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Analysis I-IV Joachim Hilgert DervorliegendeTextisteinevorläufigeAusarbeitungmeinerVorlesungenAnalysis I-IV(Wintersemester 2004/2005 – Sommersemester 2006) an der Universität Paderborn. Diese Ausarbeitung ist nicht korrekturgelesen und nur zum internen Gebrauch gedacht! Fu¨r Kommentare und Korrekturen bin ich dankbar. Vorschläge fu¨r Ergänzungen im Index werden jeder- zeit eingearbeitet. Paderborn, den 18.7.2005 J. Hilgert Inhaltsverzeichnis Vorbemerkung 1 0 Vorbemerkung 1 0.1 Vom Wesen der Mathematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 U¨ber die Abstraktion in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Die Sprache der Mathematik: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Analysis I 17 1 Axiomatik der reellen Zahlen 17 1.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Positivität und Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Stetige Funktionen 31 2.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Stetige Funktionen auf Intervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Differenzierbare Funktionen 57 3.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Rechenregeln fu¨r Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Der Mittelwertsatz und seine Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Konvergenz von Folgen und Reihen 71 4.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Umordnung von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5 Folgen von Funktionen 93 5.1 Konvergenz von Funktionenfolgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.3 Beispiele von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Analysis II 131 6 Stammfunktionen 131 6.1 Integrationsregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2 Spezielle Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7 Integrierbare Funktionen 137 7.1 Das Integral einer Stufenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.2 Folgen von Stufenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.3 Integrierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 i ii INHALTSVERZEICHNIS 8 Konvergenzsätze 153 8.1 Folgen und Reihen integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.2 Nullmengen und fast u¨berall“ Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 ” 8.3 Norm-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.4 Die fundamentalen Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9 Verbindung zwischen Integral- und Differentialrechnung 175 9.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.2 Die Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.3 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.4 Einige spezielle Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10 Topologische Räume 193 10.1 Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.2 Konvergenz und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10.3 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11 Differenzierbarkeit 213 11.1 Differenzierbarkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.3 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12 Implizite Funktionen 239 12.1 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 12.2 Der Satz u¨ber implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Analysis III 253 13 Elementare Lösungsmethoden fu¨r Differentialgleichungen 257 13.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 13.2 Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 13.3 Homogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 13.4 Gleichungen vom Typ y(cid:48)(cid:48) =f(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 14 Lokale Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen 269 14.1 Der Satz von Picard–Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 14.2 Differentialgleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 14.3 Differenzierbare Abhängigkeit von den Anfangswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 15 Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen 285 15.1 Homogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 15.2 Inhomogene Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 15.3 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 16 Konstante Koeffizienten 297 16.1 Die Exponentialfunktion fu¨r Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 16.2 Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 16.3 Anwendungen auf nichtkonstante Inhomogenitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 17 Meßbare Mengen und Funktionen 319 17.1 Meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 17.2 Meßbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 INHALTSVERZEICHNIS iii 18 Maß und Integral 329 18.1 Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 18.2 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 18.3 Produktmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 18.4 Nullmengen und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Analysis IV 355 19 Spezielle Eigenschaften des Lebesgue-Maßes 355 19.1 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 19.2 Charakterisierung des Lebesgue-Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 19.3 Affine Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.4 Die Transformationsformel fu¨r Diffeomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 20 Immersionen und Untermannigfaltigkeiten 373 20.1 Immersionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 20.2 Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 20.3 Nullstellenmengen differenzierbarer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 20.4 Tangential- und Normalenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 21 Oberflächenmaße von Untermannigfaltigkeiten 387 21.1 Kurvenintegrale in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 21.2 Der Maßtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 21.3 Das Oberflächenmaß einer Untermannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 22 Der Gaußsche Integralsatz 401 22.1 Ein Spezialfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 22.2 Kompakta mit glattem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 22.3 Der Gaußsche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 22.4 Die Greensche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 23 Pfaffsche Formen 419 23.1 Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 23.2 Stammfunktionen von Pfaffschen Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 23.3 Geschlossene Pfaffsche Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 24 Die Integralsätze von Green und Stokes 431 24.1 Der Greensche Integralsatz in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 24.2 Der Satz von Stokes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 25 Kru¨mmung von Untermannigfaltigkeiten des Euklidischen Raumes 437 25.1 Kru¨mmung von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 25.2 Kru¨mmung von Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Anhang 449 A Die natu¨rlichen Zahlen 449 A.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 A.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 B Konstruktion der reellen und komplexen Zahlen 459 B.1 Von den natu¨rlichen zu den ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 B.2 Von den ganzen zu den rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 B.3 Von den rationalen zu den reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 B.4 Von den reellen zu den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 iv INHALTSVERZEICHNIS C Naive Mengenlehre 477 C.1 Die Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 D Hintergrundmaterial zur Linearen Algebra 487 D.1 Lineare Gleichungssysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 D.2 Vektorräume von Zahlentupeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 D.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 D.4 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 D.5 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 Index 522 Literaturverzeichnis 533 Kapitel 0 Vorbemerkung 0.1 Vom Wesen der Mathematik Man kann Mathematik als eine Verfeinerung der Alltagssprache auffassen. Sie dient dazu, beobacht- bare Vorgänge so präzise zu beschreiben, daß es möglich wird, Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Die Ent- deckung der Newtonschen Gesetze der Mechanik, die die Planetenbewegungen ebenso bestimmen wie die Flugbahn eines Satelliten, ist ohne eine mathematische Formulierung kaum denkbar. Mathematische Beschreibungen sollten nicht als Abbilder, sondern als Modelle betrachtet werden und sind daher nicht durchdieSituationfestgelegt.ManbrauchtetwasMathematik,umeinWahlergebnisstatistischsoaufzu- bereiten, daß man es auf einer Zeitungsseite wiedergeben kann; die präzisen Hochrechnungen aus relativ wenigenausgezähltenWahlkreisenzuerhalten,erfordertjedochsehrvielmehrmathematischenAufwand. AndenobigenBeispielenkannmanzweiFunktionenderMathematikablesen:ModellierungundProg- nose. Die Newtonsche Mechanik ist das mathematische Modell fu¨r die Bewegung massiver Gegenstände und es ist Aufgabe der Mathematik, Flugbahnen vorherzuberechnen. Die Modellierung ist eine Aufgabe, die nicht von der Mathematik oder dem Mathematiker allein geleistetwerdenkann.EsistFachwissenindenDisziplinennötig,inderenZuständigkeitdaszubeschrei- bende System fällt. Daher kommen Modellierungsprobleme in Mathematikbu¨chern meist nur am Rande vor. In der Regel beinhaltet ein mathematisches Modell gesetzmäßige Zusammenhänge zwischen verschie- denen Eigenschaften des Systems. So sind zum Beispiel Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis u¨ber eine Materialeigenschaft, den Widerstand, gekoppelt. Kennt man zwei dieser Größen, kann man die dritte berechnen. Fu¨r den Mathematiker bedeutet Prognose“ sehr oft das Herausrechnen einer un- ” bekannten Größe aus einer Reihe von bekannten Größen. Die zentrale Problemstellung der Mathematik wird daher gern als das Lösen von Gleichungen“ beschrieben. ” Das Lösen von Gleichungen ist keineswegs ein Automatismus. Die meisten Gleichungen lassen sich nichtexplizitlösen,undaucheinfachenGleichungenistnormalerweisenichtanzusehen,obsieu¨berhaupt eine Lösung haben. Man pru¨ft z.B. leicht nach, daß die Gleichung x2+y2 =z2 in den Unbekannten x,y,z von x = 3, y = 4, z = 5 gelöst wird. Eine solche ganzzahlige Lösung dieser Gleichung heißt ein pythagoräisches Zahlentripel. Mit etwas elementarer Geometrie kann man ein Konstruktionsverfahren angeben, wie man alle pythagoräischen Zahlentripel findet. Fu¨r die Fermatsche Gleichung xn+yn =zn in den Unbekannten x,y,z mit einer vorgegebenen natu¨rlichen Zahl n > 2 dagegen gibt es keine posi- tiven ganzzahligen Lösungen. Das war von P. Fermat (1601–1665) behauptet worden, aber es bedurfte dreihundert Jahre intensiver mathematischer Forschung, dies 1996 zu beweisen. MathematikistalsomehralsnureinesprachlicheLupe.LosgelöstvonderModellierungbeobachteter Phänomene schafft sie sich eine eigene Begriffswelt und Werkzeuge, mit denen man diese Begriffswelt 1 2 KAPITEL 0. VORBEMERKUNG untersuchen kann. Der Versuch Gleichungen zu lösen hat viele neue mathematische Entwicklungen in Gang gesetzt, aber den Begriffen und Techniken, die heute zum Repertoir des Mathematikers gehören, ist diese Abstammung oft nicht mehr anzusehen. Beispiel 0.1.1 (Die Entwicklung des Zahlbegriffs): In den natu¨rlichen Zahlen N: 1,2,3,... findet man keine Lösung der Gleichung x+1=1. Nimmt man die Null hinzu, so findet man zwar hierfu¨r eine Lösung, nicht aber fu¨r die Gleichung x+1=0. Dafu¨r braucht man die ganzen Zahlen Z: ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,..., die wiederum nicht ausreichen, um die Gleichung 2x+1=0 zu lösen. Zu desem Zweck fu¨hrt man die rationalen Zahlen Q: m mit m∈Z und 0(cid:54)=n∈Z ein. Schon n die alten Griechen wußten, in den rationalen Zahlen die Gleichung x2 =2 nichtlösbarist.Manfu¨hrtdiereellenZahlenRals Grenzwerte“ vonrationalenZahlen(z.B.unendliche ” Dezimalbru¨che) ein und stößt wieder an eine Grenze: Die Gleichung x2 =−1 istnichtlösbarinR.Wennmanschließlichdiekomplexen Zahlen CalsPaare(a,b)reellerZahlenmit (a,b)+(a(cid:48),b(cid:48))=(a+a(cid:48),b+b(cid:48)) und (a,b)(a(cid:48),b(cid:48))=(aa(cid:48)−bb(cid:48),ab(cid:48)+ba(cid:48)) als Addition und Multiplikation einfu¨hrt, so läßt sich der Fundamentalsatz der Algebra beweisen: Satz: U¨ber C sind alle Polynomgleichungen, d.h. Gleichungen der Form a xk+a xk−1+...+a x+a =0, k k−1 1 0 lösbar. Analysiert man die Vorgehensweise, so findet man folgende Prinzipien, die auch in anderen Situationen zum Einsatz kommen: • Man schafft den richtigen Rahmen fu¨r ein Problem (hier das Lösen von Polynomgleichungen). • Der Lösungsbegriff wird verallgemeinert (Lösung in welchem Zahlbereich?). • Später kann man dann immer noch die Frage stellen, ob es eine Lösung in einem kleineren Zahlbe- reich gegeben hat, wie z.B: im Fermatschen Problem: xn+yn =zn fu¨r ganzzahlige x,y,z. 0.2. U¨BER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK 3 0.2 U¨ber die Abstraktion in der Mathematik DergrundlegendeAnsatzdermodernenMathematikistes,Dingeu¨berihreEigenschaftenzubeschrei- ben und sich dabei möglichst auf diejenigen Eigenschaften zu beschränken, die fu¨r die zu behandelnde Frage wirklich relevant sind. Wenn man die Umlaufbahn eines Raumgleiters beschreiben will, dann betrachtet man ihn als einen bewegten Punkt (den Schwerpunkt). Will man ihn von einer Umlaufbahn ihn eine andere steuern, muß man ihn als dreidimensionales Objekt auffassen mit ausgezeichneten Richtun- gen,indiedieSteuerraketenSchubausu¨ben.BeimAndockenaneineRaumstationspieltdiegenaueForm des Gleiters eine Rolle, und beim Eintauchen in die Atmosphäre auch noch die Hitzebeständigkeit des Materials.DieseAbstraktionvomRaumgleiteraufeinObjektmiteinigenklarfestgelegtenEigenschaften erleichtertes,A¨hnlichkeitenmitinanderenZusammenhängengefundenenBeschreibungenundLösungen zu erkennen und zu benu¨tzen. Bewegte Massepunkte modellieren auch Wurfgeschosse oder Planeten, in der Aerodynamik von Tragflächen verfu¨gt man u¨ber eine lange Erfahrung, und die Hitzebeständigkeit von Kacheln betrachtet man auch nicht erst seit dem Eintritt ins Raumfahrtzeitalter. Da der hohe Abstraktionsgrad fu¨r viele die höchste Hu¨rde im Studium der Mathematik ist, soll die Bedeutung der Abstraktion fu¨r die Mathematik hier an einer Reihe von Beispielen noch näher erläutert werden. Zuerst geht es um den U¨bergang von konkreten Modellen zu abstrakten Methoden: Beispiel 0.2.1 (Stromkreise): Betrachte einen Stromkreis mit einer Spannungsquelle U und drei Widerständen R ,R ,R : 1 2 3 I 3 (cid:63) R 3 I 2 (cid:63) R 2 U I 1 (cid:63) R 1 Der Zusammenhang zwischen der Spannung U, den Widerständen R ,R ,R und den resultierenden 1 2 3 Stromstärken I ,I ,I ist durch die Kirchhoffschen Gesetze gegeben, die hier folgende Gleichungen 1 2 3 erzwingen: I = I +I 1 2 3 U = R I +R I 1 1 2 2 R I = R I 2 2 3 3 Dabei sind Spannung und Widerstände bekannt und die Stromstärken zu berechnen. Man kann das machen, indem man eine Gleichung nach einer der gesuchten Größen auflöst, das Ergebnis in die anderen Gleichungen einsetzt und so die Zahl der Gleichungen und der Unbekannten um Eins reduziert hat. Dieses Verfahren wiederholt man und löst die letzte Gleichung nach der einzig verbliebenen Unbekannten auf. Dann setzt man das Ergebnis wieder in die anderen Gleichungen ein und findet so sukzessive auch die anderen Unbekannten. 4 KAPITEL 0. VORBEMERKUNG Im physikalisch gesehen realistischen Fall R ,R ,R >0 findet man so 1 2 3 R I = 3I 2 R 3 2 R R I = I +I =( 3 +1)I =(1+ 2)I 1 2 3 R 3 R 2 2 3 R R +R R +R R U = 1 2 1 3 3 2I R 3 2 R U I = 2 3 R R +R R +R R 1 2 2 3 1 3 R U I = 3 2 R R +R R +R R 1 2 2 3 1 3 (R +R )U I = 2 3 1 R R +R R +R R 1 2 2 3 1 3 Wir können also feststellen: • Wir haben die Gleichung gelöst. • Die Lösung war nicht wirklich algorithmisch, d.h. automatisierbar, weil wir nicht vorgeschrieben haben, welche Gleichung nach welcher Unbekannten aufgelöst werden soll. • Fu¨r jeden Schaltkreis mu¨ßten wir uns neu entscheiden, wie wir die Gleichungen lösen wollen. Beispiel 0.2.2 (Produktionsmodell): Betrachten wir ein Produktionssystem bestehend aus drei ProduzentenmitjeeinemProdukt,dasnachaußen(andenMarkt)unduntereinander(zurErmöglichung der Produktion) geliefert wird. Mit x ,x ,x werden die produzierten Mengen (einheitlich gemessen z.B. 1 2 3 in Geldwert) bezeichnet. Annahme: Die von i an j gelieferte Menge ist proportional zu der von j produziertenMenge:a x .Seiy dieNachfragedesMarktesnachdemProduktvoni.Zielistdann(nach ij j i Leontief) die Herstellung des folgenden Gleichgewichts von Produktion und Nachfrage. y 1 x (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) 1 (cid:2)(cid:3) (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) a x(cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) a x 13(cid:0)(cid:1)3 (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) 12 2 (cid:0)(cid:1) (cid:0)(cid:1) (cid:2)(cid:3) (cid:2)(cid:3) (cid:4)(cid:5) (cid:4)(cid:5) (cid:8)(cid:9) (cid:8)(cid:9) (cid:6) (cid:6) (cid:10)(cid:11) (cid:10)(cid:11) (cid:4) (cid:4)x x (cid:7) (cid:7) 3 2 (cid:10) (cid:10) y y 2 3 Es ergeben sich folgende Gleichungen y = x −a x −a x 1 1 12 2 13 3 y = x −a x −a x 2 2 21 1 23 3 y = x −a x −a x 3 3 31 1 32 2 0.2. U¨BER DIE ABSTRAKTION IN DER MATHEMATIK 5 Wir vergleichen die Gleichungen der beiden Beispiele und formen sie etwas um, damit die Analogien deutlicher werden: I = I +I y = x −a x −a x 1 2 3 1 1 12 2 13 3 U = R I +R I y = x −a x −a x 1 1 2 2 2 2 21 1 23 3 R I = R I y = x −a x −a x 2 2 3 3 3 3 31 1 32 2 ↓ ↓ I +(−1)I +(−1)I = 0 x +(−a )x +(−a )x = y 1 2 3 1 12 2 13 3 1 R I +R I +0I = U (−a )x +x +(−a )x = y 1 1 2 2 3 21 1 2 23 3 2 0+R I +(−1)R I = 0 (−a )x +(−a )x +x = y 2 2 3 3 31 1 32 2 3 3 ↓ ↓ 1 −1 −1 0 1 −a −a y 12 13 1 R R 0 U −a 1 −a y 1 2 21 23 2 0 R −R 0 −a −a 1 y 2 3 31 32 3 Die resultierenden Zahlenschemata nennt man Matrizen und durch eine systematisierte Variante des sukzessiven Variableneliminierens von oben (dem Gauß-Algorithmus) kann man daraus die Un- bekannten bestimmen. Wir stellen fest: • MitdemU¨bergangvondenGleichungenzudenMatrizenhatmannurredundanteInformationaus den Gleichungen entfernt und gleichzeitig die U¨bersichtlichkeit erhöht. • Die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten ist fu¨r das Vorgehen hier völlig unerheblich und in den Anwendungen kommen durchaus Gleichungssysteme mit mehr als 10000 Variablen vor. • An dieser Stelle ist nichts daru¨ber gesagt worden, welche Rolle die resultierende mathematische Struktur bei der Auswahl der mathematischen Modelle gespielt hat (in der Physik gibt es da natu¨rlich weniger Optionen als in der O¨konomie). Als nächstes betrachten wir einige Beispiel dafu¨r, wie man aus konkreten Problemen in natu¨rlicher Weise auf abstrakte (algebraische) Strukturen gefu¨hrt wird: Beispiel 0.2.3 (Teilbarkeitsregeln): WirbeginnenmitderFrage:GibteseineTeilbarkeitsregelfu¨r 7? EineZahlistdurch7teilbar,wennsiebeiTeilungdurch7denRest0liefert.Esliegtalsonahe,vonjeder Zahl z den Rest r zu betrachten, der sich ergibt, wenn man durch 7 teilt. Man schreibt dann z ≡r mod 7 undsprichtvomTeilenmitRestmodulo7.WirschreibenunsereZahlenimZehnersystemundandieser Darstellung wollen wir die Teilbarkeit durch 7 ablesen. Es ist also nicht abwegig, zunächst die Reste modulo 7 der Zehnerpotenzen zu berechnen: 1 = 1≡1 mod 7 1 = 0+1 10 = 10×1≡3×1 mod 7≡3 mod 7 10 = 7+3 100 = 10×10≡3×3 mod 7≡2 mod 7 100 = 98+2 1000 = 10×100≡3×2 mod 7≡6 mod 7 1000 = 994+6 10000 = 10×1000=3×6 mod 7≡4 mod 7 10000 = 9996+4 100000 = 10×10000≡3×4 mod 7≡5 mod 7 100000 = 99995+5 1000000 = 10×100000≡3×5 mod 7≡1 mod 7 1000000 = 999999+1