1emqpartesetomarpdessas,no´sescrevemosoresultadocomo / p q. Nu´meros deste tipo sa˜o denominados frac¸o˜es. Nas aplicac¸o˜es, e´ importante levar em conta a direc¸a˜o e a grandeza dos nu´meros, logo existe a necessidade de nu´merosnegativos,inteirosefrac¸o˜es. Taisnu´merosnegativos,juntoscomozero,os inteirospositivoseasfrac¸o˜esproporcionamoconjuntodosnu´merosracionais. Com nu´meros racionais, podemos dividir uma unidade em qualquer nu´mero de partesquedesejarmoseosracionaissa˜osuficientesparaexpressarresultadospra´ticos demedidas,masaprecisa˜odamedidana˜opodesermelhorada. Tambe´me´ u´tilcom- binarosnu´merosracionaiscomoutrosmodosdeapresentarmedidasdequantidades relacionadas, assim, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir racionais, mas na˜opodemosdividirporzero. Tudoistoe´ familiaraoalunocomum.    I.3. R ¸ ˜ F ¸ ˜ Muitas vezes necessitamos relacionar uma das quantidades medidas com outras quantidades. Por exemplo, podemos relacionar a distaˆncia percorrida por uma pedraquecaiemfunc¸a˜odotempogastoparaapedracair. A`svezes,aorelacionarduasvaria´veismedidasno´sencontramosumaleimatema´tica simples ligando tais varia´veis, mas a lei pode ser mais complexa ou a relac¸a˜o pode ate´ mesmona˜oterumaregraexpl´ıcita. Podemos descrever a relac¸a˜o entre varia´veis medidas matematicamente com o uso de relac¸o˜es e func¸o˜es. Pode-se desenvolver o conjunto dos racionais a partir do conjunto dos nu´meros naturais, as regras que governam suas combinac¸o˜es, as leis satisfeitas por tais combinac¸o˜es (associatividade, comutatividade, elemento neutro, elemento oposto, etc) e as definic¸o˜es e propriedades lo´gicas das relac¸o˜es e func¸o˜es, todaspertencentesaoassuntohojedenominadoA´lgebra. AcontecequedentrodaA´lgebra,taisdefinic¸o˜esedescric¸o˜essa˜ofinitas. No´susamos uma teoria de nu´meros que parece estar adequada a uma descric¸a˜o de medidas em va´rias situac¸o˜es comuns, mas a A´lgebra na˜o e´ suficiente para isto e devemos usar processosinfinitos,comomostraremoscomousodesequ¨eˆncias. ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 I.4. RAIZQUADRADADE2 4    I.4. R 2 Seoladodeumquadradomede1cm,asuadiagonalpodeservistacomoahipotenusa , deumtriaˆnguloretaˆngulo,quemedeumpoucomaisque1 4√cm. Podemos√calcular a medida da hipotenusa. Ao realizar esta operac¸a˜o, obtemos 2 cm, onde 2 e´ um nu´meropositivoquemultiplicadoporelemesmoforneceonu´mero2. √ = (cid:0) d 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) FiguraI.1: Diagonaldoquadrado √ Pode-sedemonstrarque 2na˜oe´ umnu´meroracionalmascujoquadradosejaigual a2√que√e´ umn√u´meroracional. Istona˜oe´ bom. Pode-seobternu´merosque√sa˜oi√guais √a 4, 9ou 49,mastambe´mdevemossabercalculareexplicaroquee´ 2, 3ou n,ondene´ umnu´meronatural. Istona˜oe´poss´ıvelnoconjuntodosnu´merosracionais,poisexistemnu´merosracionais cujos quadrados esta˜o pro´ximos de 2 e ate´ mesmo outros racionais cujos quadrados estejammaispro´ximosaindade2,masna˜oe´ poss´ıvelobterumnu´meroracionalcujo quadradosejaexatamenteiguala2. Osnu´merosracionaissa˜osuficientesparaalguns objetos pra´ticos, mas isto faz com que as ra´ızes quadradas sejam complicadas. O sistemadenu´merosracionaisdeveserestendidoaalgomaissignificativo.   I.5. N´ √ Um modo de calcular 2 e´ pelo uso de nu´meros decimais. O que sa˜o nu´meros decimais? Pelo uso de nosso sistema de notac¸a˜o posicional e pela escrita de d´ıgitos a` direitadeumd´ıgitodaunidade,no´spodemosescreveralgunsracionais. Assim 1 pode ser escrito como 0,5 e 4 pode ser escrito como 0,16, etc. Mas ao 2 25 tentar representar 1 nesta notac¸a˜o, observamos que na˜o e´ poss´ıvel. O algoritmo 3 , ... usual da divisa˜o fornece 0 333 , mas o processo nunca termina. No´s podemos escrever 1 = 0,333... e a`s vezes escrevemos 0,3, mas o que e´ isto? E se no´s temos 3 outraexpressa˜o,como 4 = 0,3636...,poder´ıamosesperarque 23 = 0,6969.....? Como √ 11 33 multiplicartaisexpresso˜es? Agora,oquesignifica 2? No´sobtemosque √ (1,4)2 < √2 < (1,5)2 (1,41)2 < √2 < (1,42)2 (1,414)2 < 2 < (1,415)2 √ = , ... eassimpordiante,talqueemalgumsentido 2 1 4142 . ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 I.6. A´REASEVOLUMES 5 Parece a` primeira vista que na˜o aconteceu a repetic¸a˜o no modelo dos d´ıgitos. O significado de sequ¨eˆncia de pontos na˜o esta´ muito claro√. Se usarmos nu´meros decimais para expressar racionais como 1 e objetos como 2, estaremos a` frente de 3 um problema que precisa usar uma sequ¨eˆncia com infinitos d´ıgitos e o que fazemos precisaserexplicadodeformaadequada. ´    I.6. A Sequ¨eˆncias infinitas ocorrem em muitas situac¸o˜es completamente diferentes. Por exemplo, para medir a a´rea de um conjunto plano, a primeira tarefa e´ escolher uma unidadeapropriadaparaaa´rea. Comoaa´reae´ amedidadaquantidadedesuperf´ıcie coberta, uma unidade adequada para medir a a´rea sera´ sempre a unidade de uma figuraquequandoforusada,cobrira´ todooplanosemdeixarespac¸osvazios. Estecrite´rioforneceva´riasunidadesposs´ıveis,comoousodetriaˆngulos,quadrila´teros, hexa´gonos regulares, mas a escolha cla´ssica e´ o quadrado, pois a sua forma e´ muito conveniente. Aotomarumparticularquadradocomounidade,podemosobter,ame- didadaa´readeumretaˆngulo,pelacoberturadoretaˆngulocomquadradosunita´rios de forma simples e enta˜o contar o nu´mero de quadrados e as partes dos quadrados queforamutilizadas. Seumretaˆngulocomoodafiguraabaixopossuicomprimentomedindo31 unidades 2 elarguramedindo21 unidades,asuaa´reae´ 81 unidadesdea´rea. 3 6 FiguraI.2: Retaˆngulocomdimenso˜esracionais Modificando um retaˆngulo, podemos obter a a´rea de um paralelogramo e obter a a´readeumtriaˆnguloedepoisdeumpol´ıgono. %J % % J % % J % % J % % J % % J % % J% FiguraI.3: Retaˆngulo,paralelogramoetriaˆngulo Se a curva na˜o e´ uma linha formada por segmentos de reta, o que acontece com ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008 I.7. ONU´MEROPI 6 umaregia˜ocujafronteirae´ umacurva suave? O quepodemosfazerpara obteruma medidadaa´readaformageome´tricairregularmostradanafiguraI.4? FiguraI.4: Regia˜o(comfronteirasuave)cobertaporquadrados Podemos cobrir esta forma irregular do melhor modo poss´ıvel com quadrados unita´rios, mas o que acontece com as regio˜es dos cantos? As func¸o˜es que repre- sentam as curvas dos cantos nem sempre podem ser reconhecidas como frac¸o˜es de quadrados. Assim, no´s perguntamos: Sera´ que existe um nu´mero para a medida da a´rea da forma irregular dada? Em caso positivo, como podemos obter este nu´mero paraumadadaforma? Continuando a nossa subdivisa˜o, obteremos um modo aproximado para medir a a´rea. Por meio dessa repetida subdivisa˜o, no´s estamos realmente inscrevendo uma sequ¨eˆncia de pol´ıgonos regulares, cada um dos quais cobrindo a forma de modo maiscompletoqueasubdivisa˜oanterior. Comooprocessodeaproximac¸a˜onuncaterminara´,somoslevadosaumasequ¨eˆncia infinitadea´reasqueno´sesperamosqueseaproximecadavezmaisdealgumnu´mero quepodeseridentificadocoma´readaregia˜o.   I.7. O ´ P Ao medir quantidades relacionadas com a circunfereˆncia, usamos a raza˜o entre o per´ımetro da circunfereˆncia e o seu diaˆmetro, que e´ uma constante denominada Pi, umavezquetodososc´ırculossa˜osemelhantes. Onu´meroPipodeserobtidoaprox- imadamente pelo desenho de uma circunfereˆncia e pela medida de seu per´ımetro e dodiaˆmetro. E´ muitou´tilsabercalcularovalordonu´meroPi. Podemosobterboasaproximac¸o˜es para Pi, inscrevendo pol´ıgonos regulares em um c´ırculo de forma que os nu´meros de lados dos pol´ıgonos estejam aumentando e desta forma possamos determinar os per´ımetrosdosreferidospol´ıgonos. Por exemplo, ao inscrever um hexa´gono regular em um c´ırculo com raio unita´rio ElementosdeAna´lisenaReta: UlyssesSodre´: Matema´tica: UEL:Londrina-PR:2008