TRABAJO FIN DE MÁSTER APLICACIONES DE LA CALCULADORA CASIO FX-82SPXII EN EL TEMA DE DIVISIBILIDAD PARA ALUMNOS DE 1PMAR MÁSTER DE PROFESOR DE EDUCACIÓN SECUNDARIA Y BACHILLERATO, FORMACIÓN PROFESIONAL Y ENSEÑANZA DE IDIOMAS (CURSO 2015/2016) Especialidad: Matemáticas Autora: Cristina Andreu Aguilar Tutor: Francisco G. González Martínez Resumen En el trabajo expuesto a continuación, se pretende comprobar que existe una nueva forma de resolver los ejercicios del tema de 2º de ESO de Divisibilidad, usando la calculadora CASIO fx–82SPXII y, por lo tanto, se puede explicar este tema usando esta calculadora. Se propone aplicar esta nueva metodología didáctica únicamente en el grupo de 1 PMAR, ya que son alumnos con dificultades del aprendizaje que, durante sucesivos años, no han sido capaces de aprender a resolver los problemas de divisibilidad mediante la metodología tradicional. Esta propuesta pretende simplemente comprobar que la metodología se puede aplicar, sin entrar en la discusión de si es correcto o didáctico enseñar este tema con la calculadora, sin aplicar los algoritmos de resolución manuales. Para empezar, el trabajo muestra cómo han ayudado desde la prehistoria las herramientas de cálculo a que las matemáticas evolucionen hacia la ciencia que conocemos hoy en día, seguido de una búsqueda bibliográfica sobre cómo han evolucionado las leyes de educación y qué cambios han conllevado dentro de las aulas. A continuación, se resuelven los ejercicios propuestos en el tema de divisibilidad del libro Matemáticas SM (Savia) para 2º de ESO, usando la calculadora, mediante las nuevas funciones de factorizar (FACT), división exacta ( ), máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). De esta manera, se comprueba que la nueva metodología es viable a nivel instrumental, ya que no se discuten los efectos positivos o negativos que tendrían su implantación en el aula. Lo que sí que es cierto, es que, utilizando la calculadora, los alumnos se incorporan al proceso de enseñanza-aprendizaje de una forma activa, ya que se toman el uso de la calculadora en la resolución de actividades como un juego y, por tanto, su motivación y atención se multiplican, siendo así actores de su construcción del conocimiento y no meros espectadores. Para terminar, se analizan los resultados obtenidos en el grupo de 1 de PMAR del Instituto Matilde Salvador, en el examen de Divisibilidad, resuelto por los alumnos mediante la metodología tradicional. Puesto que estos resultados no son positivos, más bien desastrosos, se resuelve el examen esta metodología y se cuestiona sobre si, mediante la nueva propuesta metodológica, los alumnos llegarían a un aprendizaje significativo, y, por lo tanto, se obtendrían resultados más positivos. Índice Resumen 1. Introducción ................................................................................................................ 1  Historia de las matemáticas y las máquinas de calcular. ............................. 1  Evolución de la educación matemática. .......................................................... 5 2. Contextualización ...................................................................................................... 8 3. Propuesta de mejora didáctica .............................................................................. 13 1. Reglas de divisibilidad ...................................................................................... 13 2. Descomposición factorial. ................................................................................ 16 3. Máximo común divisor. ....................................................................................... 18 4. Mínimo común múltiplo. ...................................................................................... 20 5. Los números enteros. ......................................................................................... 22 6. Sumas y restas de números enteros. ............................................................... 24 7. Multiplicación y división de números enteros. ................................................. 25 8. Operaciones combinadas con números enteros. ........................................... 26 4. Resolución del examen. ......................................................................................... 30 5. Conclusiones y valoración personal. .................................................................... 35 6. Bibliografía y webgrafía .......................................................................................... 37 ANEXOS ANEXO 1. Examen del tema de divisibilidad de 1 PMAR ANEXO 2. Resultados obtenidos en el examen de divisibilidad  Tabla 1. Resultados obtenidos en el examen ANEXO 3. Gráficos de los resultados obtenidos  Figura 1. Notas del examen obtenidas por cada alumno. Comparación con la nota media y la nota necesaria para aprobar el examen.  Figura 2. Porcentaje de alumnos que han resuleto cada pregunta bien, regular o mal. “Todos somos unos genios. Pero si juzgas a un pez por su habilidad de escalar un árbol, vivirá su vida entera creyendo que es un estúpido” Albert Einstein 1. Introducción  Historia de las matemáticas y las máquinas de calcular. Desde la antigüedad, las matemáticas han sido consideradas un arte al alcance de muy pocos. Siempre se ha pensado que el aprendizaje del alumno dependía tanto de la destreza del profesor en dicho arte, como de la voluntad y capacidad de los alumnos para dejarse empapar por los conocimientos del artista. (Gascón, 1998; Pérez Sanz) A su vez, el desarrollo sociocultural del hombre y de la propia ciencia de las matemáticas, se ha visto ligado a la evolución de herramientas que permitieran mediciones y cálculos, cada vez más exactos. Ya nuestros antepasados prehistóricos, cuyas matemáticas se basaban únicamente en el conteo, se ayudaban de los dedos de las manos para contar cantidades pequeñas y de piedras cuando las cantidades eran más grandes. Del uso de piedras para contar, proviene la palabra cálculo, ya que calculi, significa piedra en latín. Puesto que en esta época no contaban aún con la escritura, los hombres prehistóricos usaban palos de conteo, que se basaban en pequeñas muescas en huesos y que se pueden interpretar como un intento rudimentario de registrar las cuentas. Las primeras matemáticas avanzadas y organizadas se sitúan hace más de cinco mil años en Egipto y Babilonia. Estaban centradas mayoritariamente en la aritmética y en medidas geométricas básicas. (Vilches Sánchez) Para ayudarse con estas operaciones, egipcios y babilonios usaban el ábaco mesopotámico, que se cree que tuvo su origen en India, Mesopotamia y Egipto. Estos consistían en una tablilla de piedra cubierta de arena, en la que según se escribieran las letras o se colocaran las piedras, representaban el valor, la cantidad o números. Se cree que estos ábacos mesopotámicos se usaban con fines didácticos. (Orozco-Moret & Labrador, 2006) Fue a partir de las bases egipcias y babilonias, que los griegos desarrollaron algunas de sus teorías de forma más abstracta en forma de axiomas, definiciones y teoremas. En esta época hubo grandes matemáticos y filósofos que se dedicaron a las matemáticas tanto teóricas como aplicadas, aunque por aquel entonces las matemáticas abarcaban todos los saberes de la naturaleza. Estos, posteriormente, se fueron independizando como ciencias propias, tales como la física o la astronomía. (Vilches Sánchez; Pérez Sanz). Los griegos también se ayudaron del “Abax”, que era una variación del ábaco mesopotámico, para hacer cálculos, y de otros utensilios geométricos, como el compás, que favoreció los grandes avances en geometría y astronomía. (Orozco-Moret & Labrador, 2006) 1 Los mayas también fueron avanzados en esta ciencia. De hecho, el primer uso documentado del cero parte de ellos. Pero se quedaron estancados, ya que su única instrumentación conocida para contar eran las manos y los pies, que no fue suficiente para calcular más ciclos astronómicos de aquellos que predijeron a partir de los hechos observados a simple vista. (Vilches Sánchez). Las matemáticas incas, por otra parte, se dedicaron mayoritariamente al cálculo en el ámbito económico. Para ello se ayudaron del Quipu, que consistía en unas cuerdas de colores en las que se registraba información, además de cálculos, mediante nudos; y del Yupana, una especie de ábaco inca. El ábaco ha sido una herramienta de cálculo versionada en casi todas las civilizaciones y fue muy popular hasta el siglo XVIII. Aun así, en algunas culturas, como la china y la japonesa, el ábaco sigue estando muy arraigado, ya que estos en concreto, permiten realizar algunas operaciones más, además de las cuatro operaciones básicas. Durante la Edad Media las matemáticas no evolucionaron tanto como lo habían hecho en otras épocas. Los que más contribuyeron a la evolución de las matemáticas fueron los árabes, ya que se dedicaron a traducir textos científicos e incorporar a sus propias ciencias las ideas de las “ciencias extranjeras” durante su invasión a Europa. Ya a finales del siglo XV, las traducciones árabes y griegas sirvieron de base a matemáticos italianos como Fibonacci o Pacioli para sus estudios. En pleno movimiento renacentista, la ciencia avanzó notablemente, especialmente la astronomía y las matemáticas, y este desarrollo estuvo favorecido, en parte, por la invención de la imprenta. Esta permitió una divulgación muchísimo mayor de los textos científicos, pero esta época, como la anterior, se caracterizó por la recuperación de ideas matemáticas. Los grandes matemáticos de la historia hasta el siglo XVII no aprendieron sus conocimientos en las universidades que, citando a Pérez, “estaban ancladas a los saberes medievales y aristotélicos”, sino que aprendieron por su cuenta, muchos de ellos guiados por maestros, pero movidos por su propia curiosidad de conocer el mundo que les rodeaba. Fue en este siglo que John Napier empezó un estudio sobre los logaritmos que, años después derivaría en la creación de las escalas logarítmicas. En 1617, Napier dio a conocer su ábaco, más conocido como Huesos de Napier, para calcular productos y cocientes. Estos descubrimientos motivaron otros inventos, como las Reglas de cálculo, que aparecieron entre 1620 y 1630, y que permiten realizar operaciones aritméticas mediante escalas basadas en logaritmos. Estas fueron herramientas utilizadas masivamente por profesionales y, más adelante, en educación superior, hasta su declive a finales del siglo XX a causa de la aparición de las calculadoras. Las precursoras a las calculadoras que conocemos hoy en día, se inventaron también en este siglo. En 1642, Pascal inventó una calculadora mecánica que se acabó llamando la Pascalina. Se podían realizar las cuatro operaciones básicas, pero sobretodo, era una sumadora, ya que para multiplicar y dividir se debían de repetir las sumas y restas sucesivamente. 2 Unos años más tarde, en 1671, Leibniz desarrolló la Calculadora Universal que permitía también multiplicar y dividir y estuvo basada en el funcionamiento de la Pascalina. Leibniz desarrolló este invento para facilitar a su amigo Huygens la gran cantidad de cálculos que tenía que realizar. A partir del siglo XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se dedicaron a resolver distintos problemas de física, astronomía e ingeniería a partir de los trabajos de sus maestros. Esto les permitió abrir nuevos campos en las matemáticas que, posteriormente a finales del siglo XIX y sobretodo en el XX, se independizarían como ciencias propias, no como una rama de las matemáticas (Vázquez, 2000; Pérez Sanz) Durante el siglo XVIII hubo grandes avances en cálculo, álgebra y mecánica por parte de, entre otros, Euler. Pero en este siglo, la resolución de problemas tanto matemáticos como físicos, basadas simplemente en el cálculo, dejó entrever una falta de desarrollo adecuado y justificado de las bases del cálculo. Fue Cauchy quien, en el siglo XIX, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Nacieron el concepto de límite, función, números complejos, la geometría no euclídea o la teoría de grupos entre otros. (Vilches Sánchez, s.f.) Las matemáticas del siglo XX se dedicaron casi exclusivamente a resolver los 23 problemas matemáticos que propuso Hilbert como metas de investigación del siglo XX. La comunidad matemática se volcó en la resolución de estos problemas, pero, lo que nadie esperaba fue que la invención del ordenador revolucionaría la sociedad y la ciencia. (Vilches Sánchez; Vázquez, 2000) En 1948, se inventó el primer diseño compacto de una calculadora mecánica, llamada Curta, que permitía realizar otras operaciones, aparte de las cuatro básicas, aunque con cierta dificultad. En esta época ya se estaban desarrollando los primeros ordenadores programables, aunque no estaban disponibles a nivel de uso personal. En los años 70, la aparición de la calculadora electrónica, revolucionó la forma de calcular, ya que su simplicidad en comparación con las reglas de cálculo provocó la desaparición de estas últimas. Una década después se inventó también la primera hoja de cálculo, capaz de procesar una gran cantidad de datos y algoritmos. Este fue el inicio de la tecnología que conocemos hoy en día. Actualmente, en el siglo XXI, los ordenadores han evolucionado de manera que cualquiera tiene acceso a una calculadora, un ordenador, una tableta o un móvil. Incluso se han desarrollado programas de inteligencia artificial, como emuladores de algoritmos, que ya se enseñan en las universidades, como el Mathematica, MatLab, R, Maxima, etc. Estos programas, junto con Hojas de cálculo como el Excel, han revolucionado la forma de investigar y de enseñar, ya que nos ayudan a procesar gran cantidad de información, de manera que nos podamos centrar en la propia investigación y desentendernos de cálculos mecánicos, que no aportan nada a la creación de nuevos procesos. A nivel de enseñanza secundaria, la enseñanza de esta nueva tecnología no ha cambiado mucho. La mayoría de alumnos llevan sus calculadoras científicas a clase, sin saber siquiera utilizarlas. No se enseña a cómo sacar todo el 3 potencial que tienen estas máquinas de calcular. En los últimos años, se conjetura sobre la necesidad de que la sociedad sepa una matemática mínima que les permita conocer las bases del lenguaje matemático y la comunicación matemática. (Orozco-Moret & Labrador, 2006) Por lo tanto, se debería empezar desde las generaciones más jóvenes a saber sacar el máximo partido a la tecnología que tienen a su alcance. Es decir, las matemáticas han cambiado de una forma que nadie esperaba, así como el mundo que nos rodea. Por lo tanto, surge la siguiente cuestión. Si el mundo ha cambiado tanto, a la vez que las matemáticas han ido creciendo y adoptando nuevas formas de entenderse, si, además, han surgido tantas herramientas que nos ayudan a llegar cada vez más lejos y nos facilitan tanto la vida, ¿no sería también importante, que la enseñanza de dichas matemáticas en esta sociedad de la información, evolucione y se adapte a las nuevas tecnologías? 4  Evolución de la educación matemática. Si bien las matemáticas fueron consideradas un arte inmutable en la Grecia Clásica, el texto anterior nos desvela que han evolucionado hacia una visión de ciencia viva, siempre en constante evolución. La didáctica de las matemáticas también ha evolucionado desde la época griega, pero no a la velocidad que la misma ciencia. No fue hasta la revolución francesa que la educación superior en Europa se consolidó como la enseñanza que conocemos ahora. Mientras tanto, en España, llevábamos 70 años de retraso. Durante el reinado de Isabel II se crearon la Real Academia de Ciencias de Madrid, las Primeras Facultades de Ciencias y la Ley de Instrucción Pública, más conocida como Ley Moyano. Esta ley fijó la estructura y el programa tanto de enseñanza primaria como secundaria, aunque en matemáticas el contenido a estudiar dejaba bastante que desear. Tan sólo se estudiaba Aritmética, Geometría y algunas nociones de Álgebra. Otra particularidad de este sistema es que no se les daba tanta importancia a las matemáticas como se les da, por ejemplo, en la actualidad. El hecho es que, independientemente de si el bachillerato duraba seis o siete años, los últimos cursos no tenían matemáticas. De esta manera, los estudiantes solo tenían contacto con las matemáticas hasta los trece o catorce años, dependiendo de la reforma a la Ley que hubiese implantada en dicho momento. Este programa se mantuvo con algunos cambios hasta principios del siglo XX, cuando se llevó a cabo una reforma significativa, que diferenció por primera vez un itinerario de ciencias y otro de letras. Este cambio, sin embargo, sólo se mantuvo cinco años. En 1938, durante la Guerra Civil, el Gobierno de Franco implantó una nueva reforma a la ley Moyano que dictaba: “Matemáticas. Estudio cíclico desde las primeras nociones de Aritmética y Geometría, hasta la iniciación de la Geometría Analítica y del Álgebra Superior, procurando adiestrar a los alumnos, sobre todo en los primeros cursos, en el cálculo mental y en los problemas prácticos de carácter métrico de la Aritmética y Geometría.” Es decir, fue el primero en introducir matemáticas superiores en todos los niveles elementales. Entre los años 50s y 70s, hubo otras dos reformas que estructuraron la educación Secundaria en Bachillerato Elemental, Bachillerato Superior y Curso Preuniversitario. El contenido de las matemáticas programado por estas leyes era flexible, con lo que fue aprovechado por muchos profesores para iniciar a los alumnos en Matemáticas Modernas como Teoría de conjuntos y estructuras algebraicas. También cabe destacar la presencia de la estadística y combinatoria en dichos cursos. En definitiva, en esta etapa se consolidaron las matemáticas como obligatorias para todos los alumnos hasta los 14 años, y su contenido aumentó de forma significativa en los cursos superiores de ciencias. (Bruno & Martinón, 2000) 5 Ya hacia el final de la dictadura franquista, en 1970 se instauró la Ley General de Educación, más conocida como Ley Villar debido a su autor. Esta ley estableció la educación obligatoria hasta los 14 años con la EGB. Esta estaba estructurada en dos etapas y tras ella, el alumno accedía a BUP o a Formación Profesional. Aquellos que optaban por BUP cursaban a continuación COU, un curso de preparación a la Universidad. (BOE 93/8175, 1975; Real Decreto 69/1981) Las matemáticas estaban presentes de forma continua hasta segundo de BUP y después se ofertaba como optativa. Los programas de dichos cursos estaban fuertemente influenciados por las Matemáticas Modernas que, al poco de implantarse la ley, generó la opinión pública de que llevaban a un estrepitoso fracaso escolar. Esta idea de fracaso, motivada en parte por la poca preparación de los docentes en la materia y por la capacidad de abstracción requerida para afrontar dichos conceptos, inició un proyecto experimental de programas renovados. Con este se afianza la presencia de la probabilidad y la estadística, se mantiene el análisis, aparecen las matemáticas modernas y la geometría se centra sobre todo en los espacios vectoriales. (Bruno & Martinón, 2000) La ley Villar estuvo vigente hasta 1990, año en que se implantó la LOGSE, sufriendo sólo pequeñas reformas y modificaciones de carácter político (Ley Orgánica del Estatuto de Centros Escolares (1980) y Ley Orgánica del Derecho a la Educación (1985)). La Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE) supuso un cambio muy grande en el sistema educativo vigente hasta el momento. Para empezar, la educación obligatoria se extendió hasta los 16 años de edad. Además, introdujo la ESO y el Bachillerato y reguló la educación especial. Por último, dejaba que las autonomías se ocuparan de gestionar los centros educativos y de redactar una gran parte del programa. Esta ley pretendió ser menos minuciosa y restrictiva que las anteriores, al ser conscientes de la rapidez con la que estaba cambiando la sociedad (LOGSE, 1990) A partir de esta, los cambios de leyes educativas han sido más vertiginosos que en los años anteriores, ya que con cada cambio de Gobierno se ha cambiado la Ley de Educación. En 2002, José María Aznar intentó implantar la Ley Orgánica de Calidad de la Educación (LOCE). Esta menciona la importancia de la atención a la diversidad y a los cambios tecnológicos que han transformado las sociedades modernas. (LOCE, 2002). Esta ley no llegó a aplicarse, ya que la llegada al poder de Zapatero paralizó la aplicación de esta en 2004. Dos años más tarde, este mismo Gobierno implantó la Ley Orgánica de Educación (LOE), que introdujo la asignatura de la Educación para la Ciudadanía. Esta medida fue muy polémica porque algunos sectores de la sociedad la veían como un posible adoctrinamiento del Gobierno a los estudiantes. También se consideró que la exigencia a los alumnos disminuyó, ya que se les permitía pasar de curso con asignaturas suspendidas. Por otro lado, la LOE fomentaba la tecnología en las aulas. (LOE, 2006). 6 Esta Ley de Educación estuvo vigente hasta el 2013, que se modificó con la implantación de la Ley Orgánica para la mejora de la calidad educativa (LOMCE), más conocida como Ley Wert. Esta ley pretende reducir la tasa de abandono escolar actual, mejorar los resultados educativos de acuerdo con los criterios internacionales, a la vez que mejorar la empleabilidad y fomentar el espíritu emprendedor en los jóvenes. (LOMCE, 2013) Por tanto, comparando la educación actual con la de principios del siglo XIX, podemos destacar que ha habido una gran evolución en cuanto a la universalización de la educación, ya que actualmente la mayoría de la población está escolarizada, no como en el siglo anterior, que la educación era vista como la “mejor manera de preparar a un número determinado de ciudadanos jóvenes del siglo XX para su éxito individual en un área de trabajo específica dentro de la mecanización industrial y la comercialización” según destacan Orozco y Labrador. Además, se ha dado muchísima más importancia a la asignatura de Matemáticas y a la Tecnología en las aulas a lo largo de la historia. Por otra parte, se ha invertido mucho también en educación infantil y en atención a la diversidad. Actualmente nos encontramos a la sociedad de la información sumida en una crisis de valores y de las bases de construcción del conocimiento. Las últimas leyes de educación y la velocidad con que la tecnología evoluciona plantean la duda de si se debe cambiar la forma de enseñar, de manera que los estudiantes de hoy en día sean capaces de comprender los nuevos problemas y las situaciones a las que se deberán enfrentar. Como Orozco y Labrador explican: “Entre las capacidades, conocimientos y habilidades superiores de razonamiento se priorizan las competencias matemáticas para una nueva generación de ciudadanos. Estas competencias son concebidas de manera muy diferente a la visión y función que tenía el conocimiento matemático en el siglo XX; el nuevo siglo despierta con expectativas de una “matemática mínima” para todos los ciudadanos que les permitan comprender, explicar e intervenir matemáticamente su contexto tecnológico cultural” 7