ÀJ]l~J~~ TOPOLOGIEGtNtRALE et ANALYSE FONCTIONNELLE Laurent Schwartz HERMANN Analyse Topologie générale et analyse fonctionnelle 1. Henri Cartan Théorie élémentaire des fonctions analytiques 3. Laurent Schwartz Méthodes mathématiques pour les sciences physiques 5. Roger Godement Cours d'algèbre 7. Gustave Choquel L'enseignement de la géométrie 11. Laurent Schwartz Analyse. Topologie générale et analyse fontionnelle 13. Pierre-Jean Laurent Approxîmation et optimisation 14. Paul Malliavin Géométrie différentielle intrinsèque 16. Claude Cohen-Tannoudji et al. Mécanique quantique. 2 volumes 17. François Chapeville et al. Biochimie 20. Jean-Pierre Lafon Les formalismes fondamentaux de l'algèbre comm. 24. Jean-Pierre Lafon Algèbre commutative 25. Jean Bussac, Paul Reuss Traité de neutronique 26. Max Bausset Dynamiques 27. Luc Valentin Le monde subatomique 28. Luc Valentin Physique subatomique Il 29. Luc Valentin L'univers mécanique 30. Pierre Laszlo Cours de chimie organique 31. Michel Sakarovitch Optimisation. Graphes et programmation 32. Michel Sakarovitch Optimisation. Programmation discrète 33. Pierre Bergé el al. L'ordre dans le chaos 34. Jean-Paul Larpent Eléments de microbiologie 35. M. Blanchard-Desce et al. Chimie organique expérimentale 36. Ch. Vidal, H. Lemarchand La réaction créatrice 37. Bernard Diu el al. Eléments de physique statistique 38. Jacques Baranger et al. Analyse numérique 39. Luc Valentin Noyaux et particules. Modèles et symétries 40. F. Diener, G. Reeb Analyse Non Standard 41. P. Papon, J. Leblond Thermodynamique des états de la matière 42. Laurent Schwartz Analyse 1. Théorie des ensembles et topologie 43. Laurent Schwartz Analyse II. Calcul différentiel et équations diff. 44. Laurent Schwartz Analyse III. Calcul intégral 45. Laurent Schwartz Analyse IV. Calcul diff. ext et fonc. holomorphes Laurent Schwartz Analyse Topologie générale et analyse fonctionnelle ÉDITION CORRIGÉE ê HERMANN ÉDITEURS DES SCIENCES ET DES ARTS Ce livre est constitué par le deuxième chapitre, revu et considérablement augmenté, du cours de l'auteur à !'Ecole Polytechnique; la première édition de ce cours avait été publiée en 1967 sous le titre Cours d'analyse, Paris, Hermann. L'auteur remercie MM. Hubert Delorme, Sou Khim et Dominique Thillaud qui l'ont aidé dans la rédaction et MM. Alain Chenciner et François Laudenbach qui lui ont apporté leurs concours pour la correction des épreuves. Nouveau tirage, corrigé, 1993 ISBN 2 7056 5900 5 © 1970, Hermann, éditeurs des sciences et des arts. 293 rue Lecourbe, 75015 Paris Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, y compris photographie, microfihn, bande magnétique, disque ou autre, réservés pour tous pays. Table J. ESPACES MÉTRIQ.UES 1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II. SOUS-ENSEMBLES PARTICULIERS DES ESPACES MÉTRIQ.UES l . Parties ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5. Extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6. Frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7. Adhérence . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8. Sous-ensembles denses. Espaces séparables ........ : . . . . . . . . . . . . . . . 25 9. Sous-espaces. Métrique induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III. ESPACES TOPOLOGIQ.UES 1. Définition et exemples d'espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Espaces topologiques séparés, métrisables, réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3. Comparaison des topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4. Métriques équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6. Topologie de la droite achevée R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV. FONCTIONS CONTINUES ET HOMÉOMORPHISMES 1. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2. Topologie induite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Applications ouvertes et applications fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4. Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8 TABLE V. SUITES. LIMITES. CONVERGENCE 1. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2. Application aux suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 VI. FILTRES 1. Filtres et ultrafiltres .................... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2. Convergence d'un filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 VII •. TOPOLOGIE PRODUIT. TOPOLOGIE QUOTIENT 1. Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2. Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3. Suites et filtres convergents dans un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4. Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5. Topologies initiales et finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 VIII. ESPACES COMPACTS 1. Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2. Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3. Filtres sur les espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4. Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IX. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN ESPACE COMPACT 1. L'image directe et les extremums d'une fonction réelle continue définie sur un espace compact . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2. Plus courte distance de deux parties fermées dans.un espace métrique . . . 103 3. Théorème de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4. Fonctions semi-continues à valeurs dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5. Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l 08 6. Applications propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 X. ESPACES CONNEXES 1. Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 l bis. Image d'un espace connexe. Théorème des valeurs intermédiaires . . . 116 2. Espaces connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7 3. Théorème du passage des douanes et théorèmes généraux . . . . . . . . . . . 118 4. Espaces localement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5. Critères de non-homéomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6. Existence et continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 TABLE 9 XI. ESPACES MÉTRIQ.UES COMPLETS 1. Suites de Cauchy dans un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2. Espaces métriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3. Prolongement des applications uniformément continues . . . . . . . . . . . . . 132 4. Complétion d'un espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 XII. THÉORÈME DU POINT FIXE et méthode des approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 XIII. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ESPACES VECTORIELS NORMÉS ET DES ESPACES DE BANACH 1. Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 2. Noyau et image d'une application linéaire continue . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2 bis. Espaces d'applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3. Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4. Produits d'espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5. Applications multilinéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 XIV. SÉRIES DANS LES ESPACES VECTORIELS NORMÉS 1. Convergence et somme d'une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2. Séries normalement convergentes dans les espaces de Banach ... ~.... 164 3. Changement de l'ordre des termes d'une série. Séries commutativement convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4. Séries partielles et sommation par paquets dans les espaces de Banach . . . 170 . 5. Effet sur une série d'une application linéaire continue . . . . . . . . . . . . . . 17.4 6. Produit de deux séries numériques. Effet d'une application bilinéaire continue sur deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7. Applications inversibles dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8. Critère de semi-convergence: théorème d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 XV. ESPACES FONCTIONNELS 1. Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2. Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . 189 3. Espaces faisant intervenir à la fois la structure de E et la structure de F . . 193 4. Continuité d'une limite uniforme locale de fonctions continues . . . . . . . . . 195 5. Séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . 199 10 TABLE XVI. PRODUITS INFINIS DE NOMBRES OU DE FONCTIONS RÉELLES OU COMPLEXES 1. Produits infinis de nombres réels ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 2. Produits infinis et série des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3. Produits infinis de fonctions réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4. Application à la fonction?: de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 XVII. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES. PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES AUX ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES DE DIMENSION FINIE 1. Généralités sur les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7 Ç} 2. Propriétés des voisinages de dans un espace vectoriel topologique . . . . 222 3. Topologie canonique d'un espace vectoriel de dimension finie . . . . . . . . . 225 4. Sous-espaces vectoriels de dimension finie .... '............... . . . . . . 228 5. Espaces vectoriels topologiques localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 229 XVIII. ESPACES SEMI-MÉTRIQ.UES ET UNIFORMES. ESPACES VECTORIELS SEMI-NORMÉS 1. Espaces semi-métriques ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 2. Continuité et continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3. Structures uniformes, structures lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4. Espaces semi-métriques métrisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 5. Parties bornées d'un espace semi-métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6. Espaces vectoriels semi-normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7. Exemples d'espaces semi-métriques et vectoriels semi-normés . . . . . . . . . 245 8. Espaces complets. Suites de Cauchy, espaces séquentiellement complets" . 250 XIX. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQ.UES LOCALEMENT CONVEXES. THÉORÈME DE HAHN-BANACH 1. Sous-normes continues sur les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . 255 2. Ensembles convexes dans les espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . 258 3. Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . 262 4. Forme analytique réelle du théorème de Hahn-Banach ......... , . . . 267 5. Forme analytique du théorème de Hahn-Banach sur le corps des réels ou des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 6. Forme géométrique du théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7. Théorie élémentaire de la dualité dans les espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285