AP Calculus AB Free Response Notebook Table of Contents Area and Volume ................................................................. 1-25 Charts with Riemann Sums, MVT, Ave. Rates/Values ........... 41-53 Analyzing Graph of f’ ............................................................ 54-59 Slope Fields with differential Equations ............................... 60-70 Related Rates ....................................................................... 71-77 Accumulation Functions....................................................... 78-91 Implicit Differentiation ......................................................... 92-97 Particle Motion .................................................................... 98-108 Charts of f, f’, f’’ ................................................................... 109-113 Functions/Misc. ................................................................... 114-128 1998 AP Calculus AB Scoring Guidelines √ 1. Let R be the region bounded by the x–axis, the graph of y = x, and the line x = 4. (a) Find the area of the region R. (b) Find the value of h such that the vertical line x = h divides the region R into two regions of equal area. (c) Find the volume of the solid generated when R is revolved about the x–axis. (d) The vertical line x = k divides the region R into two regions such that when these two regions are revolved about the x–axis, they generate solids with equal volumes. Find the value of k. (a) y 33 √ 4√ y= x  1: A = (cid:90) xdx 2  0 22 1: answer  11 R O 11 22 33 44 55 x 4√ 2 4 16 A = (cid:90) xdx = x3/2(cid:12) = or 5.333 3 (cid:12) 3 0 (cid:12)0 (cid:12) h√ 8 h√ 4√ (b) (cid:90) xdx = (cid:90) xdx = (cid:90) xdx 1: equation in h 0 3 0 h 2 (cid:40) –or– 1: answer 2 8 2 16 2 h3/2 = h3/2 = − h3/2 3 3 3 3 3 √ h = 3 16 or 2.520 or 2.519 4 √ x2 4 (c) V = π(cid:90)0 ( x)2dx = π 2 (cid:12)(cid:12)(cid:12) = 8π  1: limits and constant (cid:12)(cid:12)0 3  1: integrand or 25.133 or 25.132 1: answer  k √ k √ 4 √ (d) π(cid:90) ( x)2dx = 4π π(cid:90) ( x)2dx = π(cid:90) ( x)2dx 1: equation in k 0 0 k 2 (cid:40) –or– 1: answer k2 k2 k2 π = 4π π = 8π−π 2 2 2 √ k = 8 or 2.828 Copyright '1998 College Entrance Examination Board. All rights reserved. Advanced Placement Program and AP are registered trademarks of the College Entrance Examination Board. 1 AB{2 / BC{2 1999 y 2 y x2 2. The shaded region, R, is bounded by the graph of y =x and the line y =4, as shown in the (cid:12)gure above. (a) Find the area of R. y 4 (b) Find the volume of the solid generated by revolving R about the x{axis. (c) There exists a number k, k >4, such that when R is revolvedabout x O the line y =k, the resulting solid has the same volume as the solid in part (b). Write, but do not solve, an equation involving an integral expression that can be used to (cid:12)nd the value of k. 2 (cid:0) 2 (a) Area = (4 x )dx 1: integral (cid:0)2 2 Z (1: answer 2 (cid:0) 2 = 2 (4 x )dx 0 Z 3 2 (cid:0) x = 2 4x 3 0 (cid:20) (cid:21) 32 = =10:666 or 10:667 3 2 2(cid:0) 2 2 (b) Volume = (cid:25) 4 (x ) dx 1: limits and constant (cid:0)2 Z (cid:16) (cid:17) 3 81: integrand 2 = 2(cid:25) (16(cid:0)x4)dx >><1: answer 0 Z >>: 5 2 (cid:0) x = 2(cid:25) 16x 5 0 (cid:20) (cid:21) 256(cid:25) = =160:849 or 160:850 5 2 (cid:0) 2 2(cid:0) (cid:0) 2 256(cid:25) (c) (cid:25) (k x ) (k 4) dx= 1: limits and constant (cid:0)2 5 Z (cid:2) (cid:3) 4 82: integrand >>>>< <(cid:0)1> each error 1: equation >>>>: 2 (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:3)(cid:1)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:3)(cid:10)(cid:4)(cid:11)(cid:12) (cid:14)(cid:15)(cid:15)(cid:15) y (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:7)(cid:6)(cid:8)(cid:9)(cid:2)(cid:9)(cid:4)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:15)(cid:12)(cid:10)(cid:7)(cid:3)(cid:4)(cid:16)(cid:17)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:3)(cid:4)(cid:2)(cid:14)(cid:18)(cid:19)(cid:13)(cid:7)(cid:2)(cid:9)(cid:4)(cid:5)(cid:20)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:11)(cid:10)(cid:8)(cid:21)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:13)(cid:15) (cid:2) (cid:1)(cid:3)(cid:14)X(cid:18)(cid:22)(cid:4)(cid:2) (cid:1) (cid:23)(cid:2)(cid:18)(cid:13)(cid:7)(cid:4)(cid:22)(cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:24)(cid:8)(cid:25)(cid:12)(cid:7)(cid:22)(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:4)(cid:7)(cid:6)(cid:13)(cid:26)(cid:14)(cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:15)(cid:12)(cid:11)(cid:17)(cid:10)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:5)(cid:13)(cid:27)(cid:2)(cid:28) 1.5 (cid:29)(cid:8)(cid:30) (cid:31)(cid:12)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:10)(cid:2)(cid:8)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:4)(cid:1)(cid:28) 1 y= e–x2 (cid:29)(cid:5)(cid:30) (cid:31)(cid:12)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:27)(cid:13)(cid:19)(cid:17) (cid:2)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:19)(cid:12)(cid:9)(cid:4)(cid:11)(cid:2)(cid:14)(cid:2)(cid:10)(cid:8)(cid:3)(cid:2)(cid:9)(cid:4)(cid:26)(cid:6)(cid:2)(cid:14)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:10)(cid:2)(cid:27)(cid:13)(cid:19)(cid:27)(cid:2)(cid:9) (cid:8)(cid:5)(cid:13)(cid:17)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:4)(cid:24)(cid:8)(cid:25)(cid:12)(cid:7)(cid:28) 0.5 R y=1–cosx (cid:29)(cid:18)(cid:30) !(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:8)(cid:7)(cid:2)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:19)(cid:12)(cid:9)(cid:28)(cid:4)(cid:31)(cid:13)(cid:10)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:19)(cid:12)(cid:9)(cid:22)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:18)(cid:6)(cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:13)(cid:7)(cid:7)(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:18)(cid:3)(cid:12)(cid:13)(cid:14) x O 0.5 1 1.5 (cid:21)(cid:2)(cid:10)(cid:21)(cid:2)(cid:14)(cid:9)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:8)(cid:10)(cid:4)(cid:3)(cid:13)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:4)(cid:24)(cid:8)(cid:25)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:4)(cid:7)(cid:16)(cid:17)(cid:8)(cid:10)(cid:2)(cid:28)(cid:4)(cid:31)(cid:12)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:27)(cid:13)(cid:19)(cid:17) (cid:2)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:4)(cid:7)(cid:13)(cid:19)(cid:12)(cid:9)(cid:28) "(cid:2)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:4)(cid:1) (cid:23)(cid:4), -(cid:13)(cid:10)(cid:10)(cid:2)(cid:18)(cid:3)(cid:4)(cid:19)(cid:12) (cid:12)(cid:3)(cid:7)(cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:8)(cid:19)(cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:4)(cid:29)(cid:8)(cid:30)(cid:22)(cid:4)(cid:29)(cid:5)(cid:30)(cid:22) (cid:3)(cid:14)X(cid:18) (cid:1) (cid:23)(cid:2)(cid:18)(cid:13)(cid:7)(cid:4) (cid:4)(cid:8)(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)#(cid:4)$(cid:28)%&(cid:23)%&&(cid:4)#(cid:4)(cid:6) (cid:13)(cid:10)(cid:4)(cid:29)(cid:18)(cid:30)(cid:28) (cid:29)(cid:8)(cid:30) ’(cid:10)(cid:2)(cid:8) #(cid:3)!(cid:29)(cid:3)(cid:14)X(cid:18) (cid:2)(cid:29)(cid:23)(cid:2)(cid:18)(cid:13)(cid:7)(cid:4)(cid:30)(cid:30)(cid:7)(cid:4) (cid:6)(cid:7)(cid:7) (cid:23), (cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:9) .(cid:4)(cid:8) (cid:16) (cid:7) (cid:23), (cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:26)(cid:2)(cid:10) (cid:7)(cid:9) #(cid:4)$(cid:28)(%$(cid:4)(cid:13)(cid:10)(cid:4)$(cid:28)(%(cid:23) (cid:4) (cid:5) (cid:29)(cid:5)(cid:30) )(cid:13)(cid:19)(cid:17) (cid:2) #(cid:4)(cid:1)(cid:3) ! (cid:4)(cid:3)(cid:14)X(cid:18) (cid:5)(cid:18) (cid:2)(cid:4)(cid:23)(cid:2)(cid:18)(cid:13)(cid:7)(cid:4)(cid:5)(cid:18) (cid:7)(cid:4) (cid:6)(cid:7)(cid:7) . , (cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:9)(cid:4)(cid:18)(cid:13)(cid:14)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:14)(cid:3) (cid:7) (cid:16) /(cid:4)(cid:7)(cid:7)(cid:8)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)0(cid:2)(cid:23)1(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:18)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:10)(cid:10)(cid:13)(cid:10) (cid:7) (cid:7) #(cid:4)$(cid:28)(((%*(cid:1)(cid:4)#(cid:4)(cid:23)(cid:28)+&*(cid:4)(cid:13)(cid:10)(cid:4)(cid:23)(cid:28)+&+ (cid:7) (cid:23), (cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:26)(cid:2)(cid:10) (cid:7)(cid:7)(cid:9) (cid:6)(cid:7) . , (cid:4)(cid:12)(cid:14)(cid:3)(cid:2)(cid:11)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:9) (cid:29)(cid:18)(cid:30) )(cid:13)(cid:19)(cid:17) (cid:2) #(cid:3)!(cid:4)(cid:3)(cid:14)X(cid:18) (cid:2)(cid:29)(cid:23)(cid:2)(cid:18)(cid:13)(cid:7)(cid:4)(cid:30)(cid:5)(cid:18)(cid:7)(cid:4) (cid:7)(cid:7) (cid:16) (cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)0(cid:2)(cid:23)1(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:18)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:10)(cid:10)(cid:13)(cid:10) (cid:7) (cid:7) (cid:7)(cid:7)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)2(cid:13)(cid:3)(cid:2),(cid:4)$3.(cid:4)(cid:12)(cid:15)(cid:4)(cid:14)(cid:13)(cid:3)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:15)(cid:13)(cid:10) #(cid:4)$(cid:28)&*(cid:23) /(cid:4)(cid:8) (cid:7) (cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:8)(cid:3)D(cid:29)(cid:9)(cid:29)(cid:4)(cid:30)(cid:2)(cid:10)(cid:29)(cid:4)(cid:30)(cid:30)(cid:18)(cid:7)(cid:4) (cid:7) (cid:7) C (cid:7) (cid:7) (cid:23), (cid:4)(cid:8)(cid:14)(cid:7)(cid:26)(cid:2)(cid:10) (cid:7)(cid:7)(cid:9) Copyright © 2000 by College Entrance Examination Board and Educational Testing Service. All rights reserved. AP is a registered trademark of the C3ollege Entrance Examination Board. APfi CALCULUS AB 2001 SCORING GUIDELINES Question 1 Let R and S be the regions in the first quadrant shown in the figure above. The region R is bounded by the x-axis and the graphs of y (cid:1) 2(cid:2)x3 and y (cid:1) tanx . The region S is bounded by the y-axis and the graphs of y (cid:1) 2(cid:2)x3 and y (cid:1) tanx . (a) Find the area of R. (b) Find the area of S. (c) Find the volume of the solid generated when S is revolved about the x-axis. Point of intersection 2(cid:1)x3 (cid:2) tanx at (A,B) (cid:1) (0.902155,1.265751) (a) Area R = (cid:1) Atanxdx (cid:1) (cid:1) 32(cid:1)2(cid:2)x3(cid:2)dx = 0.729 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2) 1 : limits (cid:2)(cid:2) 0 A 3 : (cid:3) 1 : integrand (cid:2) or (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:4) 1 : answer Area R = (cid:1)B(cid:1)(2(cid:1)y)1/3 (cid:1)tan(cid:1)1y(cid:2)dy = 0.729 0 or Area R =(cid:1) 32(cid:1)2(cid:1)x3(cid:2)dx (cid:1) (cid:1) A(cid:1)2(cid:1)x3 (cid:1) tanx(cid:2)dx = 0.729 0 0 (b) Area S = (cid:1)A(cid:1)2(cid:1)x3 (cid:1)tanx(cid:2)dx = 1.160 or 1.161 (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2) 1 : limits 0 (cid:2)(cid:2) 3 : (cid:3) 1 : integrand or (cid:2)(cid:2) (cid:2) Area S = (cid:1)Btan(cid:1)1ydy (cid:1) (cid:1) 2(2(cid:2)y)1/3dy = 1.160 or 1.161 (cid:2)(cid:2)(cid:4) 1 : answer 0 B or Area S = (cid:1)2(2(cid:1)y)1/3dy (cid:1) (cid:1)B(cid:1)(2(cid:1)y)1/3 (cid:1)tan(cid:1)1y(cid:2)dy 0 0 = 1.160 or 1.161 (c) Volume = (cid:1)(cid:1)A(cid:1)(cid:1)2(cid:1)x3(cid:2)2 (cid:1)tan2x(cid:2)dx (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2) 1 : limits and constant 0 (cid:2)(cid:2) 3 : (cid:3) 1 : integrand = 2.652(cid:1) or 8.331 or 8.332 (cid:2)(cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:4) 1 : answer Copyright ' 2001 by College Entrance Examination Board. All rights reserved. Advanced Placement Program and AP are registered trademarks of the College Entrance Examination Board. 4 2 AP® CALCULUS AB 2002 SCORING GUIDELINES (Form B) Question 1 (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:5)(cid:10)(cid:12)(cid:11)(cid:13)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:5)(cid:14)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:16)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:16)(cid:19)(cid:6)(cid:18)(cid:4)(cid:10)(cid:20)(cid:4)(cid:4) (cid:1)(cid:1) (cid:2) (cid:1) (cid:4)(cid:16)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:21)(cid:4)(cid:16)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:6)(cid:10)(cid:22)(cid:11)(cid:4)(cid:9)(cid:11)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:20)(cid:9)(cid:8)(cid:12)(cid:7)(cid:2)(cid:4)(cid:16)(cid:5)(cid:10)(cid:23)(cid:2)(cid:24)(cid:4) (cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:2) (cid:25)(cid:16)(cid:26)(cid:4) (cid:27)(cid:9)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:16)(cid:7)(cid:2)(cid:16)(cid:4)(cid:10)(cid:20)(cid:4)(cid:1)(cid:24)(cid:4) (cid:25)(cid:5)(cid:26)(cid:4) (cid:27)(cid:9)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:23)(cid:10)(cid:28)(cid:12)(cid:29)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:20)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:28)(cid:9)(cid:13)(cid:4)(cid:8)(cid:2)(cid:11)(cid:2)(cid:7)(cid:16)(cid:3)(cid:2)(cid:13)(cid:4)(cid:22)(cid:6)(cid:2)(cid:11)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:23)(cid:10)(cid:28)(cid:23)(cid:2)(cid:13)(cid:4) (cid:16)(cid:5)(cid:10)(cid:12)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:9)(cid:18)(cid:24)(cid:4) (cid:25)(cid:30)(cid:26)(cid:4) (cid:31)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:7)(cid:2)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:16)(cid:18)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:20)(cid:4)(cid:16)(cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:28)(cid:9)(cid:13)(cid:24)(cid:4)(cid:27)(cid:10)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:28)(cid:9)(cid:13)(cid:21)(cid:4)(cid:2)(cid:16)(cid:30)(cid:6)(cid:4)(cid:30)(cid:7)(cid:10)(cid:18)(cid:18)(cid:4) (cid:18)(cid:2)(cid:30)(cid:3)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:19)(cid:2)(cid:7)(cid:19)(cid:2)(cid:11)(cid:13)(cid:9)(cid:30)(cid:12)(cid:28)(cid:16)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:10)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:16)(cid:4)(cid:18) (cid:12)(cid:16)(cid:7)(cid:2)(cid:24)(cid:4)(cid:27)(cid:9)(cid:11)(cid:13)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:2)(cid:4) (cid:23)(cid:10)(cid:28)(cid:12)(cid:29)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:20)(cid:4)(cid:3)(cid:6)(cid:9)(cid:18)(cid:4)(cid:18)(cid:10)(cid:28)(cid:9)(cid:13)(cid:24)(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) !(cid:2)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:4)(cid:1)(cid:4) #(cid:4)((cid:4)(cid:4))(cid:10)(cid:7)(cid:7)(cid:2)(cid:30)(cid:3)(cid:4)(cid:28)(cid:9)(cid:29)(cid:9)(cid:3)(cid:18)(cid:4)(cid:9)(cid:11)(cid:4)(cid:16)(cid:11)(cid:4)(cid:9)(cid:11)(cid:3)(cid:2)(cid:8)(cid:7)(cid:16)(cid:28)(cid:4)(cid:9)(cid:11)(cid:4)(cid:25)(cid:16)(cid:26)(cid:21)(cid:4)(cid:25)(cid:5)(cid:26)(cid:21)(cid:4) (cid:10)(cid:7)(cid:4)(cid:25)(cid:30)(cid:26)(cid:24)(cid:4) (cid:1)(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:4)(cid:16)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:4)"(cid:4)#(cid:24)$%&’’$(cid:4)"(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:1)(cid:2) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:25)(cid:16)(cid:26)(cid:4) *(cid:7)(cid:2)(cid:16)(cid:4)"(cid:4)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:2)(cid:1) (cid:5)(cid:3)(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:2)(cid:7)(cid:2)(cid:1) (cid:4) ,(cid:4)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:3)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:6)(cid:12)(cid:7)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:7)(cid:10)(cid:9)(cid:5)(cid:11)(cid:4) (cid:2)(cid:4) (cid:4) (cid:4) "(cid:4)+(cid:24),#$(cid:4)(cid:10)(cid:7)(cid:4)+(cid:24),#-(cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:25)(cid:5)(cid:26)(cid:4) .(cid:10)(cid:28)(cid:12)(cid:29)(cid:2)(cid:4) (cid:4) (cid:1)(cid:2) (cid:2)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:5)(cid:14)(cid:6)(cid:10)(cid:5)(cid:6) (cid:4) "(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:5)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:10)(cid:8)(cid:14)(cid:15) (cid:9)(cid:16)(cid:1)(cid:17)(cid:1) (cid:9)(cid:5)(cid:8)(cid:8)(cid:8)(cid:10)(cid:2)(cid:12)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:7)(cid:11)(cid:1)(cid:7)(cid:6)(cid:7)(cid:7)(cid:11)(cid:7)(cid:7)(cid:2)(cid:1) (cid:4) +(cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:15)(cid:3)(cid:16)(cid:1)(cid:17)(cid:1)(cid:7)(cid:10)(cid:12)(cid:18)(cid:1)(cid:7)(cid:9)(cid:9)(cid:13)(cid:9) (cid:4) (cid:2) (cid:4) "(cid:4)+#(cid:24)%%$(cid:4)(cid:10)(cid:7)(cid:4)+#(cid:24)%%-(cid:4)(cid:10)(cid:7)(cid:4)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:1)(cid:4) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:5)(cid:1)(cid:16)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:14)(cid:19)(cid:7)(cid:9) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:25)(cid:30)(cid:26)(cid:4) .(cid:10)(cid:28)(cid:12)(cid:29)(cid:2)(cid:4)"(cid:4)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:1)(cid:5)(cid:2)(cid:1) (cid:5)(cid:3)(cid:8)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:2)(cid:7)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:4) (cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:3)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:12)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:5)(cid:11)(cid:7)(cid:10)(cid:13)(cid:14)(cid:1)(cid:7)(cid:9)(cid:9)(cid:15)(cid:9) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:4) "(cid:4)%(cid:24)//&(cid:4) +(cid:4)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:6) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:5)(cid:15)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:1)(cid:16)(cid:17)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:18)(cid:1)(cid:5)(cid:15)(cid:6)(cid:1)(cid:15)(cid:18)(cid:1)(cid:6)(cid:14)(cid:7)(cid:1)(cid:18)(cid:15)(cid:9)(cid:19)(cid:4) (cid:4) (cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:4) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:20)(cid:2)(cid:20)(cid:3)(cid:21)(cid:4)(cid:4)(cid:20)(cid:3)(cid:21)(cid:21)(cid:1)(cid:5)(cid:3) (cid:2) (cid:2)(cid:1)(cid:12)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:10)(cid:5)(cid:22)(cid:23)(cid:7)(cid:9) (cid:2)(cid:2)(cid:7) (cid:4) Copyright © 2002 by College Entrance Examination Board. All rights reserved. Advanced Placement Program and AP are registered trademarks of the College Entrance Examination Board. 5 2 AP® CALCULUS AB 2002 SCORING GUIDELINES Question 1 (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:11)(cid:6)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:15)(cid:4)(cid:16)(cid:13)(cid:17)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:1)(cid:3)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:1) (cid:3)(cid:4)(cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:1) (cid:19)(cid:5)(cid:20)(cid:4) (cid:21)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:22)(cid:2)(cid:5)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:22)(cid:2)(cid:16)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:12)(cid:23)(cid:14)(cid:15)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:18)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:16)(cid:22)(cid:5)(cid:24)(cid:9)(cid:15)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:2)(cid:3)(cid:25)(cid:2)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:4) (cid:2) (cid:19)(cid:8)(cid:20)(cid:4) (cid:21)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:11)(cid:26)(cid:2)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:15)(cid:14)(cid:23)(cid:13)(cid:7)(cid:4)(cid:16)(cid:2)(cid:6)(cid:2)(cid:22)(cid:5)(cid:3)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:25)(cid:9)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:22)(cid:2)(cid:16)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:4)(cid:2)(cid:6)(cid:12)(cid:23)(cid:14)(cid:15)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:8)(cid:18)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:16)(cid:22)(cid:5)(cid:24)(cid:9)(cid:15)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:1)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:2)(cid:3)(cid:25)(cid:2)(cid:2)(cid:6)(cid:4) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:4)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:22)(cid:2)(cid:17)(cid:14)(cid:23)(cid:17)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:5)(cid:8)(cid:14)(cid:11)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:23)(cid:13)(cid:6)(cid:2)(cid:4)(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:4) (cid:2) (cid:19)(cid:12)(cid:20)(cid:4) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:4)(cid:8)(cid:2)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:10)(cid:11)(cid:6)(cid:12)(cid:3)(cid:13)(cid:14)(cid:6)(cid:4)(cid:16)(cid:13)(cid:17)(cid:2)(cid:6)(cid:4)(cid:8)(cid:18)(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2) (cid:1) (cid:3)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:4)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:21)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:8)(cid:15)(cid:14)(cid:23)(cid:11)(cid:3)(cid:2)(cid:4)(cid:26)(cid:13)(cid:6)(cid:13)(cid:26)(cid:11)(cid:26)(cid:4)(cid:17)(cid:5)(cid:23)(cid:11)(cid:2)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:4)(cid:14)(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4) (cid:1) (cid:12)(cid:23)(cid:14)(cid:15)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:13)(cid:6)(cid:3)(cid:2)(cid:22)(cid:17)(cid:5)(cid:23)(cid:4) (cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:10)(cid:13)(cid:6)(cid:7)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:8)(cid:15)(cid:14)(cid:23)(cid:11)(cid:3)(cid:2)(cid:4)(cid:26)(cid:5)(cid:27)(cid:13)(cid:26)(cid:11)(cid:26)(cid:4)(cid:17)(cid:5)(cid:23)(cid:11)(cid:2)(cid:4)(cid:14)(cid:10)(cid:4)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:4)(cid:14)(cid:6)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:12)(cid:23)(cid:14)(cid:15)(cid:2)(cid:7)(cid:4)(cid:13)(cid:6)(cid:3)(cid:2)(cid:22)(cid:17)(cid:5)(cid:23)(cid:4) (cid:3) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:4)(cid:28)(cid:9)(cid:14)(cid:25)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:23)(cid:18)(cid:15)(cid:13)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:9)(cid:5)(cid:3)(cid:4)(cid:23)(cid:2)(cid:5)(cid:7)(cid:15)(cid:4)(cid:3)(cid:14)(cid:4)(cid:18)(cid:14)(cid:11)(cid:22)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:15)(cid:25)(cid:2)(cid:22)(cid:15)(cid:29)(cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:1) (cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:1)(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:2) (cid:1)(cid:8)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:11)(cid:13)(cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11) (cid:11)(cid:1)(cid:3) (cid:1) (cid:1)(cid:2) (cid:2)(cid:2)(cid:4) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:10)(cid:5)(cid:12)(cid:13)(cid:7)(cid:9) (cid:1) (cid:2)(cid:14)(cid:4)(cid:1) (cid:15)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:18)(cid:7)(cid:1)(cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:5)(cid:7)(cid:8)(cid:3)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:3)(cid:12)(cid:13)(cid:10)(cid:8)(cid:7)(cid:9)(cid:10)(cid:7) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:14) (cid:2) (cid:3)(cid:5)(cid:10)(cid:7)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:9)(cid:10)(cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:1) (cid:1) (cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:12)(cid:6)(cid:1)(cid:11)(cid:13)(cid:10)(cid:19)(cid:20)(cid:21)(cid:1) (cid:2)(cid:2) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:4)(cid:1)(cid:5) (cid:15)(cid:9)(cid:12)(cid:18)(cid:3)(cid:15)(cid:17)(cid:17)(cid:13)(cid:17) (cid:2) (cid:2)(cid:2) (cid:1) (cid:22)(cid:1)(cid:6)(cid:2) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:19)(cid:13)(cid:7)(cid:15)(cid:2)(cid:3)(cid:20)(cid:21)(cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:22)(cid:3)(cid:10)(cid:13)(cid:7)(cid:3)(cid:13)(cid:22)(cid:3)(cid:7)(cid:18)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:13)(cid:17)(cid:6)(cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:1) (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:23)(cid:3)(cid:24)(cid:1) (cid:4)(cid:4)(cid:23)(cid:3)(cid:24)(cid:1)(cid:2)(cid:5)(cid:3) (cid:2) (cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:9)(cid:10)(cid:8)(cid:25)(cid:15)(cid:17) (cid:2)(cid:2)(cid:7) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:2)(cid:4) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:7)(cid:3)(cid:1)(cid:1)(cid:12)(cid:2)(cid:13) (cid:3) (cid:14) (cid:2)(cid:23)(cid:4)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2) (cid:3)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:2)(cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:5)(cid:1) (cid:3) (cid:2) (cid:4)(cid:1) (cid:4) (cid:2) (cid:4)(cid:4) (cid:4) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:6)(cid:15)(cid:8)(cid:16)(cid:8)(cid:10)(cid:7)(cid:3)(cid:4)(cid:11)(cid:8)(cid:15)(cid:8)(cid:4)(cid:17)(cid:18)(cid:3)(cid:19)(cid:5)(cid:8)(cid:6)(cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:1) (cid:4)(cid:4) (cid:13)(cid:1)(cid:5) (cid:1) (cid:4) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:6)(cid:9)(cid:3)(cid:10)(cid:6)(cid:9)(cid:19)(cid:5)(cid:8)(cid:6)(cid:15)(cid:7)(cid:3)(cid:17)(cid:7)(cid:3)(cid:4)(cid:17)(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:9)(cid:17)(cid:15)(cid:10)(cid:7) (cid:1) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:1)(cid:2) (cid:3)(cid:17)(cid:6)(cid:7)(cid:20)(cid:10)(cid:11)(cid:7) (cid:1) (cid:5)(cid:14)(cid:24)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:25)(cid:7)(cid:1)(cid:18)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:1)(cid:28)(cid:3)(cid:16)(cid:17)(cid:7)(cid:1)(cid:3)(cid:27)(cid:29)(cid:1)(cid:3)(cid:14)(cid:24)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:25)(cid:7)(cid:1) (cid:4)(cid:4)(cid:6) (cid:18)(cid:3)(cid:30)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:1)(cid:28)(cid:3)(cid:16)(cid:17)(cid:7)(cid:1)(cid:12)(cid:23)(cid:23)(cid:17)(cid:6)(cid:1)(cid:3)(cid:25)(cid:1)(cid:25)(cid:31)(cid:7)(cid:1)(cid:23)(cid:6)(cid:26)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:3)(cid:16)(cid:1) (cid:12)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:1)(cid:12)(cid:6)(cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:25)(cid:1)(cid:25)(cid:31)(cid:7)(cid:1)(cid:7)(cid:27)(cid:29) (cid:12)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:24)(cid:10)(cid:1) (cid:1) $(cid:12)(cid:25)(cid:7)%(cid:1)&(cid:6)(cid:6)(cid:12)(cid:6)(cid:24)(cid:1)(cid:26)(cid:27)(cid:1)(cid:23)(cid:12)(cid:18) (cid:17)(cid:25)(cid:3)(cid:25)(cid:26)(cid:12)(cid:27)(cid:1)(cid:23)(cid:12)(cid:18)(cid:7)(cid:1)(cid:12)’’(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1) (cid:25)(cid:31)(cid:7)(cid:1)(cid:25)(cid:31)(cid:26)(cid:6)(cid:29)(cid:1) (cid:12)(cid:26)(cid:27)(cid:25)(cid:10)(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10) (cid:1) (cid:11)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:2)(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) (cid:1) (cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:1) (cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:3) (cid:1) (cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:2)(cid:7)(cid:1) (cid:1) (cid:1) !(cid:31)(cid:7)(cid:1)(cid:3)(cid:14)(cid:24)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:25)(cid:7)(cid:1)(cid:18)(cid:26)(cid:27)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:1)(cid:26)(cid:24)(cid:1)(cid:11)(cid:10)(cid:13)(cid:13)(cid:20)(cid:10)(cid:1) (cid:1) !(cid:31)(cid:7)(cid:1)(cid:3)(cid:14)(cid:24)(cid:12)(cid:16)(cid:17)(cid:25)(cid:7)(cid:1)(cid:18)(cid:3)(cid:30)(cid:26)(cid:18)(cid:17)(cid:18)(cid:1)(cid:26)(cid:24)(cid:1)(cid:11)(cid:10)"(cid:9)#(cid:10)(cid:1) (cid:1) Copyright © 2002 by College Entrance Examination Board. All rights reserved. 6 Advanced Placement Program and AP are registered trademarks of the College Entrance Examination Board. 2 AP® CALCULUS AB 2003 SCORING GUIDELINES Question 1 Let R be the shaded region bounded by the graphs of y = x and y =e(cid:14)3x and the vertical line x = 1, as shown in the figure above. (a) Find the area of R. (b) Find the volume of the solid generated when R is revolved about the horizontal line y = 1. (c) The region R is the base of a solid. For this solid, each cross section perpendicular to the x-axis is a rectangle whose height is 5 times the length of its base in region R. Find the volume of this solid. Point of intersection 1: Correct limits in an integral in e(cid:14)3x = x at (T, S) = (0.238734, 0.488604) (a), (b), or (c) (a) Area = (cid:168)1( x (cid:14)e(cid:14)3x )dx (cid:163)(cid:166)(cid:166) 1 : integrand 2 : (cid:164) T (cid:166) 1 : answer (cid:166)(cid:165) = 0.442 or 0.443 (b) Volume = (cid:81)(cid:168)1((1(cid:14)e(cid:14)3x )2 (cid:14)(1(cid:14) x )2)dx (cid:163)(cid:166)(cid:166) 2 : integrand (cid:166) T (cid:166)(cid:166) <(cid:14)1> reversal = 0.453(cid:81) or 1.423 or 1.424 (cid:166)(cid:166) (cid:166)(cid:166) <(cid:14)1> error with constant (cid:166)(cid:166) 3 : (cid:164) (cid:166) <(cid:14)1> omits 1 in one radius (cid:166) (cid:166) (cid:166) (cid:166) <(cid:14)2 > other errors (cid:166) (cid:166) (cid:166) (cid:166) 1 : answer (cid:166)(cid:166)(cid:165) (c) Length = x (cid:14)e(cid:14)3x (cid:163)(cid:166) 2 : integrand (cid:166) (cid:166) Height = 5( x (cid:14)e(cid:14)3x ) (cid:166)(cid:166) <(cid:14)1 > incorrect but has (cid:166) (cid:166) 3 : (cid:166)(cid:166)(cid:164) x (cid:14)e(cid:14)3x (cid:166) (cid:166) Volume = (cid:168)15( x (cid:14)e(cid:14)3x )2dx = 1.554 (cid:166)(cid:166)(cid:166) as a factor T (cid:166)(cid:166) 1 : answer (cid:166)(cid:166)(cid:165) Copyright © 2003 by College Entrance Examination Board. All rights reserved. Available at apcentr7al.collegeboard.com. 2 AP® CALCULUS AB 2004 SCORING GUIDELINES (Form B) Question 1 Let R be the region enclosed by the graph of y = x −1, the vertical line x =10, and the x-axis. (a) Find the area of R. (b) Find the volume of the solid generated when R is revolved about the horizontal line y = 3. (c) Find the volume of the solid generated when R is revolved about the vertical line x =10. (a) Area = ∫10 x −1 dx =18  1 : limits 1 3 :  1 : integrand  1 : answer ( ) (b) Volume = π∫10 9 −(3− x −1)2 dx  1 : limits and constant 1 3 :  1 : integrand = 212.057 or 212.058  1 : answer (c) Volume = π∫3(10 −(y2 +1))2 dy  1 : limits and constant 0 3 :  1 : integrand = 407.150  1 : answer Copyright © 2004 by College Entrance Examination Board. All rights reserved. Visit apcentral.collegeboard.com (for AP professionals) and w8ww.collegeboard.com/apstudents (for AP students and parents). 2