Analyse dynamique des structures du g´enie civil V. Deno¨el Dernie`remise a` jour : 27octobre 2010 Table des mati`eres 1 Introduction 3 2 Syst`emes `a un degr´e de libert´e 5 ´ 2.1 Etablissement de l’´equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Seconde loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.3 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Vibrations forc´ees, charges harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ´ 2.3.1 Etude de trois cas limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ´ 2.3.2 Etude formelle des vibrations sous charge harmonique . . . . . . . . 19 2.3.3 Approche du probl`eme par une analyse complexe . . . . . . . . . . 22 ´ 2.3.4 Etude transitoire de la mise en r´esonance . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Vibrations forc´ees, charges impulsionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4.1 Impulsion de dur´ee finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Impulsion parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Vibrations forc´ees, charges quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Approche temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.2 Approche fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 M´ethodes d’int´egration temporelle 41 3.1 Principes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Exemples de sch´ema d’int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1 M´ethode de la diff´erence centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1.1 Option 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1.2 Option 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2 Acc´el´eration constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.3 Acc´el´eration lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.4 M´ethodes de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.5 M´ethode de Houbolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.6 M´ethode de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.7 M´ethodes HHT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1 3.3 Stabilit´e et pr´ecision des m´ethodes num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 Syst`emes `a plusieurs degr´e de libert´e 54 4.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.1 Structure `a M-DDL physiquement s´epar´es . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.2 Structures continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.2.1 Ecrire un mod`ele de structure a` l’aide de quelques DDL . 57 4.1.2.2 Discr´etisation de la structure (m´ethode des d´eplacements, m´ethode des ´el´ements finis) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.2.3 Utilisation des fonctions caract´eristiques . . . . . . . . . . 64 4.1.3 En conclusion... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Analyse dans la base nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 Analyse dans le domaine fr´equentiel (charge harmonique) . . . . . . 68 4.2.2 Analyse dans le domaine temporel (charge impulsionnelle) . . . . . 73 4.2.3 R´esolution pas-`a-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2.4 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3 Analyse dans la base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.1 Propri´et´es modales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.2 M´ethodes approch´ees pour l’estimation des propri´et´es modales . . . 86 4.3.2.1 M´ethode bas´ee sur le quotient de Rayleigh . . . . . . . . . 86 4.3.2.2 Solution it´erative du probl`eme aux valeurs propres . . . . 87 4.3.3 Analyse en base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.3.1 Projection des ´equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.3.2 L’amortissement structurel . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.3.3 Superposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.3.4 Acc´el´eration modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.3.4 Analyse dans d’autres bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5 Syst`emes continus 102 5.1 Equation du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 Analyse en base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6 Analyse dynamique stochastique 108 6.1 La th´eorie des probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.2 La th´eorie des processus al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.3 L’analyse dynamique stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.1 Dans le domaine temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.2 Dans le domaine fr´equentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2 Chapitre 1 Introduction L’analyse d’une structure consiste en la d´etermination de sa d´eform´ee et de ses´el´ements de r´eduction. Lorsque les efforts qui lui sont appliqu´es varient suffisamment lentement dans le temps, l’analyse peut ˆetre r´ealis´ee sous l’hypoth`ese d’un comportement (quasi-)statique. Pour diff´erentes raisons, mais surtout pour en simplifier la repr´esentation num´erique, une structure physiquement continue est g´en´eralement mod´elis´ee a` l’aide d’un ensemble fini de degr´es de libert´e ou coordonn´ees g´en´eralis´ees. L’exemple le plus usuel est certainement celui de la m´ethode des ´el´ements finis. Dans un tel contexte, les forces appliqu´ees peuvent ˆetre exprim´ees a` l’aide d’un vecteur de charges p et l’analyse consiste en la d´etermination du vecteur x des d´eplacements des degr´es de libert´e ou des coordonn´ees g´en´eralis´ees qui permettent d’assurer l’´equilibre entre les forces appliqu´ees et les efforts int´erieurs `a la structure, exprim´ee par Kx = p (1.1) ou` K est une matrice de raideur relative `a la mod´elisation choisie. L’analyse statique d’une structure se r´esume donc a` la r´esolution d’un syst`eme d’´equations, ´eventuellement non lin´eaires (si K ou p d´ependent de x). Lorsque les efforts appliqu´es sur une structure la mettent en mouvement de fa¸con telle que les effets li´es au mouvement de sa masse ne soient plus n´egligeables, (1.1) doit ˆetre compl´et´ee par un terme d’inertie. L’´equation du mouvement ´ecrite sous sa forme la plus simple .. Mx(t)+Kx(t) = p(t) (1.2) inclut ces effets et traduit l’´equilibre entre les efforts d’inertie, les efforts int´erieurs et les forces appliqu´ees. L’analyse dynamique consiste en la d´etermination du vecteur x des d´eplacements qui permet de satisfaire cet ´equilibre. Il apparaˆıt donc une diff´erence fondamentale entre analyse statique et dynamique puisque la premi`ere ne requiert que la solution d’un ensemble d’´equations alg´ebriques alors que la seconde n´ecessite la r´esolution d’un ensemble d’´equations diff´erentielles. Ceci vient en ´etroite relation avec la nature de la solution calcul´ee : il est ´evident que la solution x(t) d’une analyse dynamique repr´esente 3 l’´evolution au cours du temps du d´eplacement des noeuds du mod`ele, contrairement a` la solution statique x qui est constante. Puisqu’il est donc ´evident qu’une analyse dynamique pr´esente un degr´e de complexit´e sup´erieur a` l’analyse statique, il est attendu que les notions relatives `a l’analyse statique soient maˆıtris´ees convenablement avant d’aborder l’´etude du comportement dynamique. Pour cette raison, nous ne reviendrons que bri`evement sur des outils de mod´elisation com- muns avec ceux de l’analyse statique, comme notamment la m´ethode des ´el´ements finis. Dans certains cas trait´es en pratique, l’´equation du mouvement (1.2) est parfaitement d´etermin´ee. Cela signifie d’une part que les caract´eristiques g´eom´etriques et m´ecaniques de lastructure(M,K)sontparfaitementconnuesetd’autrepartqueleseffortsp(t)appliqu´es en chaque point de la structure sont parfaitement d´etermin´es (ce sont des fonctions du temps connues). On recourt donc dans ce cas `a une analyse dite d´eterministe dont nous pr´esentons les principes fondamentaux dans ce cours. Dans le domaine du g´enie civil, un certain caract`ere al´eatoire peut (et dans certains cas doit) ˆetre attribu´e aux grandeurs mises en jeu : (cid:5) les caract´eristiques de la structure peuvent ne pas ˆetre connues avec certitude. Pre- nons pour exemple une construction en b´eton arm´e dont on sait que les caract´eris- tiques de r´esistance et de d´eformabilit´e ne sont pas connues avec exactitude. Dans ce cas, certaines composantes des matrices structurelles M et K peuvent ˆetre caract´e- ris´ees par des grandeurs probabilistes plutˆot qu’ˆetre parfaitement d´etermin´ees; (cid:5) les sollicitations ext´erieures peuvent ´egalement n’ˆetre d´etermin´ees qu’en termes de probabilit´es. C’est g´en´eralement le cas lorsque les efforts appliqu´es proviennent de ph´enom`enes naturels (tremblements de terre, vent, houle, trafic, etc.). Il existe des techniques de r´esolution qui, partant de repr´esentations probabilistes de la structure et de son chargement, permettent de d´eterminer les structures statistiques des d´eplacements des noeuds de la structure ou des ´el´ements de r´eduction. Il s’agit d’analyses stochastiques que nous pr´esenterons dans le second volume du cours. 4 Chapitre 2 Syst`emes `a un degr´e de libert´e Face a` l’analyse d’une structure, un rˆole important de l’ing´enieur consiste a` construire un mod`ele ad´equat qui, de fa¸con minimaliste, devrait permettre d’expliquer les ph´eno- m`enes attendus en assemblant uniquement les ´el´ements de mod´elisation n´ecessaires. Le choix d’un mod`ele le plus simple possible am`ene souvent a` l’´etude d’un syst`eme a` un degr´e de libert´e, c’est-a`-dire un syst`eme tel que la connaissance d’une coordonn´ee g´en´eralis´ee q(t) en un instant quelconque d´etermine de fa¸con exhaustive l’´etat de la structure ´etudi´ee. Les structures filaires rencontr´ees dans le domaine du g´enie civil -un portique a` un ´etage, un haut building, un tablier de pont, un hauban- sont parfois mod´elis´ees a` l’aide de syst`emes a` un degr´e de libert´e, ce qui permet de repr´esenter leur comportement dynamique fonda- mental. En pratique, l’´etablissement de ce mod`ele n’est pas toujours ´evident. A la section 2.1, nous pr´esentons les outils qui permettront de mettre au point un mod`ele dynamique de la structure, et d’´etablir une ´equation du mouvement comme (1.2). En nous limitant ensuite a` l’´etude des vibrations de syst`emes lin´eaires, nous ´etudierons successivement la r´eponse d’une structure a` un degr´e de libert´e soumise `a divers types de charges (constante, p´eriodique, impulsionnelle), afin de pr´esenter les bases n´ecessaires qui nous permettront d’´etudier la r´eponse d’une structure soumise a` une charge quelconque. ´ 2.1 Etablissement de l’´equation du mouvement Un syst`eme a` un seul degr´e de libert´e associ´e a` une coordonn´ee g´en´eralis´ee q est tel que la connaissance de q(t) en un instant t quelconque d´etermine de fa¸con exhaustive l’´etat de la structure ´etudi´ee. Cela ne signifie pas que la structure soit n´ecessairement limit´ee `a un seul point mat´eriel, ni qu’elle soit parfaitement rigide. Example. Un exemple c´el`ebre est celui du pendule simple (Fig. 2.1) ou` la coordonn´ee g´en´eralis´ee q ≡ θ est la position angulaire du pendule par rapport `a la verticale. Le pendule estcompos´ed’unbrasde longueur(cid:96)dontuneextr´emit´e estfixeetl’autre estpourvued’une masse m significativement plus lourde que la masse du bras. Puisque le bras est suppos´e ˆetre parfaitement rigide, la connaissance de l’angle θ implique de facto celle de tous les points de la structure (masse et bras). En particulier, avec les notations de la Fig. 2.1, la 5 Figure 2.1 – Exemple de syst`eme `a un degr´e de libert´e θ: le pendule simple. position de la masse dans le r´ef´erentiel (x,y) est x = ((cid:96)cosθ,(cid:96)sinθ) (2.1) dont on peut, par d´erivation, d´eterminer les expressions de la vitesse et de l’acc´el´eration1 (cid:16) (cid:17) x˙ = −(cid:96)θ˙sinθ,(cid:96)θ˙cosθ (cid:16) (cid:17) x.. = −(cid:96)θ˙2cosθ−(cid:96)θ¨sinθ,−(cid:96)θ˙2sinθ+(cid:96)θ¨cosθ .(cid:3) (2.2) L’´equationdumouvementtraduitl’´equilibredelastructure.L’analysedynamiqued’une structure consiste `a ´etablir cette ´equation, puis `a la r´esoudre de fa¸con a` d´eterminer l’´evolu- tionaucoursdutempsdelacoordonn´eeg´en´eralis´eeq(t).Danscettesection,troism´ethodes diff´erentes d’exprimer l’´equilibre dynamique d’une structure sont pr´esent´ees. Elles m`enent naturellement `a la mˆeme ´equation du mouvement, qui est unique sous les hypoth`eses de mod´elisation choisies. Dans la pratique, on a recours `a l’une ou l’autre m´ethode selon la difficult´e du probl`eme rencontr´e. Il est donc important de maˆıtriser les diff´erentes m´ethodes pour pouvoir ´etablir l’´equation du mouvement de fa¸con optimale dans toute circonstance. 2.1.1 Seconde loi de Newton La seconde loi de Newton, appel´ee ´egalement th´eor`eme du centre d’inertie, s’´enonce : Dans un rep`ere inertiel, la somme vectorielle des forces appliqu´ees sur un objet est ´egale au produit de la masse de l’objet par son vecteur acc´el´eration. et s’´ecrit (cid:88) .. f = mx. (2.3) i 1. silavitesseangulaireθ˙ estconstante,l’expressiondel’acc´el´erationser´eduit`ax.. =−(cid:96)θ˙2(cosθ,sinθ), qui est l’expression bien connue de l’acc´el´eration centrip`ete d’un mouvement circulaire uniforme. 6 .. Dans le formalisme de d’Alembert, une force d’inertie −mx est consid´er´ee comme une force agissant sur l’objet consid´er´e, qui subit donc une force ext´erieure fictive suppl´emen- taire. Puisque l’´equilibre d’un corps se traduit par une somme vectorielle nulle des forces appliqu´ees, le principe de d’Alembert s’´ecrit (cid:88) .. f −mx = 0 (2.4) i et est donc strictement ´equivalent a` la seconde loi de Newton. ´ Etant donn´e qu’il faut exprimer l’acc´el´eration et ´eventuellement les forces appliqu´ees en fonction de la coordonn´ee g´en´eralis´ee, l’application de la seconde loi de Newton ou du principe de d’Alembert devient rapidement compliqu´ee. Ils ne sont utilis´es pour ´etablir l’´equation du mouvement que lorsque le syst`eme ´etudi´e se limite a` un ou quelques points mat´eriels. Example. Pendule simple. L’application de la seconde loi de Newton veut que la masse du pendule multipli´ee par l’ac- c´el´eration soit ´egale `a la somme vectorielle des deux forces appliqu´ees, la tension dans la barre et le poids propre. L’´equilibre dans les directions x et y du syst`eme de r´ef´erence s’´ecrit donc  (cid:16) (cid:17) mg−T cosθ = m −(cid:96)θ˙2cosθ−(cid:96)θ¨sinθ (cid:16) (cid:17) (2.5) −T sinθ = m −(cid:96)θ˙2sinθ+(cid:96)θ¨cosθ L’´elimination de la tension inconnue T entre ces deux´equations fournit l’´equation du mouvement g θ¨+ sinθ = 0. (2.6) (cid:96) Cette ´equation ne fait intervenir que deux termes, l’inertie et la force de rappel. En outre, elle est non lin´eaire puisque si θ et θ sont deux solutions non triviales de cette ´equation, θ +θ 1 2 1 2 n’est pas solution de l’´equation. Ceci est duˆ `a la pr´esence de la fonction sin.(cid:3) 2.1.2 Principe des travaux virtuels La premi`ere m´ethode pr´esent´ee ne permet pas d’´ecrire les ´equations d’´equilibre de syst`emescontinus.Aussi,lorsquelesyst`eme´etudi´epr´esenteunnombreimportantdemasses ponctuelles, ´ecrire explicitement l’´equilibre vectoriel de toutes les masses peut vite devenir impraticable. Dans ces cas, le principe des d´eplacements virtuels permet souvent d’obtenir l’expression recherch´ee des ´equations d’´equilibre. Ce principe se base sur la notion de d´eplacement virtuel, un d´eplacement arbitrairement choisi, d’amplitude infinit´esimale et cin´ematiquement admissible, c’est-a`-dire satisfaisant les conditions limites cin´ematiques (appuis) de la structure. Le principe des d´eplacements virtuels stipule que Partant d’une structure en ´equilibre, le travail virtuel des forces int´erieures δU ´egale celui des forces ext´erieures δW dans un d´eplacement virtuel arbitrairement choisi. 7 Figure 2.2 – Exemple de syst`eme `a un degr´e de libert´e θ: le pendule simple. Ce principe est largement appliqu´e a` l’analyse statique de structures2. La seule diff´erence ici est qu’il convient d’introduire, en sus des forces qui seraient habituellement consid´er´ees, une force d’inertie ainsi que le travail virtuel correspondant. Tr`es pratiquement, c’est le fait que le d´eplacement virtuel soit arbitrairement choisi qui permet d’exprimer l’´equilibre de la structure ou, en d’autres termes, l’´equation du mouvement. Ceci est illustr´e a` l’aide d’un exemple ci-apr`es. Example. Pendule simple. Consid´erons un d´eplacement virtuel δθ comme indiqu´e `a la figure 2.2. Dans ce d´eplacement, la masse du pendule se d´eplace de (cid:96)cos(θ+δθ)−(cid:96)cosθ = −(cid:96)δθsinθ dans le sens des x positifs et de (cid:96)sin(θ+δθ)−(cid:96)sinθ = (cid:96)δθcosθ dans le sens des y positifs. Le travail virtuel effectu´e par chacune des forces doit ˆetre ´etabli pour ce d´eplacement virtuel (depuis une position d’´equilibre r´eelle) : (i)latensiondanslebrasnetravaillepaspuisqu’elleestperpendiculaireaumouvement.E´tant donn´e que c’est la seule force int´erieure susceptible de travailler, il en d´ecoule δU = 0, (ii) le poids mg qui agit dans la direction de x produit un travail virtuel δW = −mg(cid:96)δθsinθ, 1 .. .. (iii)selonleprincipeded’Alembert,laforced’inertie`aconsid´ererest−mxou` xestdonn´epar .. (2.2);letravaildecetteforces’exprimedoncparleproduitscalaireδW = −mx·(−(cid:96)δθsinθ,(cid:96)δθcosθ), 2 ou, apr`es simplifications δW = −m(cid:96)2θ¨δθ, 2 Le principe des travaux virtuels veut que δW +δW +δU = 0, soit 1 2 (cid:16) (cid:17) mg(cid:96)sinθ+m(cid:96)2θ¨ δθ = 0 (2.7) En raison du caract`ere arbitraire du d´eplacement virtuel, l’expression entre parenth`eses doit ˆetre identiquement nulle. Comme annonc´e, ceci permet donc d’´etablir l’´equation du mouvement. Elle prend naturellement la mˆeme forme que (2.6) obtenue pr´ec´edemment.(cid:3) 2.1.3 Principe de Hamilton Une autre fa¸con de traduire l’´equilibre d’un corps consiste a` utiliser le principe de Hamilton. Dans le contexte de la m´ecanique classique, il stipule que 2. Aucune limitation n’est formul´ee concernant le comportement de la structure. Le principe est donc ´egalement d’application aux structures `a comportement non lin´eaire. 8 Parmi toutes les´evolutions possibles d’un syst`eme entre deux configurations fix´ees aux instants t et t , l’´evolution naturelle est celle qui conserve l’int´egrale 1 2 ˆ t2 S(q) = L(t,q(t),q˙(t))dt (2.8) t1 ou` L repr´esente le Lagrangien du syst`eme´etudi´e. Pour les domaines d’applications qui nous int´eressent, il est d´efini par L = T −V (2.9) ou` T(t,q) est l’´energie cin´etique absolue du syst`eme et V(t,q) est le potentiel dont d´erivent les forces. Il s’agit donc d’un principe de conservation d’´energie, ou d’un ´equilibre des flux d’´energie cin´etique et potentielle. L’´equation de conservation (2.8) est une ´equation ou` l’inconnue est en r´ealit´e une fonction inconnue q(t) et ne doit pas ˆetre confondue avec une ´equation scalaire. La th´eorie du calcul des variations permet de d´emontrer que la solution de ce type d’´equation est la fonction q(t) qui satisfait d ∂L ∂L − = 0. (2.10) dt ∂q˙ ∂q Il s’agit en r´ealit´e de l’´equation diff´erentielle d’ordre 2 qui gouverne l’´equilibre dynamique de la structure ´etudi´ee. Lorsqu’il existe une dissipation d’´energie dans la structure ´etudi´ee (g´en´eralement r´esul- tant de frottements internes), le principe de conservation doit ˆetre l´eg`erement adapt´e ˆ ˆ t2 t2 ˆ S(q) = L(t,q(t),q˙(t))dt+ W (t,q(t),q˙(t))dt (2.11) nc t1 t1 ou` W repr´esente le travail des forces non conservatives, de sorte a` ´ecrire que la quantit´e nc d’´energie cin´etique et potentielle perdue a ´et´e absorb´ee dans un processus de dissipation non r´eversible. En incluant ces effets de dissipation a` l’aide d’une fonction de dissipation de Rayleigh F, l’´equation du mouvement 2.12 devient d ∂L ∂L ∂F − + = 0. (2.12) dt ∂q˙ ∂q ∂q˙ L’´etablissement du Lagrangien L relatif a` un probl`eme donn´e et son introduction dans 2.12 permet d’obtenir l’´equation du mouvement. Lorsque la complexit´e du probl`eme´etudi´e augmente, cette approche est souvent pr´ef´er´ee car elle ne demande pas d’´ecrire d’´equilibre vectoriel; l’´equation du mouvement r´esulte de consid´erations sur des fonctions scalaires uniquement. Example. Pendule simple 9