Analysis I Oswald Riemenschneider 3. Auflage, Hamburg 2015 Vorwort Die hier vorgelegten Noten konstituieren den ersten Teil eines in Vorbereitung befindlichen Textes, der von dem Aufbau des Zahlensystems ausgehend einen weiten Bereich der Analysis bis hin zur Integrati- onstheorie von (reellwertigen) Funktionen in mehreren reellen Ver¨anderlichen, den Integrals¨atzen, den Grundlagen der Differentialgeometrie, den gew¨ohnlichen und partiellen Differentialgleichungen und der Funktionalanalysisabdeckensoll.AuchdieTheoriederdifferenzierbarenFunktionenineinerkomplexen Ver¨anderlichen, also die klassische Funktionentheorie, soll hierin ihren Platz finden. Dieser Text findet seine urspru¨nglichen Quellen in den Bu¨chern meines Lehrers Hans Grauert und denen von Otto Forster [7,6], hat sich aber im Laufe der Zeit stark von jenen entfernt. Bei der Entwicklung des Riemannschen und des Lebesgueschen Integrals verdanke ich dem in dem 2. Band des Analysis–BuchesvonKo¨nigsberger[11]beschrittenenWegeinigewichtigeErkenntnisse.DemKenner wird es nicht schwer fallen, weitere fundamentale Wurzeln wie z.B. S. Lang [12,13] und Dieudonne´ [33] ausfindig zu machen, auch wenn sie nicht jedesmal explizit genannt werden. Auf jeden Fall sollte das Literaturverzeichnis eine vollst¨andige Liste meiner direkten und indirekten Hilfsmittel enthalten. Was diesen Text von den meisten Lehrbu¨chern der Analysis unterscheidet, ist der Versuch, trotz des Aufbaus ab ovo von vornherein allgemeinere Konzepte und Prinzipien mit einzubeziehen, ohne deshalb auf die konkreten Beispiele zu verzichten. Insbesondere wird der Frage nach dem Wesen der reellen Zahlen st¨arker als u¨blich Rechnung getragen, indem wir uns zum einen der Mu¨he unterzogen haben, fu¨r m¨oglichst viele der klassischen S¨atze der reellen Analysis die A¨quivalenz zum Vollst¨andig- keitsaxiom nachzuweisen. Dies bedeutet im Wesentlichen keine Mehrarbeit; man hat nur genau Buch zu fu¨hren, welche Eigenschaften der reellen Zahlen man bei den einzelnen Beweisen benutzt hat, und muß die S¨atze m¨oglichst ¨okonomisch auseinander entwickeln. Es zeigt sich dann, daß man nach einer l¨angeren Schlußkette u¨ber die Richtigkeit von Aussagen in einem angeordneten K¨orper meist wieder recht einfach einsieht, daß die zuletzt nachgewiesene Eigenschaft nur im K¨orper der reellen Zahlen gel- ten kann. Es ist meine Hoffnung, daß durch diese Art der Betrachtung ein tieferes Verst¨andnis fu¨r die Gu¨ltigkeitderklassischenS¨atzeerreichtwerdenkann.Selbstverst¨andlichhatmanhierfu¨reinenPreiszu bezahlen in Form einer fru¨hen Konfrontation mit abstrakteren Konstrukten z. B. aus dem Bereich der Topologie, die allerdings von so grundlegender Natur sind, daß man sie ohnehin sp¨atestens im zweiten Semester zur Verfu¨gung stellen muß. Nun scheint das eben geschilderte Vorgehen eine viel zu starke Betonungderaxiomatischen Sichtweiseheraufzubeschw¨oren.Umdementgegenzuwirken,stellenwirihr die konstruktive Methode zur Seite, indem wir in einem Anhang einen allgemeinen Vervollst¨andigkeits- satz beweisen, der als einfachsten Spezialfall die Vervollst¨andigung des rationalen Zahlk¨orpers enth¨alt. Selbstverst¨andlich kann sowohl dieser Anhang als auch alle anderen, die st¨arker topologischen Frage- stellungen gewidmet sind, beim ersten Lesen u¨berschlagen werden. Es ist mir bewußt, daß nicht wenige Kolleginnen und Kollegen schon bei der Erw¨ahnung der ,,axiomatischen“BesonderheitendesvorliegendenTextesaus,,wohlbegru¨ndetendidaktischen“Gru¨nden heraus unruhig, wenn nicht ungehalten werden und die Vermengung des Axiomatischen mit dem Kon- struktiven gar als den Versuch einsch¨atzen, den Teufel mit Beelzebub auszutreiben. Zur Beruhigung, Erwiderung, Rechtfertigung etc. sei aber gesagt, daß meine Erfahrungen mit dieser Art des Aufbaus zumindest nicht schlechter sind als mit mehrfach ausprobierten traditionelleren Vorgehensweisen, und - was mein eigentliches didaktisches Credo ist - daß ich selbst in meinen Vorlesungen weder meinem eigenen noch irgendeinem anderen Manuskript jemals sklavisch gefolgt bin. Insbesondere kann und sollte man in einer Vorlesung auf der Basis des vorliegenden Manuskripts je nach Zielsetzung und Ge- schmack Teile desselben, insbesondere die eben schon erw¨ahnten Anh¨ange, zun¨achst v¨ollig auslassen oderh¨ochstenserw¨ahnenundgegebenenfallserstzueinemsp¨aterenZeitpunktausfu¨hrlicherbehandeln. Der eigentliche Zweck der hier vorgelegten Fassung besteht allerdings darin, den H¨orer/innen mei- ner Vorlesung im Wintersemester 2002/03 eine verl¨aßliche Orientierung zu geben daru¨ber, in welchen Bereichen ich wesentlich von dem der Vorlesung zugrundegelegten Lehrbuch von K¨onigsberger abgewi- chen bin oder dieses erg¨anzt habe. Zu den Erg¨anzungen geh¨ort auch mein Manuskript [171], das hier nicht noch einmal abgedruckt wird. Die Unvollkommenheit der Noten bzw. ihre Entstehungsgeschichte spiegeln sich wider in der Tatsache, daß z. B. Verweise auf sp¨atere Kapitel ins Leere fu¨hren k¨onnen. ii Vorwort Wieichfru¨heranandererStelle(inmeinemManuskriptu¨berLineare Algebra und Analytische Geo- metrie)schongesagthabe,solltederideelleLeseranVoraussetzungenvorallemNeugieraufmathemati- schesBasiswissenundFreudeammathematischenDenkenmitbringen.NebeneinergutenSchulbildung und den in dieser Veranstaltung erworbenen F¨ahigkeiten und Einsichten werden aber sp¨atestens im zweiten Semester auch gute Kenntnisse der Linearen Algebra ben¨otigt. W¨ahrend sich diese mit spe- ziellen, sehr einfachen, n¨amlich linearen Abbildungen A : Kn −→ Km, K ein beliebiger K¨orper, besch¨aftigt und die Struktur von L¨osungsmengen {x∈Kn : Ax = b} = A−1(b), b∈Km fest, kl¨art, studiert die Analysis z. B. Abbildungen f : U −→ Km , U ⊂Kn , K = R oder C, die an jeder Stelle ,,gut durch lineare Abbildungen approximierbar“ sind (Differenzierbarkeit). Umge- kehrt schr¨ankt die Lineare Algebra in weiten Teilen den Grundk¨orper auf die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C ein, z. B. bei der Untersuchung von euklidischen und unit¨aren Vektorr¨aumen, und verl¨aßt sich dabei auf die Bereitstellung durch die Analysis. Somit findet ein st¨andiger Austausch zwischen beiden Gebieten statt, so daß ein Studium des einen nichtohneGrundkenntnissedesanderensinnvollist.InmeinemVerst¨andnisistohnehindieMathematik eine Einheit und daher die traditionelle Einteilung in ,,K¨astchen“ eher sch¨adlich. Aus diesem Grunde verweise ich auf die Literaturliste, die auch Bu¨cher u¨ber ,,Lineare Algebra“ ausweist. Mein eigener Text [41] bietet (vielleicht) den Vorteil, sehr knapp (wie ich hoffe aber auch verl¨aßlich) zu sein im eigentlichen Bestand dieses Gebietes. Er enth¨alt zudem einen l¨angeren Anhang u¨ber Anwendungen der Linearen Algebra in der Analysis. Es ist mir ein besonderes Anliegen, Frau Erdmute D¨anhardt fu¨r all die Jahre der Zusammenarbeit zudanken,indenensiesovieleunterschiedliche,zumTeilunausgereifteTextezun¨achstmitderSchreib- maschineundsp¨atermitdemComputerviaLATEX fu¨rmichzuPapiergebrachthat.OhneihreMithilfe wu¨rdendieseTextenurinmeinemKopfundalsvageVortragsnotizenauflosenZettelnimFormatDIN A5existieren.Meinenfru¨herenMitarbeiternDr.AndreasLeipeltundDr.J¨orgSchu¨rmanndankeichfu¨r die Geduld, mit der sie mein nicht gerade weltbewegendes ,,Vollst¨andigkeitshobby“ unterstu¨tzt haben. IndievorliegendeFassungsindzudemganzwesentlichInformationenundAnregungeneingeflossen,die mir Herr Kollege Alexander Prestel aus Konstanz hat zukommen lassen. Auch ihm sei hier herzlich Dank gesagt. DankundAnerkennunggebu¨hrtschließlichundvorallemdenStudentenausmehrerenGenerationen, diemitgroßemErnstdarumgerungenhaben,denStoffindervonmirpr¨asentiertenFormzuverstehen, insbesondere denen, die mich effektiv, d. h. durch konstruktive Kritik und Korrekturlesen fru¨herer Fassungen einzelner Kapitel, dabei unterstu¨tzt haben, den Text zu verbessern. Besonders hervorheben m¨ochte ich Daniel Hawellek und Stephan Tolksdorf, die unermu¨dlich die st¨andigen Metamorphosen des Manuskripts im vergangenen Semester verfolgt und entscheidend daran mitgewirkt haben, daß die schlimmsten ,,Schnitzer“ eliminiert und zahlreiche Druckfehler ausgemerzt werden konnten. Es ist unn¨otig zu betonen, daß alle verbleibenden Unstimmigkeiten allein auf mein Konto gehen. Hamburg, den 10. 05. 2003 Oswald Riemenschneider Diehiervorgelegte,,3.Auflage“unterscheidetsichvondererstenundzweitendurchdieHinzufu¨gung einergr¨oßerenAnzahlvonsehrkonkretenBeispielenzurAnalysisinderErwartung,daßhierdurcheine bessere Balance zu dem ansonsten recht abstrakten Text hergestellt werden m¨oge. Die Abschnitte u¨ber die Axiomatik der reellen Zahlen wurden teilweise u¨berarbeitet. Hierbei war mir eine neuere Arbeit1 von Nutzen, die ich allen Interessierten empfehlen m¨ochte. 1Deveau,Michael,andHolgerTeismann.72+42:Characterizationsofthecompletenessandarchimedeanproperties oforderedfields.RealAnalysisExchange39,pp.261–303,2014. Mottos iii Das Manuskript wurde zudem einer genauen Inspektion unterworfen; die pr¨azisere Einteilung in Abschnitte und Unterabschnitte soll die Lesbarkeit verbessern. Da das Manuskript vor der deutschen Rechtschreibreform entstand, und nicht nur deshalb, habe ich mich entschlossen, die alte Rechtschrei- bung beizubehalten. Hamburg, den xx. xx. 2015 Oswald Riemenschneider Es ist ein herrliches Gefu¨hl, die Einheitlichkeit eines Komplexes von Erscheinungen zu erkennen, die der direkten sinnlichen Wahrnehmung als ganz getrennte Dinge erscheinen. Albert Einstein, 1901. Das wichtigste Resultat des sinnigen physischen Forschers ist daher dieses: in der Mannigfaltigkeit die Einheit zu erkennen, der erhabenen Bestimmung des Menschen eingedenk, den Geist der Natur zu ergreifen, welcher unter der Decke der Erscheinungen verhu¨llt liegt. Alexander von Humboldt, 1845. Inhaltsverzeichnis Vorwort i Literatur ix Lebensdaten einiger Hauptpersonen xvii Index xxi Einleitung 1 Teil I: Mengentheoretische und algebraische Grundlagen 5 0 Naive Mengentheorie 5 0.1 Der naive Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Enthaltensein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3 Vereinigung und Durchschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.4 Formeln der Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.5 Die leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.6 Der Abbildungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.7 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0.8 Links - und Rechtsinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.9 Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.10 Die Russelsche Antinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Anhang: Kartesische Produkte und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 Die Peano - Axiome der natu¨rlichen Zahlen 17 1.1 Die Menge der natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Beispiele fu¨r das Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Mengentheoretische Formulierung der Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Beweis einiger naheliegender Aussagen u¨ber Nachfolger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Bemerkungen u¨ber g¨angige Schlußweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 A¨quivalente Formulierung des Induktionsaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Eindeutigkeit der natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Anhang: Wahrheitstafeln fu¨r logische Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Addition, Multiplikation und Anordnung natu¨rlicher Zahlen 29 2.1 Die Addition natu¨rlicher Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Die Multiplikation natu¨rlicher Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Die Ordnung der natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Eine weitere Induktionsvariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 Wohlordnung der natu¨rlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Die Methode des unendlichen Abstiegs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.7 Der goldene Schnitt und das regul¨are Fu¨nfeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.8 Ordnungstheoretische Induktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.9 Division mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Anhang 1: Relationen und Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Anhang 2: Das Zornsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Inhaltsverzeichnis v 3 Endliche und unendliche Mengen 45 3.1 Gleichm¨achtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Endliche und unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 H¨ochstens abz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Hilberts Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5 U¨berabz¨ahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6 Unendliche Mengen verschiedener M¨achtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7 Elementare kombinatorische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Anhang: Kardinalzahlen und Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Verknu¨pfungen, Halbgruppen und Gruppen 55 4.1 Magmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Produkte von endlich vielen Elementen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Verallgemeinertes Assoziativ - Kommutativ - Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Neutrale Elemente in Magmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.6 Invertierbare und inverse Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.8 Regul¨are Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5 Ringe, K¨orper, Vektorr¨aume 65 5.1 Die Erweiterung von N zu Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Erweiterung von regul¨aren Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 Die Ringstruktur auf Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4 Die binomische Formel in kommutativen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5 Unterringe, Ringhomomorphismen und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.6 Polynomringe und formale Potenzreihen - Ringe u¨ber Ringen . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.7 Vektorr¨aume, Moduln etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.8 Konstruktion von Quotientenk¨orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.9 Die Unzul¨anglichkeit von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Teil II: Grundlagen der Analysis 81 6 Angeordnete und bewertete K¨orper 81 6.1 Positivit¨atsbereiche und Anordnungen in Ringen und K¨orpern. . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Angeordnete Ober- und Unterringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3 Existenz angeordneter Ringe und Induktionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.5 Existenz nichtarchimedischer Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.6 Bemerkenswerte Eigenschaften archimedischer Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.7 Betr¨age in angeordneten Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.8 Intervalle in angeordneten Ringen und K¨orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.9 Quadratwurzel aus −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.10 Bewertete K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.11 Polynomringe u¨ber K¨orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.12 Der goldene Schnitt und das regul¨are Fu¨nfeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7 Konvergente Folgen in metrischen R¨aumen 95 7.1 Normierte Vektorr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2 Grenzwerte, Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.3 Eindeutigkeit von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.4 Beschr¨ankte Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.5 Bestimmt divergente Folgen in angeordneten K¨orpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.6 Konvergenz und Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 vi Inhaltsverzeichnis 7.7 Bernoullische Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.8 Metrische R¨aume, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.9 Offene und abgeschlossene Kugeln in metrischen R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.10 Umgebungen, offene und abgeschlossene Mengen in metrischen R¨aumen . . . . . . . . . 107 7.11 Konvergente Folgen in metrischen R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.12 H¨aufungspunkte von Folgen in metrischen R¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.13 Abgeschlossene und folgenabgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.14 Beru¨hrpunkte und abgeschlossene Hu¨llen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.15 Randpunkte von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.16 Merkwu¨rdige topologische Eigenschaften nichtarchimedisch bewerteter K¨orper . . . . . . 114 Anhang: Topologische R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8 Konvergente Folgen und Reihen in normierten Vektorr¨aumen 120 8.1 Algebraische Eigenschaften von Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2 Intervallschachtelungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.3 Reihen in normierten Vektorr¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.4 Cauchy-Folgen und -Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.5 Klammern und Entklammern in Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.6 Algebraische Eigenschaften von Cauchy - Folgen und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . 126 8.7 Existenz von Quadratwurzeln und Vollst¨andigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.8 Folgenstetigkeit von Polynomen und rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.9 Archimedisch angeordnete K¨orper und g - adische Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . 129 9 Axiomatische Beschreibungen der reellen Zahlen und einfache Folgerungen 145 9.1 A¨quivalente axiomatische Charakterisierungen des reellen Zahlk¨orpers . . . . . . . . . . 145 9.2 Existenz von Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3 Die allgemeine Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel . . 147 9.4 Einige nu¨tzliche Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.5 Berechnung des Kreisinhalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.6 Die Wallissche Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.7 Asymptotisches Verhalten der Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.8 Stetige Verzinsung und Eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.9 Konvergente Folgen in C, Rn und Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.10 Die Fibonacci - Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 9.11 Die Eindeutigkeit des reellen Zahlk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.12 Weitere Charakterisierungen des reellen Zahlk¨orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.13 Die U¨berabz¨ahlbarkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.14 Zusammenfassung der verschiedenen Charakterisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10 Konvergenzkriterien fu¨r Reihen in Banach - R¨aumen 169 10.1 Reihen mit positiven reellen Gliedern, Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2 Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.3 Das Leibniz - Kriterium fu¨r alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.4 Dezimalbruch - Entwicklung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.5 Quotienten - und Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.6 Binomial - Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.7 Das Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.8 Der große und der kleine Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 10.9 Der Doppelreihensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.10 Multiplikation von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.11 Bedingte und unbedingte Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.12 Das Abelsche und das Dirichletsche Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.13 Verdichtungskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Inhaltsverzeichnis vii 11 Supremumsaxiom mit Anwendungen auf Potenzreihen 193 11.1 Obere Schranken und kleinste obere Schranken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.2 Charakterisierung der reellen Zahlen durch das Supremumsaxiom . . . . . . . . . . . . 195 11.3 Limes superior und Limes inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.4 Ein weiteres Konvergenzkriterium fu¨r reelle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.5 Versch¨arfung des Wurzelkriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 11.6 Der Umordnungssatz von Riemann und Lejeune - Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.7 Der Konvergenzbereich von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12 Grenzwerte von Funktionswerten, Stetigkeit und stetige Fortsetzbarkeit 203 12.1 Grenzwerte von Funktionswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 12.2 Eindeutigkeit und Existenz solcher Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.3 Folgenstetige und stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.4 Algebraische Eigenschaften von Grenzwerten von Funktionswerten . . . . . . . . . . . . 207 12.5 Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.6 Verlauf der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 12.7 Der Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . 210 12.8 Weitere Charakterisierungen der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 12.9 Die allgemeine Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 12.10 Die verallgemeinerten Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13 Gleichm¨aßige Konvergenz von Funktionenfolgen 215 13.1 Punktweise und gleichm¨aßige Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . 215 13.2 Kriterien fu¨r gleichm¨aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 13.3 Anwendungen des Weierstraßschen Konvergenzsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 13.4 Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.5 Das Abelsche und das Dirichletsche Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 13.6 Der Identit¨atssatz fu¨r Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 13.7 Ineinandersetzen von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 13.8 Division von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229